摘 要：為充分利用計(jì)算機(jī)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，本文提出了一種基于計(jì)算機(jī)模擬的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法由正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、高斯過程回歸及序列二次規(guī)劃組成。其中，應(yīng)用有限元軟件進(jìn)行正交試驗(yàn)，通過高斯過程回歸建立輸入響應(yīng)關(guān)系，采用SQP算法求解優(yōu)化模型。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果合理，優(yōu)化方法有效，從而能夠減少計(jì)算機(jī)模擬的次數(shù)，提高設(shè)計(jì)效率。

關(guān)鍵詞：計(jì)算機(jī)模擬；高斯過程回歸；優(yōu)化設(shè)計(jì)

中圖分類號：TH122

在產(chǎn)品研制與工程應(yīng)用中，計(jì)算機(jī)模擬（Computer Simulation）越來越重要。例如，設(shè)計(jì)人員借助有限元分析（FEA）軟件，可以精確調(diào)控各種參數(shù)，探究復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的輸入響應(yīng)和預(yù)測產(chǎn)品性能。這種在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行的“數(shù)值試驗(yàn)”或“虛擬試驗(yàn)”與模型試驗(yàn)相比，具有成本低與周期短等特點(diǎn)。然而，因?yàn)殡y以從數(shù)值結(jié)果中獲得非常明確的優(yōu)化信息，所以將計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)直接用于改善產(chǎn)品性能，對于缺乏經(jīng)驗(yàn)的工程師來講存在較大的困難。因此，有必要將優(yōu)化方法與計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)相結(jié)合，由數(shù)學(xué)尋優(yōu)過程代替設(shè)計(jì)人員的經(jīng)驗(yàn)，自動控制設(shè)計(jì)改進(jìn)方向，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)和產(chǎn)品的最優(yōu)化設(shè)計(jì)。

鑒于二者在結(jié)合上的不足，本文建立了一種基于計(jì)算機(jī)模擬的優(yōu)化方法。該方法由正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、高斯過程回歸、序列二次規(guī)劃組成。文中給出了設(shè)計(jì)優(yōu)化流程，并通過算例表明了該方法的有效性。

1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)法是統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)的重要分支。它是以概率論及數(shù)理統(tǒng)計(jì)、專業(yè)知識和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，充分利用標(biāo)準(zhǔn)化的正交表來安排試驗(yàn)方案，并對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算分析，最終達(dá)到減少試驗(yàn)次數(shù)，縮短試驗(yàn)周期，快速找到優(yōu)化方案的一種設(shè)計(jì)方法。

正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)在試驗(yàn)因素的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進(jìn)行試驗(yàn)，通過對這部分試驗(yàn)結(jié)果的分析來了解全面試驗(yàn)的情況。

2 高斯過程回歸

高斯過程（Gaussian Process）是一種自然界中普遍存在且重要的隨機(jī)過程，也叫正態(tài)隨機(jī)過程，在機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域中應(yīng)用比較廣泛。

GP是任意有限維隨機(jī)變量均具有聯(lián)合高斯分布的集合，將高斯過程應(yīng)用于回歸問題，稱為高斯過程回歸（GPR）。高斯過程回歸是近年來發(fā)展起來的一種機(jī)器學(xué)習(xí)回歸方法，對處理高維度、小樣本、非線性等復(fù)雜問題具有很好的適應(yīng)性[1]。

式中，Nd代表問題的維度（變量的個(gè)數(shù)），θk為訓(xùn)練點(diǎn)xi與xj的維度之間的相關(guān)參數(shù)。

則，測試點(diǎn)x的高斯過程預(yù)測值的均值為

3 序列二次規(guī)劃

非線性約束優(yōu)化問題是實(shí)際工程中最常見的優(yōu)化問題，人們通過對它的研究，提出了解決此類問題的許多方法，如罰函數(shù)法，可行方向法，及序列二次規(guī)劃方法（Sequential Quadratic Programming）等。其中，SQP算法是20世紀(jì)80年代發(fā)展起來的一種優(yōu)化方法，其通過求解一系列二次規(guī)劃（Quadratic Programming）子問題來實(shí)現(xiàn)非線性約束問題的優(yōu)化，具有快速收斂的特點(diǎn)[4]。

4 設(shè)計(jì)優(yōu)化流程

建立在計(jì)算機(jī)模擬與高斯過程回歸基礎(chǔ)上的設(shè)計(jì)優(yōu)化流程如圖1所示。首先通過基于計(jì)算機(jī)模擬的正交試驗(yàn)獲得訓(xùn)練集，進(jìn)而采用高斯過程回歸建立代理模型替代仿真模型，這樣在優(yōu)化循環(huán)中就得以避免反復(fù)的計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，從而顯著提高設(shè)計(jì)優(yōu)化效率。

