岳紅云 劉宏超

【摘要】作為擴(kuò)充復(fù)平面上唯一的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，與有限點(diǎn)在孤立奇點(diǎn)類型的判定與留數(shù)的計(jì)算中存在什么差異？如何理解這種差異，本文將給出解答.

【關(guān)鍵詞】無窮遠(yuǎn)點(diǎn)；留數(shù)；有限點(diǎn)

一、前言

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)積分理論的重要內(nèi)容，由留數(shù)定理可知

∮Cf（z）dz=2πi∑nk=1Res[f（z），zk]，

其中z1，z2，…，zn為C內(nèi)f（z）的孤立奇點(diǎn)，C為一條正向簡單閉曲線，其中

Res[f（z），zk]=C-1k，

C-1k為f（z）在以zk為中心的圓環(huán)域：0<|z-zk|<δ內(nèi)的洛朗展式中1z-zk的系數(shù).特別的，

Res[f（z），zk]=0，

若zk為f（z）的可去奇點(diǎn)或解析點(diǎn)，這是因?yàn)槠渎謇收故讲缓?fù)冪項(xiàng)，故C-1=0，即留數(shù)為零.

當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f（z）在閉曲線C內(nèi)奇點(diǎn)較多，而閉曲線C之外的奇點(diǎn)較少時(shí)，由擴(kuò)充復(fù)平面上的留數(shù)定理可知

∑nk=1Res[f（z），zk]+Res[f（z），∞]=0，

其中z1，z2，…，zn，∞為f（z）在擴(kuò)充復(fù)平面上的所有孤立奇點(diǎn).

二、問題

由上述知識可見，Res[f（z），∞]的計(jì)算對閉曲線內(nèi)奇點(diǎn)較多的復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算起到了重要作用，但初學(xué)者往往把∞點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算和奇點(diǎn)類型的判定與有限點(diǎn)混為一談，這就容易出錯(cuò)，究其原因是沒有對二者作出深刻的比較，現(xiàn)在我們就對這個(gè)問題進(jìn)行詳細(xì)的分析解答.

我們知道，Res[f（z），∞]的計(jì)算方法有兩種：

方法1：Res[f（z），∞]=-C-1；

方法2：Res[f（z），∞]=-Resf1z1z2，0.

顯然這與有限點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算方法是不同的，下面我們分別討論分析.

1.特別的，當(dāng)∞為f（z）的可去奇點(diǎn)時(shí)，Res[f（z），∞]不一定為0，這與有限點(diǎn)作為可去奇點(diǎn)留數(shù)的結(jié)果是不同的，為什么呢？這是因?yàn)閦=∞是f（z）的可去奇點(diǎn)時(shí)，通過令z=1t，相當(dāng)于t=0為f1t的可去奇點(diǎn)，故f1t在t=0的去心鄰域0<|1z（=t）|<δ內(nèi)的洛朗展式不含1z（=t）的負(fù)冪項(xiàng)，但可以含有1z的正冪項(xiàng).即當(dāng)1z的系數(shù)不為0時(shí)，由方法1，

Res[f（z），∞]=-C-1≠0.

例如，f（z）=z+1z以∞為可去奇點(diǎn)，但Res[f（z），∞]=-1.

當(dāng)1z的系數(shù)為0時(shí)，由方法1，可得

Res[f（z），∞]=-C-1=0.

例如，f（z）=e1z2以∞為可去奇點(diǎn)，但Res[f（z），∞]=0.

2.除此之外，∞處留數(shù)的計(jì)算與有限點(diǎn)還是不同的.

將f（z）在∞的去心鄰域R<|z|<+∞進(jìn)行洛朗展開，可得

f（z）=…+C-11z+C0+C1z+…，

令1z=t，則f1t在t=0的去心鄰域0<|t|<1R內(nèi)解析，洛朗展式變?yōu)?/p>

f1t=…+C-1t+C0+C11t+…，

化為-1t2f1t=…-1tC-1-C01t2-C11t3+…，

由方法1，可知

Res[-1t2f1t，0]=-C-1=Res[f（z），∞].

三、結(jié)論

因此，∞作為擴(kuò)充復(fù)平面（z平面）上唯一的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，雖然可以通過代換1z=t，與擴(kuò)充復(fù)平面（t平面）上唯一的原點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)0對應(yīng)，使得函數(shù)f（z）在∞的去心鄰域R<|z|<+∞的洛朗展式與f1tφ（t）在解析區(qū)域：0的去心鄰域0<|t|<1R的洛朗展式完全相同，從而使得f（z）的奇點(diǎn)∞與φ（t）的奇點(diǎn)0的奇點(diǎn)類型完全一致（因?yàn)楣铝⑵纥c(diǎn)的類型由洛朗展式完全決定）.但它們留數(shù)的求法卻迥異，原因很簡單，它們都是為了尋求C-1，但Res[f（z），∞]尋求1z的系數(shù)C-1，而Res[φ（t），0]尋求1t的系數(shù)C-1，雖然有f（z）=φ（t），但Res[f（z），∞]≠Res[φ（t），0]，由∞處留數(shù)的計(jì)算方法1可知，方法2成立.

注：∞作為作為擴(kuò)充復(fù)平面上（z平面）唯一的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)，認(rèn)為是所有函數(shù)的奇點(diǎn).

【參考文獻(xiàn)】

＼[1＼]劉玉璉，傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義.北京：高等教育出版社，1993.

＼[2＼]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論.北京：高等教育出版社，1995.

＼[3＼]陸慶樂，王綿森.復(fù)變函數(shù).北京：高等教育出版社，1996.