張茂紅

古人說(shuō)：“授人以魚，不如授之以漁”，它道出了數(shù)學(xué)思想方法的重要性.數(shù)學(xué)思想方法和基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中兩大支柱.因此需要教師在傳授知識(shí)的同時(shí)，明確、恰當(dāng)?shù)刂v解與滲透數(shù)學(xué)思想方法.特別是在解題教學(xué)中，應(yīng)重視思路分析，提煉具有普遍意義的思想和方法.當(dāng)學(xué)生明確了數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用后，具體的解題技巧就會(huì)上升為一般的解題方法，從而使學(xué)生超脫題海之苦，大大優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).下面筆者就結(jié)合自己教學(xué)中對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤談?wù)剶?shù)列中的數(shù)學(xué)思想，希望和同仁交流.

一、類比思想

類比法就是依據(jù)兩個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的已知相似性，把其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得后一數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)的一種方法.

在蘇科版必修5第二章《數(shù)列》共分三個(gè)部分，數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列三個(gè)部分.其中等差和等比的學(xué)習(xí)過(guò)程充分體現(xiàn)出類比思想.

案例1已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+an-1=12n（n≥2），Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n，則3Sn-an·2n+1=▲ .

馬同學(xué)錯(cuò)誤分析：題干中提到數(shù)列遞推關(guān)系，用了很長(zhǎng)的時(shí)間從累加法、累成法、構(gòu)造新數(shù)列法去分析，也沒(méi)有求出通項(xiàng)，后來(lái)由于畏難心理以及數(shù)列求和方法（錯(cuò)位相減法）忘記.將題目留到了最后，又因?yàn)闀r(shí)間緊，根本來(lái)不及思考計(jì)算.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生易于受an+an-1=12n的影響，求不出通項(xiàng)an，使得心理上失去了信心，對(duì)其他的條件也就不去思考分析了.而本題應(yīng)該從Sn=a1·2+a2·22+…+an·2n①的形式類比課本中學(xué)習(xí)的等比求和的方法（錯(cuò)位相減法）入手，兩邊同時(shí)乘以2，得2Sn=a1·22+a2·23+…+an·2n+1②，①+②得到3Sn-an·2n+1=n+1.

二、參數(shù)思想和分類討論的思想

數(shù)學(xué)中的參數(shù)是介于常量和變量之間的具有中間性質(zhì)的量，參數(shù)本質(zhì)雖然屬于變量，但又可以把它看成是常數(shù).

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中一種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法.通過(guò)分類可以把動(dòng)態(tài)問(wèn)題分解成若干個(gè)相對(duì)確定的問(wèn)題，可以把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題分解成若干個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，這樣可以圓滿解決問(wèn)題.

案例2若已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為6-12t，公差為6的等差數(shù)列，數(shù)列bn 的前n項(xiàng)和為Sn=3n-t.

（1）求數(shù)列{an}和bn的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列bn是等比數(shù)列，試證明：對(duì)于任意的n（n∈N*，n≥1），均存在正整數(shù)cn，使得bn+1=acn，并求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.

吳同學(xué)錯(cuò)誤分析：本題很容易求出an=6n-12t，很好求，但是由于始終覺(jué)得t可以求出來(lái)，加上在求bn時(shí)忽略了n=1的情況，直接用an=Sn-Sn-1來(lái)計(jì)算，從而得到了一個(gè)bn為等比的一個(gè)通項(xiàng)公式.

點(diǎn)評(píng)本題在學(xué)生錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生在求（1）時(shí)就出現(xiàn)了錯(cuò)誤.錯(cuò)誤分為兩類思想問(wèn)題：（1）參數(shù)t在本題中應(yīng)該視為常數(shù)，結(jié)果應(yīng)該保留t.（2）對(duì)于Sn=3n-t求通項(xiàng)an時(shí)沒(méi)有分類討論，即an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2.

三、函數(shù)思想

函數(shù)思想是變量與變量的一種對(duì)應(yīng)的思想.而在數(shù)列中無(wú)論是an與n還是Sn與n都可以視為函數(shù).比如等差數(shù)列中an可以視為關(guān)于n的一次函數(shù)，Sn可以視為關(guān)于n的二次函數(shù).另外函數(shù)的性質(zhì)也在數(shù)列中廣泛應(yīng)用.

案例3已知數(shù)列{an}，bn滿足an=12bn.

（1）若數(shù)列bn是等差數(shù)列，求證{an}是等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=1-12n，設(shè)對(duì)于任意的正整數(shù)n，恒有

1an>λ1+12b1-11+12b2-11+12b3-1…1+12bn-1成立，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

張同學(xué)錯(cuò)誤分析：題（1）很容易，題（2）做出λ<2n×1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×2n后下面不知道如何求解了.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于λ<2n×1×3×5×…×（2n-1）2×4×6×…×2n，要求出Tn=2n×1×3×5×…×2n-12×4×6×…×2n的最小值，這時(shí)應(yīng)該把Tn看作函數(shù)來(lái)思考，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究最小值問(wèn)題.所以求出Tn+1-Tn>0或Tn+1Tn>1得出數(shù)列Tn是單調(diào)增函數(shù)，故λ

數(shù)學(xué)思想方法的形成，非一日之功，必須經(jīng)過(guò)日積月累.對(duì)于教學(xué)而言，知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，實(shí)際上就是思想方法的發(fā)生過(guò)程.因此，在概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、規(guī)律的揭示過(guò)程中都應(yīng)向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，我們?cè)诮忸}教學(xué)中，不能就題論題，把題目解出來(lái)就完了，而應(yīng)從數(shù)學(xué)思想方法的高度來(lái)指導(dǎo)解題教學(xué)，逐漸培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想方法觀察、比較、分類、綜合、抽象、概括問(wèn)題的習(xí)慣，達(dá)到增進(jìn)能力、優(yōu)化思維的目的.

【參考文獻(xiàn)】

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