隨著新課程改革的不斷推進(jìn)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力也逐漸成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011）明確提出：“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。”這就要求數(shù)學(xué)老師不能再局限于以計(jì)算技能和解決常規(guī)問(wèn)題為教學(xué)目標(biāo)實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)，而是要在繼續(xù)堅(jiān)持幫助初中生提高計(jì)算技能和深遠(yuǎn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決能力的基礎(chǔ)上，著力于提高學(xué)生的高層次的數(shù)學(xué)思考能力、創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。圍繞這個(gè)教學(xué)目標(biāo)，實(shí)踐路徑有很多，但開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)無(wú)疑是目前最主要的一種途徑。在探究性學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)中，開(kāi)放題的設(shè)計(jì)與教學(xué)是一種重要的教學(xué)手段。本文擬結(jié)合自身多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，就教師如何給學(xué)生設(shè)計(jì)開(kāi)放題，并實(shí)施科學(xué)的教學(xué)基本要求進(jìn)行探討。

一 數(shù)學(xué)開(kāi)放題的基本內(nèi)涵

數(shù)學(xué)開(kāi)放題是在20世紀(jì)70年代后數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中開(kāi)始出現(xiàn)的一種新題型。數(shù)學(xué)開(kāi)放題是指條件、結(jié)論及其解題策略都不固定，具有開(kāi)放性的問(wèn)題。如題目“已知梯形ABCD及其中上、下底AB//CD，現(xiàn)添加條件使梯形ABCD是等腰梯形”就是為滿(mǎn)足結(jié)論，但條件不唯一的問(wèn)題，即答案并不唯一的開(kāi)放題，它要求學(xué)生在掌握好梯形和等腰梯形的基本概念、特征和基本條件等基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行逆向思維找到問(wèn)題解決的條件。再如北京市2006年的中考題題目“某居民小區(qū)搞綠化，要在一塊矩形空地上建花壇，現(xiàn)征集設(shè)計(jì)方案，要求設(shè)計(jì)的圖案由圓和正方形組成（圓和正方形的個(gè)數(shù)不限）。并且使整個(gè)矩形場(chǎng)地成軸對(duì)稱(chēng)圖形。請(qǐng)?jiān)谙逻吘匦沃挟?huà)出你的設(shè)計(jì)方案。”就是要求學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維，理清思路，大膽創(chuàng)造。

相比于小學(xué)生，初中生正處于具體符號(hào)運(yùn)算和形式符號(hào)運(yùn)算的交替階段，他們的抽象思維和發(fā)散能力已經(jīng)開(kāi)始形成，有部分初中生已經(jīng)具有了較高水平的抽象思維和發(fā)散能力，他們?cè)跀?shù)學(xué)解題中不僅已經(jīng)具備了基本的數(shù)學(xué)計(jì)算能力和常規(guī)問(wèn)題的解題能力，還能自己去發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題。因此，針對(duì)初中生的實(shí)際心智發(fā)展水平，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要根據(jù)其知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)一些開(kāi)放題給他們。同時(shí)，一個(gè)問(wèn)題的開(kāi)放度常常取決于提問(wèn)的方式。

數(shù)學(xué)開(kāi)放題的基本特征是：（1）不確定性，即問(wèn)題不一定必然有解，答案也不必唯一；（2）強(qiáng)調(diào)探究性和發(fā)散性，即沒(méi)有現(xiàn)成的和固定的解題模式；（3）非完備性，即題目中的條件并不完備，導(dǎo)致答案并不確定；（4）發(fā)展性，教師在開(kāi)放題教學(xué)中不能簡(jiǎn)單地注入式教學(xué)，而要著眼于學(xué)生的具體解題過(guò)程中的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)。當(dāng)然，開(kāi)放題也是針對(duì)特定學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和生活經(jīng)驗(yàn)，也就是說(shuō)，在7年級(jí)是開(kāi)放題，到9年級(jí)就未必是了。比如類(lèi)似對(duì)多個(gè)球隊(duì)兩兩進(jìn)行循環(huán)賽，問(wèn)一共有多少場(chǎng)比賽的問(wèn)題，學(xué)生掌握組合知識(shí)屬于開(kāi)放題，但在學(xué)習(xí)和掌握了組合知識(shí)之后則又轉(zhuǎn)變?yōu)橐坏婪忾]題了。

