石新華

【摘要】多年來，線性代數(shù)課程中的向量組正交化的傳統(tǒng)方法，即施密特正交化過程.本文將使用齊次線性方程組求非零解的方法，將向量組正交化，產(chǎn)生一種新的構(gòu)思.

【關(guān)鍵詞】向量組正交化；施密特正交化過程；齊次線性方程組；非零解

一、引言

近年來，大學(xué)一年級(jí)第二學(xué)期的線性代數(shù)課程使用教材是同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編第五版.其中第五章相似矩陣與二次型中一個(gè)重要的內(nèi)容是向量組的正交化.多年來很多教材都是沿用施密特正交化過程方法.5-1向量的內(nèi)積、長度及正交性中，使用向量的內(nèi)積的概念定義了兩個(gè)向量正交的概念，即當(dāng)＼[x，y＼]=0時(shí)，稱向量x與y正交.所謂正交向量組是指一組兩兩正交的非零向量.

在線性代數(shù)應(yīng)用問題中，向量組的正交性具有重要意義.

設(shè)給定一個(gè)線性無關(guān)的向量組A： α1，α2，…，αm，則一定存在另一個(gè)向量組B： β1，β2，…，βm.滿足：（1）向量組B是正交向量組；（2）向量組A和向量組B等價(jià).

設(shè)a1，a2，…，ar是向量空間V的一個(gè)基，要求V的一個(gè)規(guī)范正交基.這也就是要找一組兩兩正交的單位向量e1，e2，…，er使得與之等價(jià).這樣一個(gè)問題，稱為把這個(gè)基規(guī)范正交化.

這個(gè)問題是線性代數(shù)課程知識(shí)結(jié)構(gòu)和教學(xué)中的重要內(nèi)容.一般教材的核心思想就是施密特（Schimidt）正交化過程.