中圖分類號：TN722.75"文獻標識碼：A

摘要：采用數學建模的方式，研究了在無記憶下的功放機理。同時也對無記憶下預失真建模以及建立了無記憶功放模型。根據函數逼近的Weierstrass定理，對功放特性函數總可以用一個次數充分大的多項式逼近到任意程度，故可采用計算簡單的多項式表示非線性函數。結果表明：可以選定較低次的多項式去逼近功放特性函數，能滿足實際的需要，同時又保證了實現的復雜度和效果精度。

關鍵詞：功放;非線性;預失真;多項式;非劣解

1.問題的重述

目前已提出了各種技術來克服改善功放的非線性失真，其中預失真技術是被研究和應用較多的一項新技術，其最新的研究成果已經被用于實際的產品（如無線通信系統(tǒng)等），但在新算法、實現復雜度、計算速度、效果精度等方面仍有相當的研究價值。

如果某一時刻的輸出僅與此時刻的輸入相關，稱為無記憶功放。利用所給輸入和輸出數據，分別討論功放的非線性特性數學模型和預失真處理模型。并運用評價指標參數NMSE/EVM來評價所建模型的準確度。

2.變量說明

t時間變量;x（t）輸入信號;

y（t）預失真器的輸出;z（t）輸出信號;

G（x）功放特性函數;

F（x）預失真器特性函數;L（x）復合函數;

x（n）離散采樣后輸入信號值;

z（n）離散采樣后輸出信號值;

g功放幅度放大倍數（ggt;1）;

k多項式的階數;

hk無記憶模型下各次冪的系數;

hkm記憶模型下多項式各次冪系數;

z（n）^通過模型計算的信號值;

e理想輸出與模型輸出的信號誤差。

3.問題分析

預失真的基本原理是：在功放前設置一個預失真處理模塊，這兩個模塊的合成總效果使整體輸入-輸出的特性線性化，使輸出功率得到充分利用。由于各類功放的固有特性不同，特性函數差異較大，即使同一功放，由于輸入信號類型，環(huán)境溫度等的改變，其非線性特性也會發(fā)生變化。故預失真的實質是功放模型的求逆問題。

4.無記憶功放

4.1"模型的建立

根據函數逼近的Weierstrass定理，對解析函數G（x）總可以用一個次數充分大的多項式逼近到任意程度，故可采用計算簡單的多項式表示非線性函數。

如果某一時刻的輸出僅與此時刻的輸入相關，稱為無記憶功放，其特性可用多項式表示為

z（t）=∑Kk=1hkxk（t）t∈[0，T]（1）

式中k表示非線性的階數（即多項式次數），諸hk為各次冪的系數。在函數逼近理論中，z（t）是用函數組{x0，x，x2，x3，…，xk}生成的K+1維空間里的這組基的線性組合表示。

4.2"模型的求解

如果對功放輸入x（t）/輸出z（t）進行離散采樣后值為分別為x（n）/z（n），則（1）可用離散多項式表示如下

z（n）=∑kk=1hkxk（n）=h1x（n）+h2x2（n）+…+hkxk（n）n=0，1，2，…，N（2）

于是，采用多項式擬合的方法，可以求得多項式的各次冪系數，功放的特性函數也就用此多項式z（n）逼近，得到功放的特性函數G0的多項式表示形式。在采用多項式擬合算法中會產生常系數h0

z（n）=h0+h1x（n）+h2x2（n）+…+hkxk（n）當h0足夠小時，誤差認為可以忽略不計。

4.3"模型結果分析標準

采用歸一化均方誤差（Normalized"Mean"Square"Error，NMSE）來表征計算精度，其表達式為

NMSE=10log10∑Nn=1|z（n）-z（n）^|2∑n=1N|z（n）|2（3）

如果用z表示實際信號值，z^表示通過模型計算的信號值，NMSE就反映了模型與物理實際模塊的接近程度。功放前加載預失真處理后，也可用NMSE判斷整體模型輸出值與理想輸出值的近似程度。

同時計算評價標準NMSE在不同階數下的值。由NMSE的定義，我們可以定義誤差率

e=∑n=1N|z（n）-z（n）^|2∑n=1N|z（n）|2=100.1·NMSE（4）

下面依次取不同的多項式的次數，擬合散點圖。觀察在不同的次數下NMSE和誤差率e的變化情況，并觀察擬合曲線與散點圖的吻合程度，分析信號輸入幅度對擬合效果的影響。可以從NMSE和誤差率e"分析出所建模型準確程度。

圖1取不同的多項式的次數，擬合散點圖

（1）當k=2時，NMSE=-21.1974，e=0.0076;

（2）當k=3時，NMSE=-21.5403，e=0.0070;

（3）當k=4時，NMSE=-21.5671，e=0.0070;

（4）當k=5時，NMSE=-21.5761，e=0.0070;

（5）當k=6時，NMSE=-21.5806，e=0.0069;

（6）當k=7時，NMSE=-21.5841，e=0.0069;

5.模型結果分析：

（1）隨著輸入幅度的增加，曲線擬合的效果會逐漸變差，輸入幅度保持在一定范圍內時，擬合效果會比較好。（2）當k=2時，擬合曲線與散點圖差異比較明顯。（3）當多項式的階數增加時，擬合曲線與散點圖的差異性減小。（4）隨著擬合多項式次數的增加，歸一化均方誤差NMSE沒有顯著性的變化，在-21.5左右變化。當k的取值從3開始，誤差率e也變化不明顯，維持在0.7%左右。（5）于是從簡化計算的方面考慮，同時也使誤差率維持在較低水平，0.7%的誤差水平是可以接受的水平，于是選取3階的多項式擬合已經可以達到實際需要。

參考文獻：

[1]John"Tsimbinos，Identification"and"Compensation"of"Nonlinear"Distortion，PhD"Dissertation，School"of"Electronic"Engineering，University"Of"South"Australia，Adelaide，February"1995.

[2]Raviv"Raich，et"al.Orthogonal"Polynomials"for"Power"Amplifier"Modeling"and"Predistorter

[3]姚應磊.功率放大器的基帶預失真方法研究[D].西安：西安電子科技大學，2001.

[4]"錢葉青，劉富強.Wiener功率放大器的簡化預失真方法[J].通信學報，2007，28（10）：55-59.

作者簡介：

張勇（1991—），男，研究生，主要從事計算機應用技術。

通訊作者：

馬?。?963-），教授，主要從事小波分析研究與運用。