總之，在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師視具體的教學(xué)情況設(shè)計(jì)一些開(kāi)放題進(jìn)行教學(xué)，從近的來(lái)看，無(wú)疑可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，也可以讓學(xué)生更深刻地理解一些基本的數(shù)學(xué)概念和定理；從遠(yuǎn)的來(lái)看，可以拓展學(xué)生的思維空間，有利于培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)、批判和創(chuàng)新能力。

二 初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)原則和基本要求

數(shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)要求教師必須具有高度的業(yè)務(wù)素質(zhì)以及處理問(wèn)題的靈活應(yīng)變能力。在開(kāi)放題的編制中，教師必須遵循一些基本的要求，掌握一些基本的方法。

1．?dāng)?shù)學(xué)開(kāi)放題設(shè)計(jì)的基本原則

第一，要保證題目設(shè)計(jì)的科學(xué)性。數(shù)學(xué)題目的科學(xué)性是衡量題目質(zhì)量最重要的標(biāo)志，也是題目編制的最基本要求，它直接決定了學(xué)生能否通過(guò)對(duì)題目的訓(xùn)練達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。開(kāi)放題的設(shè)計(jì)也是如此。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)老師在設(shè)計(jì)開(kāi)放題目時(shí)，必須要嚴(yán)格定位測(cè)試范圍，要以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)為基本依據(jù)，反映學(xué)科核心知識(shí)、基本方法和技能；題目?jī)?nèi)容必須要正確無(wú)誤，陳述性語(yǔ)言要精確，有明確要求且必須可行，不能有誤導(dǎo)或歧義，同時(shí)還要考慮教學(xué)評(píng)價(jià)或測(cè)試評(píng)分的可操作性。

第二，要堅(jiān)持題目設(shè)計(jì)真正體現(xiàn)開(kāi)放性。教師所設(shè)計(jì)的題目要能切實(shí)拓寬解決問(wèn)題的途徑，有利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、趣味性、持久性和發(fā)散性思維的形成，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的考查。

第三，要符合學(xué)生實(shí)際，體現(xiàn)出層次性。題目要具有層次，盡量減少繁雜的證明與計(jì)算，盡可能做到新穎、解答簡(jiǎn)潔，對(duì)不同認(rèn)知水平的學(xué)生來(lái)說(shuō)都有探索的余地，在自已的能力范圍內(nèi)都能參與問(wèn)題的解決并獲得各自的解答。

2．?dāng)?shù)學(xué)開(kāi)放題的設(shè)計(jì)基本要求

設(shè)計(jì)要求是設(shè)計(jì)原則在開(kāi)放題目設(shè)計(jì)過(guò)程中的具體體現(xiàn)。一般來(lái)說(shuō)，初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題設(shè)計(jì)要符合如下要求。

第一，設(shè)計(jì)的題目要形式多樣，不同類(lèi)型的題目設(shè)計(jì)方法也不一樣。數(shù)學(xué)開(kāi)放題目一般可分為條件開(kāi)放題，即通過(guò)增強(qiáng)題目?jī)?nèi)條件的探索性和選擇性，考查學(xué)生掌握知識(shí)的程度和分析問(wèn)題的能力；策略開(kāi)放題，即一題多解，以解決問(wèn)題方法的多樣性，考查學(xué)生思維的靈活性和多角度、多層次、多途徑探究解決問(wèn)題的能力；結(jié)論開(kāi)放題，即條件既定，但答案多樣，主要考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)展開(kāi)發(fā)散思維得出結(jié)論；綜合開(kāi)放題，即前三種的混合，更能培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和逆向思維能力。

面對(duì)如此多樣的開(kāi)放題目，教師設(shè)計(jì)的題目要盡量涵蓋上述類(lèi)型，不同的類(lèi)型，設(shè)計(jì)方法也不一樣。以結(jié)論開(kāi)放題為例，筆者在中考前復(fù)習(xí)八年級(jí)下冊(cè)的“相似三角形”內(nèi)容時(shí)，我先是引導(dǎo)學(xué)生將例題“已知：在Rt△ABC中，CD是AB上的高線(xiàn)。求證：△ACD∽△CBD∽△ABC?！蓖茖?dǎo)完后，問(wèn)學(xué)生：“如果我們不看原題的求證結(jié)論，只是根據(jù)題目中的已經(jīng)條件，你們看還能推導(dǎo)出什么結(jié)論？”學(xué)生立刻來(lái)勁了，氣氛變得很活躍，并得出了許多結(jié)論，如∠ACD＝∠B，∠DCB＝∠A；△ACD∽△CBD，△CBD∽△ABC，△ACD∽△ABC；CD2＝AD#8226;BD，AC2＝AD#8226;AB，BC2＝BD#8226;AB等。

