【摘要】高等數(shù)學(xué)是理工科高等院校的公共必修基礎(chǔ)課，在整個本科教學(xué)體系中占有極為重要的地位。本文通過總結(jié)教學(xué)實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)，探討了如何在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)模型，豐富教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)思想高等數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2014）08－0062－02

高等數(shù)學(xué)是理工科高等院校的公共必修基礎(chǔ)課。通過該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以掌握數(shù)學(xué)的基本理論和思想方法，提高自身的邏輯思維能力和辯證思維能力，為后續(xù)的數(shù)學(xué)類課程和其他理工專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是微積分，課程內(nèi)容繁多，并且知識結(jié)構(gòu)嚴(yán)密穩(wěn)定，這使得該課程需要較多的課時。但我校跟其他大部分院校一樣，在近年來的教學(xué)改革中，對公共基礎(chǔ)課做了較大的調(diào)整，將高等數(shù)學(xué)的課時縮短將近1/3。為了完成理論內(nèi)容的教學(xué)，不少教師無奈地采取說教式的教學(xué)方法。由于這種的教學(xué)方法缺少啟發(fā)性，造成學(xué)生既無法感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義，進(jìn)而逐漸失去學(xué)習(xí)的興趣，又因?yàn)榈貌坏匠浞值乃季S鍛煉，無法靈活運(yùn)用所學(xué)的知識。這使得高等數(shù)學(xué)無法實(shí)現(xiàn)其真正的價值。如何在有限的課時內(nèi)，讓學(xué)生真正地學(xué)到數(shù)學(xué)知識，得到思維鍛煉，是一個值得深思的問題。

筆者通過理論學(xué)習(xí)和總結(jié)自身的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)通過在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)模型，是解決上述的問題的一個行之有效的方法。高等數(shù)學(xué)中的許多概念，如極限、導(dǎo)數(shù)、積分、級數(shù)、微分方程等，都是從客觀事物的某種數(shù)量關(guān)系或空間形式中抽象出來的數(shù)學(xué)模型。這些數(shù)學(xué)模型都具有深刻的背景，來自不同的學(xué)科領(lǐng)域。如果能在教學(xué)中很好地利用數(shù)學(xué)模型，學(xué)生就能較好地理解相關(guān)的概念、定義和定理，能夠真正接觸到數(shù)學(xué)在所學(xué)的相關(guān)專業(yè)中的應(yīng)用。這將進(jìn)一步調(diào)動學(xué)生應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識分析、解決實(shí)際問題的積極性，激起學(xué)生把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到實(shí)際問題之中的渴望，產(chǎn)生學(xué)習(xí)參與感，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。學(xué)生學(xué)習(xí)興趣提高了，教學(xué)互動就自然進(jìn)展順利，進(jìn)而提高教學(xué)效果。那么，應(yīng)該如何在高等數(shù)學(xué)課程中引入和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型呢？筆者在此提出以下三點(diǎn)想法。

一 充分利用經(jīng)典模型，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)概念的背景和意義

現(xiàn)有的高等數(shù)學(xué)教材中，都包含了大量的經(jīng)典模型，其中大部分都可以作為教學(xué)所需的素材。只要充分利用素材，就可以得到很好的教學(xué)效果。這其中的關(guān)鍵在于，在利用這些模型引入數(shù)學(xué)概念時，不能只是把它簡單地看成是一個自然的引入過程，必須在學(xué)習(xí)的過程中重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)模型的背景和意義。這樣，學(xué)生才能對相關(guān)概念有一個更深刻、具體、形象的理解。以導(dǎo)數(shù)的概念為例，它是可以通過兩個經(jīng)典的例子引入：瞬時速度和切線斜率，如果只是簡單地通過講述這兩個例子，指出導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是“變化率”，那么學(xué)生可能更多的只是知道導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是“變化率”，但變化率又是什么呢？最終的結(jié)果就是學(xué)生得到了一個抽象概念的抽象理解而已。但是，如果能集中時間，利用瞬時速度引入導(dǎo)數(shù)的概念，并且強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)就是“速度”，就可以讓學(xué)生得到導(dǎo)數(shù)的一個具體形象的理解。這樣的理解，對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)也大有助益。在講述費(fèi)馬引理時，只需要提醒學(xué)生，想象一輛往前走的車，在往回走之前，位移和速度應(yīng)該怎么變化，學(xué)生就可以得到這樣的結(jié)論：車要在位移最大的地方掉頭，此時速度為零，也就是在該點(diǎn)處函數(shù)值取極值，而導(dǎo)數(shù)為零。同樣地，在利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時，提醒學(xué)生導(dǎo)數(shù)大于零意味著速度是正的，位移就會增加，此時函數(shù)是單調(diào)遞增的，反正亦然。這樣教學(xué)既可以節(jié)省課時，又可以加深學(xué)生的理解。

