“數(shù)學(xué)美”有著廣泛的涵義.數(shù)學(xué)概念的簡潔性、統(tǒng)一性;數(shù)學(xué)命題的概括性、典型性;幾何圖形的對(duì)稱性、和諧性;數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的完整性、協(xié)調(diào)性;以及數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的新穎性、奇異性等都是數(shù)學(xué)美的具體內(nèi)容和形式.而數(shù)學(xué)方法及其思維上的簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等,又是審美情感支配下對(duì)數(shù)學(xué)美的追求.
通過計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代化教學(xué)技術(shù),我們能創(chuàng)設(shè)出比傳統(tǒng)教學(xué)更賦啟發(fā)性的教學(xué)情境,由多媒體創(chuàng)造出生動(dòng)具體的情景,可以集中顯示時(shí)空變換的流動(dòng)美、視聽兼?zhèn)涞牧Ⅲw美、景色物態(tài)的色彩美、和語言表達(dá)的韻律美;能把學(xué)習(xí)內(nèi)容在大和小、動(dòng)和靜、虛和實(shí)、近和遠(yuǎn)、快和慢、局部和整體之間相互轉(zhuǎn)化,打破時(shí)間、空間,宏觀、微觀為學(xué)生視聽帶來得限制,使學(xué)生的視野在短時(shí)間完成較大的跳躍,使教學(xué)內(nèi)容鮮明生動(dòng),富于感染力.
1 創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境,追求數(shù)學(xué)思維的抽象之美、無限之美,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì),輕松突破重難點(diǎn)
數(shù)學(xué)來源于生活,也應(yīng)用于生活.在教學(xué)的過程中將一個(gè)看似簡單的知識(shí),利用多媒體全方位地展示其在生活中不同領(lǐng)域的客觀存在,讓數(shù)學(xué)之美滲入到學(xué)生的心靈,并在美的熏陶下,得到感情的共鳴和思維的啟迪,從而激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛與濃厚的興趣.
以必修一3.1.2《用二分法求方程的近似解》為例:
“二分法”是新課程改革為高中數(shù)學(xué)注入的新的元素,體現(xiàn)了新課改注重對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的教學(xué)理念.而本課的重點(diǎn)則在于領(lǐng)會(huì)一種數(shù)學(xué)思維方式.筆者對(duì)本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是:讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題,以數(shù)學(xué)中的“生活之美”激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣,通過主動(dòng)學(xué)習(xí),從另一個(gè)角度來“求方程的近似解”.
“二分法”看似一個(gè)全新的數(shù)學(xué)名詞,實(shí)際上它已經(jīng)廣泛地存在于人們的生活之中,被人們所應(yīng)用.因此筆者通過多媒體的教學(xué)手段,和學(xué)生玩了一個(gè)“看商品猜價(jià)格”的游戲,既活躍了課堂氣氛,又借助在猜價(jià)格游戲中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形、分析數(shù)據(jù),感受“二分法”的解題特點(diǎn),從而不斷地完善思維結(jié)構(gòu),將抽象的規(guī)律直觀起來,領(lǐng)會(huì)“二分法”的實(shí)質(zhì).這樣,也使得后面的教學(xué)順理成章,輕松突破了本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn).
同時(shí),在求函數(shù)( )ln26f xxx=++的零點(diǎn)問題上,筆者利用《幾何畫板》的作圖以及運(yùn)算功能,模擬猜價(jià)格游戲,通過“取中點(diǎn)”的方法來逐步縮小零點(diǎn)的范圍,使區(qū)間兩端盡可能向零點(diǎn)無限逼近,那么在一定精確度下,即可求出零點(diǎn)近似解,完成本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn).
2 構(gòu)建多元聯(lián)系的學(xué)習(xí)環(huán)境,尋求數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的變式美、奇異美,探究知識(shí)的形成過程,使知識(shí)融會(huì)貫通
數(shù)學(xué)是系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科,每項(xiàng)新知識(shí)往往是舊知識(shí)的延伸和發(fā)展,又是后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ).在數(shù)學(xué)教學(xué)中要找準(zhǔn)知識(shí)的最近生長點(diǎn),使學(xué)生建立起數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò),在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知,做到融會(huì)貫通.從而促成由已知到未知的推理,認(rèn)識(shí)簡單與復(fù)雜問題的連結(jié).通過數(shù)學(xué)學(xué)科本身的“邏輯之美”,訓(xùn)練學(xué)生的思維,最終達(dá)到活用知識(shí)解決問題的目的.
以必修二2.2.1《直線與平面平行的判定》為例:
為了解決立體幾何問題,老師們往往需要把空間元素間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面上有關(guān)元素間的關(guān)系.運(yùn)用“由空間向平面轉(zhuǎn)化”的方法.將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形,然后根據(jù)平面圖形作分析處理問題.