第二，設(shè)計(jì)開(kāi)放題的來(lái)源要多樣。目前，初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題的來(lái)源主要來(lái)自于封閉題的改造和實(shí)際生活的一些數(shù)學(xué)運(yùn)用問(wèn)題。教師在設(shè)計(jì)時(shí)，既要立足于原有封閉題進(jìn)行改編，更要多從現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)運(yùn)用問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)素材，設(shè)計(jì)開(kāi)放題。以實(shí)際生活中的數(shù)學(xué)運(yùn)用來(lái)設(shè)計(jì)開(kāi)放題，更能讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的意義，提高其對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知。取材于實(shí)際生活中的開(kāi)放題目，由于自然特點(diǎn)或由實(shí)際需要決定，其條件往往不能完全確定。如在講授一元二次方程時(shí)，我設(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放題：“某建筑物地基是一個(gè)邊長(zhǎng)為10m的正六邊形，要環(huán)繞地基開(kāi)辟綠化帶，使綠化帶的面積與地基面積相等，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案?！苯Y(jié)果，學(xué)生的興趣很高，最終也提供了幾種可供選擇的方案。

第三，設(shè)計(jì)的題目要盡量適合學(xué)生開(kāi)展探究性活動(dòng)。設(shè)計(jì)開(kāi)放題從教學(xué)目標(biāo)上來(lái)說(shuō)，就是為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。如果在開(kāi)放題中，讓學(xué)生通過(guò)相互合作，自主探究，做小科學(xué)家，激發(fā)其創(chuàng)造力和發(fā)散性思維能力，其教育價(jià)值不言而喻。在學(xué)完數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖相關(guān)知識(shí)以后，我曾經(jīng)設(shè)計(jì)過(guò)一道開(kāi)放題，要求學(xué)生在課后通過(guò)小組合作，去了解大湖鎮(zhèn)周邊的河流污染情況，并要求學(xué)生運(yùn)用剛學(xué)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)，為大湖鎮(zhèn)治理周邊河流水污染提供可行性方案。這道題的意圖在于要學(xué)生根據(jù)學(xué)過(guò)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)調(diào)查周邊河流水污染的原因，然后設(shè)計(jì)治理方案，以訓(xùn)練學(xué)生仔細(xì)調(diào)查研究、不怕吃苦的精神，同時(shí)培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神，讓學(xué)生感到所學(xué)知識(shí)有所用，嘗到成功的喜悅。

三 初中數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)的基本要求

1．課前要精心準(zhǔn)備

課前精心準(zhǔn)備是所有課程教學(xué)的基本要求，對(duì)于開(kāi)放題教學(xué)也是如此。在開(kāi)放題教學(xué)中，教師在課前的必要準(zhǔn)備包括對(duì)學(xué)生的準(zhǔn)確了解，對(duì)開(kāi)放題的精心設(shè)計(jì)和對(duì)教材例題和習(xí)題的研究。（1）教師必須準(zhǔn)確地了解所教學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)掌握情況，在設(shè)計(jì)和講解開(kāi)放題時(shí)能從學(xué)生實(shí)際情況出發(fā)，根據(jù)學(xué)生的興趣和愛(ài)好來(lái)選擇開(kāi)放型試題的講解，不能讓一部分學(xué)生有能力和興趣參與學(xué)習(xí)探究，而另一部分學(xué)生或者沒(méi)有能力，或者沒(méi)有興趣。（2）教師要按照科學(xué)性、開(kāi)放性和層次性的原則精心設(shè)計(jì)開(kāi)放題。開(kāi)放題要圍繞教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)，由易到難、由舊知識(shí)到新知識(shí)逐步過(guò)渡，數(shù)量和開(kāi)放度都要適中。同時(shí)，教師還要對(duì)教材作精心研究，以了解教材中有關(guān)教學(xué)內(nèi)容的可開(kāi)放性和開(kāi)放度，分析哪些內(nèi)容學(xué)生可以自主探究獲得，哪些內(nèi)容不適合開(kāi)放題教學(xué)。尤其是對(duì)教材中的例題和習(xí)題更是要精心研究，了解哪些題目有必要將封閉題加以適當(dāng)更改，轉(zhuǎn)化為開(kāi)放題。