5 算例分析

選擇板厚h=10mm，截面如圖2所示的懸臂托架作為算例研究研究對象。

方式將懸臂懸梁托架進(jìn)行支撐和施加載荷，其中，均布載荷為5MPa。根據(jù)功能要求，托架選定合金鋼材料（alloy steel（SS）），彈性模量為E=2.1e+11Pa，泊松比ν=0.28，質(zhì)量密度ρ=7700kg/m^3，屈服力Y=6.2e+08N/m^2，而且外形尺寸不能變化。中心開孔大小由d1、d2和d3控制，這些尺寸可以在一定的范圍內(nèi)變化。要求最大von Mises應(yīng)力不超過[σ]=300MPa，最大變形不超過[δ]=0.21mm，在滿足上述條件的情況下，確定d1、d2和d3，最小化懸臂托架的體積，即用材最少。其數(shù)學(xué)模型為：

如上所述，本算例中影響目標(biāo)函數(shù)的因素有d1，d2與d3，對每個(gè)因素指定三個(gè)水平。對于3因素3水平試驗(yàn)，若不考慮交互作用，可參考L9（34）正交表，僅包含9個(gè)水平組合，就能反映試驗(yàn)方案包含27個(gè)水平組合的全面試驗(yàn)的情況。

通過上述正交試驗(yàn)，獲得輸入值、響應(yīng)值均為9×3矩陣的訓(xùn)練集。然后采用MATLAB軟件，分別編制高斯回歸函數(shù)以及優(yōu)化程序。具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

（1）編制高斯回歸函數(shù)?；诒?中的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，按照前述的高斯回歸方法，求解θ和β，建立對應(yīng)的高斯回歸模型。

（2）編制優(yōu)化程序，由主函數(shù)、目標(biāo)函數(shù)及約束函數(shù)組成。主函數(shù)調(diào)用MATLAB非線性約束優(yōu)化函數(shù)fmincon（obj，x0，A，b，Aeq，beg，1b，ub，con，options）其中通過設(shè)置options選取SQP算法。

（3）編制目標(biāo)函數(shù)（obj），調(diào)用步驟1獲得的高斯回歸模型預(yù)測（計(jì)算）設(shè)計(jì)變量對應(yīng)的體積，作為目標(biāo)函數(shù)的返回值。

（4）編制約束函數(shù)（con），調(diào)用步驟1獲得的高斯回歸模型預(yù)測（計(jì)算）設(shè)計(jì)變量對應(yīng)的最大應(yīng)力與最大變形，作為約束函數(shù)的返回值。

（5）求解。優(yōu)化結(jié)果為[d1，d2，d3]=[19.3747，10.0，33.3501]，對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為76176mm3。

將優(yōu)化點(diǎn)輸入到仿真系統(tǒng)SolidWorks/Simulation中進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。經(jīng)CAD三維測量，優(yōu)化點(diǎn)對應(yīng)的懸臂托架的體積為75914mm3，與數(shù)值優(yōu)化的結(jié)果相差為0.34%。經(jīng)有限元分析，得到懸臂托架的應(yīng)力分布圖最大應(yīng)力為284.2MPa，最大變形為0.2112mm。最大應(yīng)力接近應(yīng)力約束，最大變形超限0.0012mm?？紤]到小樣本、回歸預(yù)測誤差、數(shù)值方法的計(jì)算誤差等因素，計(jì)算結(jié)果說明本文方法是有效合理的。

6 結(jié)束語

本文建立了一種基于計(jì)算機(jī)模擬的優(yōu)化方法，通過正交試驗(yàn)提供基于有限元分析（FEA）的樣本數(shù)據(jù)，采用高斯過程回歸建立設(shè)計(jì)變量（輸入）與目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)（輸出）之間的響應(yīng)關(guān)系，SQP求解優(yōu)化模型。

經(jīng)FEA模擬驗(yàn)證，數(shù)值優(yōu)化結(jié)果合理。表明高斯過程回歸在小樣本的情況下，仍然具有很好的數(shù)據(jù)建模能力，能夠減少計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的次數(shù)。因而，在基于計(jì)算機(jī)模擬的優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中得以避免反復(fù)的計(jì)算機(jī)試驗(yàn)，達(dá)到了提高設(shè)計(jì)效率的目的。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡介：陳宗帥（1988.02-），男，山東臨沂人，在讀碩士，研究方向：現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

作者單位：西華大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，成都 610039