顏胤豪

【摘要】“模型思想”的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑.建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立二次函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果，并討論結(jié)果的意義.這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí).這是《課標(biāo)》關(guān)于模型思想的一段描述.因此，各地中考試卷都有二次函數(shù)建模及其應(yīng)用類問題.結(jié)合2013年全國(guó)各地中考的實(shí)例，我們從下面五方面進(jìn)行二次函數(shù)關(guān)系式建立方法的探討：（1）應(yīng)用待定系數(shù)建立二次函數(shù)關(guān)系式.（2）應(yīng)用等量關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系式.（3）應(yīng)用幾何關(guān)系建立二次函數(shù)關(guān)系式.（4）應(yīng)用分段分析建立二次函數(shù)關(guān)系式.（5）應(yīng)用猜想探索建立二次函數(shù)關(guān)系式.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)；數(shù)學(xué)建模；分類思想的應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合和分類思想的結(jié)合

一、應(yīng)用待定系數(shù)建立二次函數(shù)關(guān)系式

待定系數(shù)法是解決求二次函數(shù)解析式問題的常用方法，求二次函數(shù)解析式是初中階段待定系數(shù)法的一個(gè)主要用途.這種方法適用于已知二次函數(shù)類型（或二次函數(shù)圖像）的一類二次函數(shù)建模問題.確定曲線方程就是要確定方程中x的系數(shù)與常數(shù)，我們常常先設(shè)它們?yōu)槲粗獢?shù)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系，將已知的條件代入方程，求出待定的系數(shù)與常數(shù)，寫出表達(dá)式.這是平面解析幾何的重要內(nèi)容，是求曲線方程的有效方法.而二次函數(shù)可以根據(jù)題目所給條件的不同，設(shè)成一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a，b，c為待定系數(shù)），頂點(diǎn)式y(tǒng)=a （x-h） 2+k（a，k，h為待定系數(shù)），交點(diǎn)式y(tǒng)=a （x-x1）（x-x2）（ a ，x1，x2為待定系數(shù)）三類形式.根據(jù)題意（可以是語(yǔ)句形式，也可以是圖像形式），確定出a，b，c，k，x1，x2等待定系數(shù)，求出二次函數(shù)解析式.

例1（2013年天津市10分）已知拋物線y1=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是直線l，頂點(diǎn)為點(diǎn)M.若自變量x和二次函數(shù)值y1的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示：

（1）求y1與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式.

（2）若經(jīng)過點(diǎn)T（0，t）作垂直于y軸的直線l′，A為直線l′上的動(dòng)點(diǎn)，線段AM的垂直平分線交直線l于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為P，記P（x，y2）.

①求y2與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，若對(duì)于同一個(gè)x，有y1

考點(diǎn)分析探究性，二次函數(shù)綜合題，單動(dòng)點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)性質(zhì)，由實(shí)際問題引發(fā)的數(shù)學(xué)問題，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解不等式組，數(shù)形結(jié)合和分類思想的結(jié)合.

分析（1）先根據(jù)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，94）得出c的值，再把（-1，0），（3，0）代入拋物線y1=ax2+bx+c，求出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）先根據(jù)（1）中y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

①直線l與直線l′交于點(diǎn)C（1，t），當(dāng)點(diǎn)A與C不重合時(shí)，由已知得，AM與BP互相垂直平分，故可得出四邊形ANMP為菱形，所以PA∥直線l，再由點(diǎn)P（x，y2）可知點(diǎn)A（x，t）（x≠1），所以PA=PM=y2-t，過點(diǎn)P作PQ⊥直線l于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（1，y2），故QM=y2-3，PQ=AC= x-1，在Rt△PQM中，根據(jù)勾股定理即可得出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②根據(jù)題意，借助函數(shù)圖像.

二、應(yīng)用等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式

等量關(guān)系法，又可稱作方程轉(zhuǎn)化法，即根據(jù)等量關(guān)系列出含有兩個(gè)未知數(shù)的等式（二元方程），然后整理成函數(shù)形式.這種方法適用于“已知關(guān)于變量之間的等量關(guān)系（含公式）”類函數(shù)建模題.常用的尋找等量關(guān)系的方法有：（1）從常見的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系.（2）從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系.（3）從題中反映的（或隱蔽的）基本數(shù)量關(guān)系確定等量關(guān)系.

例2（2013年遼寧營(yíng)口12分）為了落實(shí)國(guó)務(wù)院的指示精神，某地方政府出臺(tái)了一系列“三農(nóng)”優(yōu)惠政策，使農(nóng)民收入大幅度增加.某農(nóng)戶生產(chǎn)經(jīng)銷一種農(nóng)產(chǎn)品，已知這種產(chǎn)品的成本價(jià)為每千克20元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：y=-2x+80.設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w元.

（1）求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）該產(chǎn)品銷售價(jià)定為每千克多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？

（3）如果物價(jià)部門規(guī)定這種產(chǎn)品的銷售價(jià)不高于每千克28元，該農(nóng)戶想要每天獲得150元的銷售利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每千克多少元？

考點(diǎn)分析二次函數(shù)應(yīng)用，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)最值.

分析

（1）根據(jù)銷售額=銷售量×銷售單價(jià)，列出函數(shù)關(guān)系式.

