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        高等數(shù)學(xué)背景下的一道初等數(shù)學(xué)題研究

        2014-04-29 00:00:00胡朝強(qiáng)汪義瑞
        學(xué)園 2014年19期

        【摘要】文章運(yùn)用高等數(shù)學(xué)對(duì)一道初等數(shù)學(xué)題的研究,體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用。

        【關(guān)鍵詞】初等數(shù)學(xué)函數(shù)高等數(shù)學(xué)

        【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】1674-4810(2014)19-0094-01

        題目:討論方程lnx=ax(a>0)解的個(gè)數(shù)。

        我們首先用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)解決這道問(wèn)題。

        解:不妨設(shè)y1=lnx,y2=ax(a>0),原題可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y1,y2的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

        假設(shè)函數(shù)y1=lnx,y2=ax(a>0)有交點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則當(dāng)y1,y2有一個(gè)交點(diǎn)

        時(shí),即函數(shù)y1在點(diǎn)(x0,y0)處的

        切線斜率應(yīng)和函數(shù)y2的斜率相等,

        則交點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)該滿足如下的關(guān)系

        式:

        解得: ,交點(diǎn)坐標(biāo)為(e,1),易知,(1)當(dāng)

        時(shí),函數(shù)y1,y2有兩個(gè)交點(diǎn),此時(shí)方程lnx=ax(a>0)有

        兩個(gè)解:(2)當(dāng) 時(shí),函數(shù)y1,y2有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)方程

        lnx=ax(a>0)有一個(gè)解;(3)當(dāng) 時(shí),函數(shù)y1,y2沒(méi)

        有交點(diǎn),此時(shí)方程lnx=ax(a>0)無(wú)解。

        然而,這是用初等數(shù)學(xué)里數(shù)形結(jié)合的思想方法解決這道問(wèn)題,但是我們會(huì)有一個(gè)疑問(wèn):為什么當(dāng)a取不同的范圍時(shí),原方程解的情況是不同的呢?對(duì)于這個(gè)疑問(wèn),我們?cè)趯W(xué)習(xí)了高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)之后,會(huì)有一個(gè)完美的解答。

        我們繼續(xù)分情況討論:

        當(dāng) 時(shí),構(gòu)造函數(shù)F(x)=ax-lnx,x∈(0,+∞),

        (1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),函數(shù)y1=ax的函數(shù)值恒大于零,函數(shù)y2=lnx的函數(shù)值恒小于零,則函數(shù)F(x)的函數(shù)值恒

        大于零,此時(shí)方程無(wú)解。(2)當(dāng)x∈[1, )時(shí),F(xiàn)(1)=

        a>0,F(xiàn)( )=1-ln =1+lna>0,又因?yàn)?≤x< ,則

        < ≤1,則F(x)′=a- <0,函數(shù)F(x)在區(qū)間[1,

        ]是單調(diào)遞減的,故原方程無(wú)解。(3)當(dāng)x∈[ ,+∞)

        時(shí),F(xiàn)( )>0,又因?yàn)?<x<+∞,則0< <a,F(xiàn)(x)′

        =a- >0,函數(shù)F(x)在區(qū)間[ ,+∞)是單調(diào)遞增的,

        F(x)>F( )>0恒成立,故原方程無(wú)解。

        當(dāng) 時(shí),原方程轉(zhuǎn)化為 =lnx,設(shè)F(x)= -lnx。

        (1)當(dāng)x∈(0,e)時(shí),F(xiàn)(x)′= ,F(xiàn)(x)在區(qū)間

        (0,e)上是單調(diào)遞減的,又因?yàn)閘n0是一個(gè)負(fù)無(wú)窮小量,則F(0)>0,又因?yàn)镕(e)>0,則F(x)>0恒成立,

        故此時(shí)方程無(wú)解。(2)當(dāng) 時(shí),F(xiàn)(x)=0,此時(shí)方程

        有一個(gè)解。(3)當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),F(xiàn)(x)′= ,

        F(x)在區(qū)間(0,e)上是單調(diào)遞增的,又因?yàn)镕(e)>0,則F(x)>0恒成立,故此時(shí)方程無(wú)解。

        當(dāng) 時(shí),構(gòu)造函數(shù)F(x)=ax-lnx,x∈(0,+∞)。

        (1)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),易知lnx≤0,ax>0,則函數(shù)F(x)=

        ax-lnx恒大于零,此時(shí)方程無(wú)解。(2)當(dāng)x∈(1, ]時(shí),又

        因?yàn)?,則 , ,故F(1)=a>0,F(xiàn)( )=

        1-ln <0,又因?yàn)楹瘮?shù)F(x)在區(qū)間(1, ]是連續(xù)的。

        又因?yàn)镕(1)F( )<0,由根的存在性定理可知, ∈

        (1, )使得F(x0)=0,即lnx0=ax0,又F(x)′=a-

        <0,函數(shù)F(x)在區(qū)間(1, ]上是單調(diào)遞減的,則x0

        是唯一存在的,故原方程在區(qū)間(1, ]上有且只有一個(gè)

        實(shí)解。(3)當(dāng)x∈[ ,+∞),F(xiàn)(x)′=a- >0,F(xiàn)(a)

        =1-ln <0,又因?yàn)?F(x)= (ax-lnx)= x

        (a- ),又 , x=+∞,故F(+∞)

        >0恒成立,又因?yàn)镕(a)F(+∞)<0,由根的存在性定

        理可知, ∈(1, )使得F(x0)=0,即lnx0=ax0。又

        因?yàn)镕(x)′=a- >0,函數(shù)F(x)在區(qū)間[ ,+∞)

        是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。又因?yàn)镕(x)是連續(xù)函數(shù),則x0是唯一

        存在的,故原方程在區(qū)間[ ,+∞)上有且只有一個(gè)實(shí)解。

        綜上所述,當(dāng) 時(shí),原方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。

        參考文獻(xiàn)

        [1]任親謀.數(shù)學(xué)分析選講[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2009

        [2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2009

        〔責(zé)任編輯:高照〕

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