高中階段函數(shù)的切線斜率與割線斜率的關(guān)系是一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，我們知道，拉格朗日中值定理是微分學(xué)中一個(gè)非常重要的基本定理，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少高中老師和學(xué)生會(huì)自覺(jué)不自覺(jué)地應(yīng)用格朗日中值定理（逆定理）去解切線斜率與割線斜率的關(guān)系的問(wèn)題，但由于對(duì)拉格朗日中值定理（逆定理）理解上的不到位，常犯一些科學(xué)性的錯(cuò)誤.本文就這一問(wèn)題作些探究.

1 拉格朗日中值定理及其逆定理

推論1 若函數(shù)f（ x ）滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間（a， b）上可導(dǎo)，（3）在閉區(qū)間[a， b]上有拐點(diǎn)，則“定理2”在區(qū)間[a， b]被拐點(diǎn)分成的每個(gè)小區(qū)間上成立.（ 定理2及推論1的證明見(jiàn)文獻(xiàn)[1]）

從以上的定理1、2及推論1可以得到對(duì)高中數(shù)學(xué)解題非常好用的一個(gè)推論2.

推論2 若函數(shù)f（ x ）滿足以下條件：（1）在閉區(qū)間[a， b]上連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間（a， b）上可導(dǎo)，記函數(shù)f（ x ）在[a， b]（或[a， b），（a， b]，（a， b））內(nèi)所有割線的斜率取值范圍為集合A，記函數(shù)f（ x ）在（a， b）內(nèi)所有切線的斜率取值范圍為集合B，則A？B，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)f（ x ）在（a， b）內(nèi)沒(méi)有拐點(diǎn)時(shí)A= B.

但由于高中階段知識(shí)的局限性，解答中不推薦學(xué)生用“中值定理”“拐點(diǎn)”等知識(shí)解題.可用“構(gòu)造函數(shù)法”來(lái)解：

反思 ①由以上分析不難發(fā)現(xiàn)，若能正確理解拉格朗日中值定理及逆定理，解此類題的選填題時(shí)用此定理解題優(yōu)勢(shì)明顯，并且筆者發(fā)現(xiàn)許多函數(shù)無(wú)論定義在開(kāi)、閉、半開(kāi)閉區(qū)間上的割線斜率的取值范圍都只能是開(kāi)區(qū)間.不過(guò)至今還沒(méi)給出證明，也舉不出反例.②由于高中階段學(xué)生所學(xué)知識(shí)的局限性，在高中階段再對(duì)學(xué)生補(bǔ)充拐點(diǎn)等知識(shí)加重了學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，不切實(shí)際.因此，解此等類題的解答題時(shí)用構(gòu)造函數(shù)法較為妥當(dāng).③建議出題者在出此等類型題時(shí)要避開(kāi)簡(jiǎn)單的用拉格朗日中值定理把切割線“隨意等價(jià)”替代后也能得到正確答案的題目，如上述中把例2、例4中的“=”去掉，若再用拉格朗日中值定理把切割線“隨意等價(jià)”替代，那就無(wú)法得到正確答案，給一線教師評(píng)卷帶來(lái)極大的方便.

參考文獻(xiàn)

[1]陳建威.關(guān)于拉格朗日（Lagrange）中值定理的逆定理問(wèn)題.紅河學(xué)院學(xué)報(bào)，1986（3）：133-138

[2]陳天明，李云杰.基于考試的數(shù)形結(jié)合思想研究.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2012（5）：-7