摘要

先看兩個(gè)例子及解答：

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（2）如圖所示，求弓形ACB內(nèi)接矩形的面積的最大值.當(dāng)弓形恰為半圓時(shí)，其內(nèi)接矩形的面積的最大值為多少？

回顧

福建省初等數(shù)學(xué)研究會(huì)要在永春、石獅開(kāi)年會(huì)，征集論文，那時(shí)我不太清楚什么是初等數(shù)學(xué)研究，只覺(jué)得應(yīng)該是用初等的方法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題.我在不等式的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)有一類(lèi)問(wèn)題，如果用高等數(shù)學(xué)知識(shí)去解題，相對(duì)容易解決，而用初等數(shù)學(xué)方法去解，就需要一定的技巧.在這類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)時(shí)，我和學(xué)生一起用中學(xué)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)嘗試解決這類(lèi)問(wèn)題.我們發(fā)現(xiàn)，這類(lèi)問(wèn)題，可以運(yùn)用均值不等式取得最大值或最小值的條件，去尋找待定的正整數(shù)，進(jìn)一步解決問(wèn)題.我原稿的標(biāo)題是《求一類(lèi)最值問(wèn)題的“待定正整數(shù)”法》，后來(lái)編輯將標(biāo)題改為《求一類(lèi)最值問(wèn)題的一般方法淺談》發(fā)表.

凝思

在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，初等數(shù)學(xué)曾經(jīng)發(fā)揮過(guò)不可估量的作用.一方面，它自身有著豐富的內(nèi)容，形成了完整、系統(tǒng)的理論，在數(shù)學(xué)史上有過(guò)光輝的一頁(yè).另一方面，它是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，是走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的階梯，許多現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支都由此發(fā)端.

當(dāng)年我沒(méi)有搞清“初等數(shù)學(xué)”的定義，今天總要稿清楚了吧？于是我找來(lái)一些與初等數(shù)學(xué)有關(guān)的書(shū)查閱，看看是怎么定義的？如趙慈庚的《初等數(shù)學(xué)研究》，無(wú)定義，只說(shuō)“初等數(shù)學(xué)研究是北師大本世紀(jì)（20世紀(jì)）20年代創(chuàng)立的一門(mén)進(jìn)修課程”；又如沈文選主編的《初等數(shù)學(xué)研究教程》，總算找到了“什么是初等數(shù)學(xué)”？答案是：嚴(yán)格地說(shuō)，這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有確定的答案，至少是沒(méi)有滿意的確定答案，我們只能給出部分解釋.再如鐘善基主編的《初等數(shù)學(xué)概論》，該書(shū)在前言中明說(shuō)道：事實(shí)上，就數(shù)學(xué)的科學(xué)知識(shí)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，很難對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的某些內(nèi)容作出“初等”或“高等”的劃分.

我心有不甘，索性上百度百科和搜搜百科查查“初等數(shù)學(xué)”，結(jié)果兩個(gè)“百科”對(duì)“初等數(shù)學(xué)”給出了完全一致的答案：在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分和把它嚴(yán)格在極限理論基礎(chǔ)上之前，數(shù)學(xué)的研究方法都沒(méi)有極限這個(gè)概念.可以模糊地說(shuō)初等數(shù)學(xué)是用高技巧和樸素的方法研究數(shù)學(xué)，而沒(méi)包括極限思想.說(shuō)是模糊，乃是因?yàn)槲覀儾豢赡芙o它下一個(gè)精確的定義，也沒(méi)有這個(gè)必要.

展望

我國(guó)初等數(shù)學(xué)研究十分活躍，前不久在廈門(mén)雙十中學(xué)舉辦的全國(guó)第八屆、福建省第九屆初等數(shù)學(xué)教育教學(xué)暨初等數(shù)學(xué)研究學(xué)術(shù)研討會(huì)，就來(lái)了張景中院士、單墫教授、羅增儒教授和楊學(xué)枝理事長(zhǎng)，吳康常務(wù)副理事長(zhǎng)，周春荔顧問(wèn)、楊世明顧問(wèn)、汪江松顧問(wèn)、沈文選、副理事長(zhǎng)劉培杰 （哈工大出版社，副編審） 、曹一鳴（北師大，教授）、王光明（天津師大，教授）、沈自飛（浙江師大，教授）、陳清華（福建師大，教授）、李建泉（天津師大，副教授）、蕭振綱（湖南理工學(xué)院，教授）、龍開(kāi)奮（廣西師大，教授）、孫文彩（深圳平岡中學(xué)，高級(jí)教師）、江嘉秋秘書(shū)長(zhǎng)等.可謂精英集萃，群賢畢至.

注意到全國(guó)是第八屆研討會(huì)，而我們福建省是第九屆研討會(huì)，足見(jiàn)福建省的初等數(shù)學(xué)研究起步早、成果多、極活躍，這和領(lǐng)軍人物楊學(xué)枝老師的執(zhí)著堅(jiān)守、勤奮工作、精心研究是分不開(kāi)的.楊老師功不可沒(méi)！

直到今天，研究初等數(shù)學(xué)仍然是許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家共同關(guān)心的一大課題.他們所關(guān)心的主要由兩個(gè)方面：一是繼續(xù)搜尋初等數(shù)學(xué)的新結(jié)論，為初等數(shù)學(xué)的理論寶庫(kù)增添新的財(cái)富；二是闡發(fā)現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供深刻的背景.當(dāng)然，要在初等數(shù)學(xué)研究中真正有所發(fā)現(xiàn)，確非易事.這不但對(duì)初等數(shù)學(xué)要有深入的理解，而且對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)也要有深厚的功力.也就是說(shuō)，只有站在更高的層次，用現(xiàn)代的觀點(diǎn)來(lái)研究初等數(shù)學(xué)，才能發(fā)前人之所未發(fā)，取得實(shí)質(zhì)性的成果.

初數(shù)研究幾多難？李矗詩(shī)曰：“初數(shù)研究幾多難，世人笑癡冷眼看.無(wú)名無(wú)份無(wú)銅板，六月飄雪六月寒.初數(shù)研究幾多難，橫亙千壑萬(wàn)重山.天涯踏遍無(wú)覓處，驀然回首又景觀.初數(shù)研究幾多難，偷得夜半挑燈戰(zhàn).點(diǎn)石成金皆神奇，殫精竭慮情何堪.初數(shù)研究幾多難，竟有勇士敢登攀.無(wú)怨無(wú)悔無(wú)畏懼，霧里看花亦嬋娟.”

初數(shù)研究，雖曰艱難，但我堅(jiān)信：迷人的數(shù)學(xué)仍會(huì)令無(wú)數(shù)“心有初數(shù)”之士“駐足興嘆”、“流連忘返”.