平面平行問題是學(xué)生初中所學(xué)內(nèi)容,大部分學(xué)生掌握的較好.以這一知識(shí)為生長點(diǎn),筆者從一道簡單的例題入手,借助多媒體對(duì)原有的圖象進(jìn)行不同的變形,從而引申出不同的例題,實(shí)現(xiàn)不同的教學(xué)目標(biāo).同時(shí),利用多媒體的動(dòng)態(tài)演示功能,還能很好地將空間的直線問題進(jìn)行平移,從而轉(zhuǎn)化為平面中的直線問題加以解決,讓學(xué)生充分感受如何“構(gòu)造平面、尋找線線平行”的邏輯推理,從中進(jìn)一步體會(huì)“直線與直線平行的判定”對(duì)解決“直線與平面平行的判定”的重要性,進(jìn)一步感知“空間問題平面化”和“位置關(guān)系相互轉(zhuǎn)化”在解決問題中的應(yīng)用.
例 如圖1,已知:空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點(diǎn).求證:/ /EF平面BCD.
變式2 四棱錐A? DBCE中,底面DBCE為平行四邊形,F(xiàn)為AE的中點(diǎn).試判斷AB與平面DCF的位置關(guān)系,并證明.
(利用幾何畫板,演示“平移”思想,讓學(xué)生直觀感受平行線的找法)
變式3 如圖3,四棱錐A DBCE?中, 底面DBCE為平行四邊形,M,N分別為BD,AC的中點(diǎn), 試判斷MN與平面ADE的位置關(guān)系,并證明.
(利用幾何畫板,讓學(xué)生再次感受“平移”思想在尋找平行線中的作用)
例題及三種變式分別從“三角形中位線定理、平行線分線段成比例定理、平行四邊行對(duì)邊平行”,這三個(gè)平面直線平行證明中最常用的結(jié)論來解決了空間直線平行問題.學(xué)生在感受多媒體所帶來的圖象變式美與動(dòng)態(tài)美的同時(shí),對(duì)所學(xué)知識(shí)也有了一個(gè)思想認(rèn)識(shí)上的升華,對(duì)進(jìn)一步的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了積極的作用.
3 提供自由的探索平臺(tái),展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美、和諧之美,探究解決問題的科學(xué)方法,體會(huì)數(shù)學(xué)的無處不在
一提到數(shù)學(xué)這個(gè)詞,大家的腦中就會(huì)浮現(xiàn)出“數(shù)字”或是“題”,學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué),感覺只要做題就行了.而在使用新教材的過程中,筆者逐漸體會(huì)到,數(shù)學(xué)它本身并不是為了讓人們用數(shù)字做題而存在,它有更非富的內(nèi)涵,是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一種思考、描述、刻畫、解釋、理解,其目的是發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中所蘊(yùn)含的一些數(shù)與形的規(guī)律,為社會(huì)的進(jìn)步和人類的發(fā)展服務(wù).數(shù)學(xué)的“內(nèi)涵之美”,由于人類的心靈而存在.你可以自由探索自己心目中的數(shù)學(xué)世界,通過這種自由探索,更好的為人類服務(wù),才是數(shù)學(xué)美的力量所在.
以必修一3.2.2《函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用》為例.
“函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用”就是函數(shù)知識(shí)的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用,既具有豐富的實(shí)際背景,又體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想方法,是一個(gè)能引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中自由探索,發(fā)現(xiàn)問題并用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問題的良好教學(xué)素材.
例 某地區(qū)不同身高的未成年男性體重平均值:
提問:根據(jù)提供的數(shù)據(jù),能否建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,使它能比較接近地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性的身高和體重的函數(shù)關(guān)系?
生1:可以用一條遞增的直線擬合.
生2:我覺得這些點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線,用指數(shù)型函數(shù)模型擬合更為接近.
生3:我覺得它更接近于二次函數(shù)圖象的半支,為什么不能用二次函數(shù)擬合呢?
.....
學(xué)生眾說紛紜,那么怎樣消除學(xué)生心中的疑惑呢?用數(shù)據(jù)說話是最有說服力的.但往往實(shí)際生活中的數(shù)據(jù)都比較大,除此之外,擬合函數(shù)的求法也較為復(fù)雜,需要花費(fèi)大量的時(shí)間.
通過這種小組合作的方式,讓學(xué)生自覺地運(yùn)用問題所給的條件進(jìn)行自主探究,在相互交流與碰撞中尋求解決問題的最佳方法和途徑,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力,讓學(xué)生獲得成功的喜悅,體會(huì)數(shù)學(xué)給人們生活帶來的服務(wù).