（2）用配方法將（1）中的函數(shù)關(guān)系式變形，利用二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.

（3）把y=150代入（2）的函數(shù)關(guān)系式中，解一元二次方程求x，根據(jù)x的取值范圍求出x的值.

三、應(yīng)用幾何關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式

即在幾何問題中，應(yīng)用幾何中的數(shù)量等量關(guān)系建立函數(shù)關(guān)系式.常用的數(shù)量等量關(guān)系有面積公式、勾股定理、比例線段（相似三角形的相似比）、銳角三角函數(shù)、有關(guān)圓的公式等.

例3（2013年福建莆田10分）如圖所示，某學(xué)校擬建一個(gè)含內(nèi)接矩形的菱形花壇（花壇為軸對(duì)稱圖形）.矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在菱形四條邊上，菱形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4米，∠ABC=60°.設(shè)AE=x米（0

（1）求S與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）學(xué)校準(zhǔn)備在矩形內(nèi)種植紅色花草，四個(gè)三角形內(nèi)種植黃色花草.已知紅色花草的價(jià)格為20元/米2，黃色花草的價(jià)格為40元/米2.當(dāng)x為何值時(shí)，購(gòu)買花草所需的總費(fèi)用最低，并求出最低總費(fèi)用（結(jié)果保留根號(hào)）？

考點(diǎn)分析二次函數(shù)應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì).

分析（1）連接AC，BD，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF為等邊三角形，從而進(jìn)而求出Rt△AEM求出EH，這樣即可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）根據(jù)（1）的答案，可求出四個(gè)三角形的面積，設(shè)費(fèi)用為W，則可得出W關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，由配方法求最值即可.

四、應(yīng)用分段分析建立函數(shù)關(guān)系式

對(duì)于自變量的不同的取值范圍，函數(shù)有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函數(shù)通常叫作分段函數(shù).它是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).它的函數(shù)關(guān)系式的建立，就得分段分析，應(yīng)用前述方法分別進(jìn)行，最后歸納.

例4（2013年湖北黃岡12分）某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場(chǎng)上受到普遍歡迎，每年可在國(guó)內(nèi)、國(guó)外市場(chǎng)上全部售完，該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國(guó)內(nèi)市場(chǎng)銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y1（元）與國(guó)內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的關(guān)系為：y1=15x+900

（1）用x的代數(shù)式表示t為：t=▲ ；當(dāng)0

（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤(rùn)W（千元）與國(guó)內(nèi)的銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍.

（3）該公司每年國(guó)內(nèi)、國(guó)外的銷量各為多少時(shí)，可使公司每年的總利潤(rùn)最大？最大值為多少？

考點(diǎn)分析二次函數(shù)的應(yīng)用，由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類思想的應(yīng)用.

分析（1）由該公司的年產(chǎn)量為6千件，每年可在國(guó)內(nèi)、國(guó)外市場(chǎng)上全部售完，可得國(guó)內(nèi)銷售量+國(guó)外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6-x.

根據(jù)平均每件產(chǎn)品的利潤(rùn)y2（元）與國(guó)外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系y2=

100（0

-5t+110（2≤t<6）

及t=6-x即可求出y2與x的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)0

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=國(guó)內(nèi)銷售的利潤(rùn)+國(guó)外銷售的利潤(rùn)，結(jié)合函數(shù)解析式，分三種情況討論：①0

（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點(diǎn)式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出三種情況下的最大值，再比較即可.

五、應(yīng)用猜想探索建立函數(shù)關(guān)系式

當(dāng)題目中“既沒有已知函數(shù)類型，又沒有已知關(guān)于變量之間的等量關(guān)系（含公式）”時(shí)，就要用猜想探究法探求函數(shù)關(guān)系式.即先得猜想函數(shù)的類型，應(yīng)用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，再進(jìn)行探究.版權(quán)歸

猜想探究法包括：

（1）逐一驗(yàn)證法：根據(jù)所學(xué)過的三類函數(shù)，逐一假設(shè)并求出其關(guān)系式，然后將其余對(duì)應(yīng)值代入驗(yàn)證.它是直接從假設(shè)函數(shù)關(guān)系入手，方法最基礎(chǔ)，說理較清楚，但步驟較繁.

（2）描點(diǎn)畫圖法：將已知的各組對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，描出相應(yīng)的點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布情況，猜想函數(shù)類型，求出其關(guān)系式，并將其余對(duì)應(yīng)值代入驗(yàn)證.它是從形的角度分析，較直觀，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，但要耗時(shí)畫圖.

（3）數(shù)據(jù)特征法：分析所給數(shù)據(jù)的變化特征，猜想函數(shù)類型，求出關(guān)系式，并將其余對(duì)應(yīng)值代入驗(yàn)證.它是單純從數(shù)的角度分析，解題較簡(jiǎn)捷，但抽象思維能力要求較高.因此，在做題時(shí)，可根據(jù)具體問題選擇探索方法.

例5（2013年湖北武漢10分）科幻小說《實(shí)驗(yàn)室的故事》中，有這樣一個(gè)情節(jié)，科學(xué)家把一種珍奇的植物分別放在不同溫度的環(huán)境中，經(jīng)過一天后，測(cè)試出這種植物高度的增長(zhǎng)情況（如下表）：