摘 要：從信號檢測的需求出發(fā)，闡述了運用離散傅里葉變換檢測連續(xù)時間信號頻譜的原理和具體方法。通過實例表明：利用DFT檢測連續(xù)信號中頻率較近的分量時，應當根據(jù)分量的頻率差、窗函數(shù)主瓣的有效寬度、時域信號的抽樣頻率，并準確計算時域信號的抽樣點數(shù)，才能獲得理想的檢測效果。

關鍵詞：離散傅里葉變換；頻譜分析；信號檢測

中圖分類號：TP301.6

隨著科學技術的發(fā)展，被噪聲掩蓋的各種信號的檢測越來越受到人們的重視，應用范圍遍及聲、電、熱、力學、地質、環(huán)保、生物、醫(yī)學、激光材料等領域[1]。

同時，隨著數(shù)字信號處理技術在社會生活中的廣泛應用，數(shù)字信號處理技術在信號檢測中也發(fā)揮著重要的作用。在信號檢測中，傳感器提取的信號常常是連續(xù)時間信號，利用數(shù)字信號處理技術檢測信號，需對信號進行時域和頻域的離散化處理，再采用數(shù)字系統(tǒng)進行分析。

1 利用DFT檢測連續(xù)時間信號頻譜的原理

數(shù)字系統(tǒng)分析信號的頻譜，采用的是有限長序列的離散傅里葉變換，簡稱為離散傅里葉變換（DFT）。DFT對應的時域序列和它的頻譜均為有限長序列，因而利用DFT檢測連續(xù)時間信號的頻譜，在時域和頻域都要對信號做離散化處理和信號的截短處理[2]。

首先，對連續(xù)信號x（t）進行離散化，使之成為離散序列x[k]。為了使抽樣信號能恢復原信號，信號抽樣時應該滿足時域抽樣定理，即：

fsam≥2fm （1）

其中，fm為信號x（t）的最高頻率，fsam為抽樣頻率。

其次，如果連續(xù)信號x（t）無限長，則離散化后的序列x[k]也無限長，無法采用DFT分析，需要對其進行加窗wN[k]截短，使它成為有限長序列x[k]，即：xN[k]=x[k]wN[k]，由DTFT的性質，該式的頻域表達式為：

XN（ejΩ）=1/2π∫π-πX（ejθ）WN（ej（Ω-θ））dθ （2）

其中，X（ejΩ）、WN（ejΩ）、XN（ejΩ）分別是信號想x[k]、窗函數(shù)wN[k]、加窗后序列窗xN[k]的離散時間傅里葉變換頻譜。

當wN[k]是長度為N的矩形窗RN[k]時，相當于對序列x[k]直接截斷。WN（ejΩ）為：

（3）

矩形窗的幅度頻譜為 ，如圖1所示：

圖1 矩形窗的幅度頻譜

其中，矩形窗函數(shù)主瓣的有效寬度定義為：ΔΩw=2π/N

因此，加窗對頻譜分析形成一個不利影響，即譜線變成了具有一定寬度的譜峰，譜峰的寬度與信號的長度成反比，所取的信號越長，譜峰的寬度越窄。當信號中兩個不同頻率分量的頻率差Δf小于譜峰的有效寬度時，計算出的頻譜可能顯示不出兩個明顯的峰值。為使計算出的頻譜能顯示出相鄰的譜峰，相鄰頻率分量的頻率差Δf應當大于譜峰的有效寬度，即：

（4）

其中，T為時域抽樣間隔，N為抽樣點數(shù)，fsam為抽樣頻率，Tp=NT為時域信號的長度。由式（4）可知，所取的信號Tp越長，所能分辨的譜峰間隔Δfw就越小，即分辨相鄰譜峰的能力就越強，因此，根據(jù)（4）可知分辨相鄰譜峰所需的最小樣本數(shù)為：

（5）

2 利用DFT檢測連續(xù)信號中頻率較近的信號分量

連續(xù)信號中的兩個頻率分量在頻域相距較遠時，檢測比較容易。而當它們的頻率相距較近時，準確地檢測它們應該考慮時域連續(xù)信號的長度Tp、兩個頻率的距離Δf，從而獲得分辨兩個頻率分量的最小抽樣點數(shù)N[3]。

如連續(xù)信號x（t）=cos（2πf1）+cos（2πf2），其中f1=110Hz，f2=130Hz，兩個頻率分量相距較近Δf=20Hz。若要檢測出x（t）中的兩個頻率f1、f2，實現(xiàn)過程如下。

首先，按照時域抽樣定理式（1）選取抽樣頻譜fsam=500Hz對信號進行抽樣，樣本間隔為T=1/fsam；

根據(jù)式（5）計算當采用DFT分析其頻譜時，N≥fsam/Δf=500/20=25，

時域信號的長度：Tp=NT=25×1/500=0.05s，利用DFT求得連續(xù)信號x（t）近似頻譜的MATLAB仿真波形如圖2所示：

如果選取時域信號的抽樣樣本數(shù)N=20，連續(xù)信號x（t）頻譜的MATLAB仿真波形如圖3所示：

圖2 信號樣本點數(shù)N=25

圖3 信號樣本點數(shù)N=20

比較圖2、圖3可以看出：如果對時域信號抽樣時選取的樣本數(shù)大于等于25，能夠清晰分辨出連續(xù)信號想x（t）中的兩個頻率成分f1=110Hz，f2=130Hz，如果選取的樣本數(shù)小于25則不能明確判斷出信號x（t）中的頻率分量是一個還是兩個。

3 結束語

利用DFT檢測連續(xù)信號中頻率較近的分量時，應當根據(jù)分量的頻率差、窗函數(shù)主瓣的有效寬度、時域信號的抽樣頻率，并準確計算時域信號的抽樣點數(shù)，才能獲得理想的檢測效果。

參考文獻：

[1]高晉占.微弱信號檢測[M].北京：清華大學出版社.2004.

[2]陳后金，薛健，胡健.數(shù)字信號處理（第2版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]劉曉虹.信號分析與處理實驗[M].呼和浩特：內蒙古大學出版社，2011.

作者簡介：劉曉虹（1969-），女，碩士，副教授，研究方向：數(shù)字信號處理。

作者單位：包頭師范學院 信息科學與技術學院，內蒙古包頭 014030

基金項目：包頭市科技局項目（項目編號：2013Z2010-03）。