4 架設(shè)有效的認(rèn)知橋梁,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)辯證美、靈動(dòng)美,學(xué)會(huì)用所學(xué)的知識(shí)分析解決問題
定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法,熟悉不同概念的不同定義方式,是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的一個(gè)必備條件.解析幾何中利用曲線的定義研究軌跡問題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn),在課本的教學(xué)中,只能通過表達(dá)式與計(jì)算來說明整個(gè)過程中動(dòng)與靜的關(guān)系,變與不變的內(nèi)在聯(lián)系,較為抽象且難理解.但借助《幾何畫板》軟件,將“動(dòng)”的過程展現(xiàn)在學(xué)生面前,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的過程中,尋找不變的幾何關(guān)系,從而得到結(jié)論,讓學(xué)生在感受數(shù)學(xué)“靈動(dòng)美”的同時(shí),發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的“辯證之美”,并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到用定義去分析問題的必要性.
以選修1-1《圓錐曲線與方程》復(fù)習(xí)課為例例 圓O的半徑為定長r,A是圓O內(nèi)一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線m和半徑OP相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是什么?為什么?
同時(shí),當(dāng)我們將題目稍加變式,輕輕移動(dòng)一個(gè)點(diǎn),就讓結(jié)論產(chǎn)生了“神奇”的變化,得到了本章學(xué)習(xí)的另一個(gè)重要曲線“雙曲線”.讓學(xué)生再一次領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力.
變式 圓O的半徑為定長r,A是圓外一個(gè)定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線m和半徑OP相交于點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是什么?為什么?
數(shù)學(xué)之所以難學(xué),就在于它的高度抽象性,盡可能把數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)的形成過程還原出來,充分地利用形象的材料作為抽象的原形和依托,學(xué)生就可以感受到生動(dòng)豐富的數(shù)學(xué)“抽象之美”,從而形成抽象思維能力.在這一點(diǎn)上,現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度,可以為學(xué)生提供更加豐富的直觀圖象,以及動(dòng)態(tài)的生成過程.這為數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)的形成,提供了必要的準(zhǔn)備,也有利于學(xué)生在操作、觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)的過程中,實(shí)現(xiàn)知識(shí)的主動(dòng)建構(gòu).
以必修一2.1.2《指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)》為例:
傳統(tǒng)教學(xué)中往往是簡單的通過幾幅圖象所呈現(xiàn)出來的特征,由老師直接把指數(shù)函數(shù)圖象及相應(yīng)的性質(zhì)告訴學(xué)生,學(xué)生被動(dòng)地接受,但僅靠一兩個(gè)函數(shù)圖象去歸納圖象的性質(zhì)是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模坏灰鬃寣W(xué)生接受也容易被遺忘.因此這節(jié)課,選擇在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下教學(xué),讓學(xué)生自主探究.
(1)用《幾何畫板》在同一坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)的圖象
學(xué)生借助《幾何畫板》軟件,通過改變a的值,實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)及其圖象的實(shí)時(shí)變換,順利實(shí)現(xiàn)在函數(shù)解析式表示與圖象表示之間的相互轉(zhuǎn)換.讓學(xué)生體驗(yàn)從量變到質(zhì)變的事物發(fā)展規(guī)律.并在動(dòng)態(tài)的生成過程中讓學(xué)生經(jīng)歷操作、觀察、猜想、發(fā)現(xiàn)全過程,體驗(yàn)圖象的動(dòng)態(tài)美.感受數(shù)學(xué)圖象形成過程中的嚴(yán)謹(jǐn)之美、統(tǒng)一之美.
總而言之,信息化是當(dāng)今世界經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展的大趨勢(shì),現(xiàn)代信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)的有效整合,給我們每一位教師提供了創(chuàng)新、改革的天地.利用信息技術(shù)所提供的平臺(tái),開啟教師的智慧,創(chuàng)新設(shè)計(jì)每節(jié)課的各個(gè)環(huán)節(jié),用“數(shù)學(xué)之美”讓學(xué)生更加深刻體會(huì)數(shù)學(xué)的作用與價(jià)值,感悟數(shù)學(xué)的真諦,更好的為社會(huì)服務(wù),是我們今后的教學(xué)中需要不斷地努力與研究的方向.
參考文獻(xiàn)
[1]芮玉貴.圖形計(jì)算器支持下的數(shù)學(xué)探究性課堂教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2010(12):14-16
[2]史建春.怎樣讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)美.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2008(4):5
[3]張繼斯.利用數(shù)學(xué)美的思想方法指導(dǎo)解題.廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào),2008