2．在教學(xué)中重視學(xué)生的合作學(xué)習(xí)，展開(kāi)探究性學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)開(kāi)放性試題的最大特點(diǎn)就是開(kāi)放性和多元性，即多種條件和多種解法。這類(lèi)題目的解題過(guò)程一般需要學(xué)生或師生多人的合作才能完成。在具體的講解過(guò)程中，教師可以采用集體教學(xué)、小組教學(xué)、個(gè)別教學(xué)相結(jié)合等多種渠道相結(jié)合的方式，并合理優(yōu)化分組，讓每個(gè)小組中的每個(gè)成員都能暢所欲言、發(fā)表所見(jiàn)、集思廣義、同力協(xié)作，并讓不同學(xué)習(xí)水平的學(xué)生，解決不同的層次問(wèn)題。

在數(shù)學(xué)開(kāi)放題教學(xué)中，教師不能簡(jiǎn)單地只看學(xué)生解決問(wèn)題的答案對(duì)與錯(cuò)，而更應(yīng)注重觀察學(xué)生的解題方法和過(guò)程。密切關(guān)注學(xué)生在解題過(guò)程中是否做到了合作學(xué)習(xí)、自主探究，發(fā)揮了集體的智慧與力量。在學(xué)生的探究過(guò)程中，教師不只是一個(gè)組織者和答案給予者，更是一個(gè)引導(dǎo)者，應(yīng)該對(duì)學(xué)生的整個(gè)探究過(guò)程進(jìn)行全程指導(dǎo)，對(duì)錯(cuò)誤行為予以糾正，對(duì)正確的行為予以鼓勵(lì)，并認(rèn)真細(xì)心地記錄學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的每一個(gè)細(xì)節(jié)、動(dòng)向、情景等表現(xiàn)，逐一進(jìn)行研究、探討、反思，總結(jié)得失，為數(shù)學(xué)開(kāi)放題收集資料，積累經(jīng)驗(yàn)。

3．開(kāi)放題教學(xué)要堅(jiān)持循序漸進(jìn)

數(shù)學(xué)開(kāi)放題的解題與教學(xué)是一個(gè)逐步啟發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、創(chuàng)新思維的過(guò)程。而這個(gè)過(guò)程也是學(xué)生對(duì)某一開(kāi)放題的逐步深入了解，逐步推進(jìn)解決的過(guò)程。因此，教師在具體教學(xué)過(guò)程中不能急于求成，或者怕教學(xué)秩序的失控或者怕教學(xué)時(shí)間不夠，而草草結(jié)束解題過(guò)程，直接給學(xué)生答案。因?yàn)檫@樣的話(huà)，學(xué)生的創(chuàng)新思維和逆向思維還沒(méi)有來(lái)得及充分發(fā)揮，在整個(gè)過(guò)程中學(xué)生得不到應(yīng)有的鍛煉。其實(shí)，一般開(kāi)放題都需要較長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)與探究，學(xué)生要想掌握這類(lèi)題型的解法，往往需要很長(zhǎng)的一個(gè)練習(xí)與思維過(guò)程。教師要有耐心，題目數(shù)量可以不多，但每一道題都要實(shí)現(xiàn)其基本目的，否則，一堂課則變成了游戲課。

4．在開(kāi)放題解題完畢后，要總結(jié)規(guī)律

開(kāi)放題的設(shè)計(jì)教學(xué)目的在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，而不是簡(jiǎn)單地就題論題。因此，當(dāng)開(kāi)放題各種解題方法都已經(jīng)展現(xiàn)、結(jié)論都推斷出來(lái)后，教師應(yīng)該讓學(xué)生自己小結(jié)或給學(xué)生總結(jié)。這種總結(jié)應(yīng)該能起到畫(huà)龍點(diǎn)睛的作用，從而讓學(xué)生比一比各種策略的孰優(yōu)孰劣，找一找各種結(jié)論的規(guī)律，最后上升到共性的總結(jié)，啟發(fā)學(xué)生對(duì)結(jié)論一般化的認(rèn)識(shí)，尋找數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律，挖掘題目中所包含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。

總之，隨著新課改的推廣應(yīng)用，數(shù)學(xué)開(kāi)放題型作為一種新題型，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和各類(lèi)考試中占了重要的比例。教師在具體的教學(xué)過(guò)程中，從開(kāi)放題的編制到具體的解題過(guò)程都要遵循教學(xué)規(guī)律，以學(xué)生為本，為了學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力的提高，認(rèn)真編制開(kāi)放題，并采取科學(xué)有效的教學(xué)策略進(jìn)行教學(xué)，以提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性。

〔責(zé)任編輯：范可〕