二 針對學(xué)科特點(diǎn)，適當(dāng)引入新模型

在高等數(shù)學(xué)的教材中，關(guān)于微積分的應(yīng)用，也有大量的實(shí)際例子，這些例子都可以看成是數(shù)學(xué)模型。但是這些模型大部分都來自數(shù)學(xué)本身或物理，對其他專業(yè)的學(xué)生而言，既乏味又對專業(yè)學(xué)習(xí)沒有任何幫助。開普勒定理就是其中的典型，雖然可以向?qū)W生展現(xiàn)微積分在實(shí)際應(yīng)用中的威力，但是也有學(xué)生感嘆：很厲害的想法啊，可惜在幾百年前就用過了，到現(xiàn)在還有其他用處嗎？因此，非常有必要針對不同的學(xué)科，適當(dāng)引入新模型。以微分方程的應(yīng)用為例，可以對學(xué)習(xí)經(jīng)管的學(xué)生引入描述GDP增長的微分方程模型，對學(xué)習(xí)動物養(yǎng)殖的學(xué)生引入畜牧業(yè)的微分方程模型。筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，通過這樣的調(diào)整，既豐富了教室內(nèi)容和教學(xué)手段，還極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)過程輕松了，教學(xué)效果也更明顯。

三 強(qiáng)調(diào)建模思想，加強(qiáng)思維鍛煉

高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，最重要的是對學(xué)生進(jìn)行思維鍛煉。在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)模型，不能停留在引入本身，還要引導(dǎo)學(xué)生參與建模的過程。學(xué)生通過合理假設(shè)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在得到結(jié)論后，再利用實(shí)際問題的數(shù)據(jù)對所得結(jié)論進(jìn)行檢驗(yàn)。根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對假設(shè)進(jìn)行調(diào)整，進(jìn)一步優(yōu)化模型。在此過程中，學(xué)生通過發(fā)揮主觀能動性，積極、主動地綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識及方法解決問題。一般來說，根據(jù)不同的假設(shè)，可能得到不同的結(jié)果，所以數(shù)學(xué)模型幾乎都不可能是完美的。因此，在引導(dǎo)學(xué)生建立模型的過程中，要時刻提醒學(xué)生，目的不是得到模型本身，而是在于檢驗(yàn)提出的假設(shè)是否合理，如何不斷調(diào)整假設(shè)，以得到合理的模型的過程。如前面所述，關(guān)于畜牧業(yè)的微分方程模型，影響因素多種多樣，如何判斷哪些因素是關(guān)鍵的，針對這些因素，如何合理假設(shè)，自身的能力可以研究哪些因素，都是需要引導(dǎo)學(xué)生思考的。只有通過這樣的過程，學(xué)生才能真正得到思維鍛煉，達(dá)到引入數(shù)學(xué)模型的根本目的。

參考文獻(xiàn)

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.“十二五”普通高等教育本科國家級規(guī)劃教材：高等數(shù)學(xué)（第六版）（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007

［2］姜啟源、謝金星、葉俊.數(shù)學(xué)模型（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003

〔責(zé)任編輯：范可〕