【摘要】文章運(yùn)用高等數(shù)學(xué)對(duì)一道初等數(shù)學(xué)題的研究,體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。
【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)函數(shù)高等數(shù)學(xué)
【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810(2014)19-0094-01
題目:討論方程lnx=ax(a>0)解的個(gè)數(shù)。
我們首先用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)解決這道問(wèn)題。
解:不妨設(shè)y1=lnx,y2=ax(a>0),原題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y1,y2的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
假設(shè)函數(shù)y1=lnx,y2=ax(a>0)有交點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則當(dāng)y1,y2有一個(gè)交點(diǎn)
時(shí),即函數(shù)y1在點(diǎn)(x0,y0)處的
切線斜率應(yīng)和函數(shù)y2的斜率相等,
則交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該滿足如下的關(guān)系
式:
解得: ,交點(diǎn)坐標(biāo)為(e,1),易知,(1)當(dāng)
時(shí),函數(shù)y1,y2有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)方程lnx=ax(a>0)有
兩個(gè)解:(2)當(dāng) 時(shí),函數(shù)y1,y2有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)方程
lnx=ax(a>0)有一個(gè)解;(3)當(dāng) 時(shí),函數(shù)y1,y2沒(méi)
有交點(diǎn),此時(shí)方程lnx=ax(a>0)無(wú)解。
然而,這是用初等數(shù)學(xué)里數(shù)形結(jié)合的思想方法解決這道問(wèn)題,但是我們會(huì)有一個(gè)疑問(wèn):為什么當(dāng)a取不同的范圍時(shí),原方程解的情況是不同的呢?對(duì)于這個(gè)疑問(wèn),我們?cè)趯W(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)之后,會(huì)有一個(gè)完美的解答。
我們繼續(xù)分情況討論:
當(dāng) 時(shí),構(gòu)造函數(shù)F(x)=ax-lnx,x∈(0,+∞),
(1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),函數(shù)y1=ax的函數(shù)值恒大于零,函數(shù)y2=lnx的函數(shù)值恒小于零,則函數(shù)F(x)的函數(shù)值恒
大于零,此時(shí)方程無(wú)解。(2)當(dāng)x∈[1, )時(shí),F(xiàn)(1)=
a>0,F(xiàn)( )=1-ln =1+lna>0,又因?yàn)?≤x< ,則
< ≤1,則F(x)′=a- <0,函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,
]是單調(diào)遞減的,故原方程無(wú)解。(3)當(dāng)x∈[ ,+∞)
時(shí),F(xiàn)( )>0,又因?yàn)?<x<+∞,則0< <a,F(xiàn)(x)′
=a- >0,函數(shù)F(x)在區(qū)間[ ,+∞)是單調(diào)遞增的,
F(x)>F( )>0恒成立,故原方程無(wú)解。
當(dāng) 時(shí),原方程轉(zhuǎn)化為 =lnx,設(shè)F(x)= -lnx。
(1)當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(xiàn)(x)′= ,F(xiàn)(x)在區(qū)間
(0,e)上是單調(diào)遞減的,又因?yàn)閘n0是一個(gè)負(fù)無(wú)窮小量,則F(0)>0,又因?yàn)镕(e)>0,則F(x)>0恒成立,
故此時(shí)方程無(wú)解。(2)當(dāng) 時(shí),F(xiàn)(x)=0,此時(shí)方程
有一個(gè)解。(3)當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),F(xiàn)(x)′= ,
F(x)在區(qū)間(0,e)上是單調(diào)遞增的,又因?yàn)镕(e)>0,則F(x)>0恒成立,故此時(shí)方程無(wú)解。
當(dāng) 時(shí),構(gòu)造函數(shù)F(x)=ax-lnx,x∈(0,+∞)。
(1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),易知lnx≤0,ax>0,則函數(shù)F(x)=
ax-lnx恒大于零,此時(shí)方程無(wú)解。(2)當(dāng)x∈(1, ]時(shí),又
因?yàn)?,則 , ,故F(1)=a>0,F(xiàn)( )=
1-ln <0,又因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在區(qū)間(1, ]是連續(xù)的。
又因?yàn)镕(1)F( )<0,由根的存在性定理可知, ∈
(1, )使得F(x0)=0,即lnx0=ax0,又F(x)′=a-
<0,函數(shù)F(x)在區(qū)間(1, ]上是單調(diào)遞減的,則x0
是唯一存在的,故原方程在區(qū)間(1, ]上有且只有一個(gè)
實(shí)解。(3)當(dāng)x∈[ ,+∞),F(xiàn)(x)′=a- >0,F(xiàn)(a)
=1-ln <0,又因?yàn)?F(x)= (ax-lnx)= x
(a- ),又 , x=+∞,故F(+∞)
>0恒成立,又因?yàn)镕(a)F(+∞)<0,由根的存在性定
理可知, ∈(1, )使得F(x0)=0,即lnx0=ax0。又
因?yàn)镕(x)′=a- >0,函數(shù)F(x)在區(qū)間[ ,+∞)
是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。又因?yàn)镕(x)是連續(xù)函數(shù),則x0是唯一
存在的,故原方程在區(qū)間[ ,+∞)上有且只有一個(gè)實(shí)解。
綜上所述,當(dāng) 時(shí),原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。
參考文獻(xiàn)
[1]任親謀.數(shù)學(xué)分析選講[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2009
[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2009
〔責(zé)任編輯:高照〕