陳潛勇

【摘要】高考二輪復習是能力提高的重要階段，函數(shù)導數(shù)向來在浙江省的高考題中占據(jù)比較重要的位置.在有些導數(shù)題中，往往涉及有關(guān)如何構(gòu)造函數(shù)的問題，隱蔽性強，難度大.這需要教師在二輪復習中引導學生如何去破解思維的障礙，做好分析、歸納、總結(jié)等一系列的問題，使得學生解題有法可依、有章可循.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；導數(shù)；函數(shù)構(gòu)造

在四五月份的高考二輪復習中，發(fā)現(xiàn)很多利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決與方程、不等式的有關(guān)綜合性問題.在前面已經(jīng)復習了有關(guān)導數(shù)中的恒成立問題、存在性問題以及簡單的不等式證明問題，學生的解題能力已經(jīng)有明顯提升.為了更好地提升學生的思維能力，提高導數(shù)題的綜合解題能力以及對知識探求的興趣，特安排了這樣的一堂有關(guān)導數(shù)條件下函數(shù)構(gòu)造問題的二輪復習課.故這是一篇由高考二輪復習課之后整理的論文，難免認識較淺，分析不到位，不足之處請讀者諒解.

函數(shù)構(gòu)造的靈感來自哪里？在高中數(shù)學里并沒有詳細介紹有關(guān)各種題的解法，也沒有經(jīng)過系統(tǒng)的訓練，它是分散在解題過程中的，所以教師在二輪復習過程中的引導很重要.直接給出函數(shù)很容易，但要求學生學會如何去想到要構(gòu)造這樣的一個函數(shù)確實很難的.問題的本質(zhì)是如何觀察分析這個導數(shù)式與函數(shù)的哪些性質(zhì)有關(guān)聯(lián)，哪些因素會促發(fā)我們的靈感呢？本文從導數(shù)的運算法則、初等基本函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式、基本初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)變換以及綜合性問題等四方面來詳細分析此類問題.

一、和差積商導數(shù)運算公式構(gòu)造新函數(shù)

這類問題是在導數(shù)關(guān)系下根據(jù)導數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)形式特征，利用導數(shù)的四則混合運算法則構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的基本性質(zhì)特別是單調(diào)性來研究兩個數(shù)的大小、不等式的解或不等式的證明問題.

例1設函數(shù)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，f′（x）·g（x）+f（x）·g′（x）>0且g（3）=0，則不等式f（x）·g（x）<0的解集是（）.

A.（-3，0）∪（3，+∞）B.（-3，0）∪（0，3）

C.（-∞，-3）∪（3，+∞）D.（-∞，-3）∪（0，3）

分析此類題無論在一輪復習還是二輪復習中較為常見，基本功扎實的學生應該容易發(fā)現(xiàn)這個積的導數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.直接構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）·g（x），再結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，結(jié)合圖像可以得到C為正確選項.

例2（2014名校創(chuàng)新沖刺卷一）已知函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）是f（x）的導函數(shù)，且xf′（x）-f（x）>0在（0，+∞）內(nèi)恒成立.

（1）若f（x）=lnx+ax2，求a的取值范圍；

（2）設x0是f（x）的零點，m，n∈（0，x0），求證：f（m+n）f（m）+f（n）<1.

分析第（1）問直接代入利用變量分離變?yōu)閍>lnx-1x2max就可以解決，得到a>12e3.

第（2）問，看此題的這個導數(shù)不等式xf′（x）-f（x）>0，直接是較難得到的.但看到這個差式，可以聯(lián)系到差的導數(shù)式，但是這個差的函數(shù)式又構(gòu)造不出來，不過有關(guān)差的還有一個公式就是商的導數(shù)式里有涉及，故聯(lián)系到商的導數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）x，求導F′（x）=xf′（x）-f（x）x2>0，很妙，出現(xiàn)這個結(jié)構(gòu)式了，馬上會令人興奮.其實無非是幾個公式在起作用，有加號的看加乘，有減號的看減除.接下去可以得到F（x）=f（x）x在（0，+∞）上單調(diào)遞增且F（x0）=f（x0）x0=0，x∈（0，x0），F(xiàn)（x）<0，x∈（x0，+∞），F(xiàn)（x）>0，又m

f（m+n）m+n>f（m）m且f（m+n）m+n>f（n）n，化簡即可得到結(jié)論.