吳騰 劉洋

【摘要】基于優(yōu)化采樣的目的，在采用壓縮感知（CS）的體制下，研究了遙感圖像的配準(zhǔn)方法。這種方法與傳統(tǒng)方法的不同之處在于將CS重構(gòu)與圖像配準(zhǔn)融合作為一個整體，其輸入是圖像傳感器輸出的觀測值，而非傳統(tǒng)的圖像。通過CS重構(gòu)得到小波系數(shù)，然后在小波域根據(jù)互信息最大準(zhǔn)則進(jìn)行配準(zhǔn)，這樣，避免了圖像和小波域之間的反復(fù)變換，提高了效率。在此基礎(chǔ)上，本文通過仿真實驗，證明了上述方法的可行性。通過上述實驗，我們可以得知，對傳感器的精度比較低和在不損失分辨率的情況下，壓縮感知具有很好的采樣效率。

【關(guān)鍵詞】圖像配準(zhǔn);壓縮感知;小波變換;互信息值

引言

遙感圖像分辨率的提高，必然要求器件的采樣率的提高，因此，在傳統(tǒng)的Nyquist-Shannon采樣體制下，采樣率是限制分辨率提高的瓶頸之一。與此同時，采樣率提高導(dǎo)致數(shù)據(jù)海量增加，還會給存儲、處理和傳輸帶來很大的壓力。近年來研究的壓縮感知技術(shù)（CS）[1-2]可以很好地解決這一問題，被廣泛研究用于遙感之中[3-4]。

圖像配準(zhǔn)是圖像融合等各種圖像處理的前提[5-6]，也是遙感領(lǐng)域研究的重要內(nèi)容[7-8]。在現(xiàn)有的圖像配準(zhǔn)方法中，基于小波變換和互信息的配準(zhǔn)方法因無需對圖像做預(yù)處理、自動化程度高、精度高等原因，是計算機(jī)視覺和圖像處理研究的熱點。但是，在CS體制下，圖像傳感器輸出的是圖像的觀測值，不再是傳統(tǒng)的圖像，接收端需通過重構(gòu)算法，才能重構(gòu)出原來的圖像。因此，本文研究一種方法，利用觀測值進(jìn)行配準(zhǔn)，將配準(zhǔn)與重構(gòu)作為一個整體來考慮，這樣可以減少延時，提高配準(zhǔn)效率。

1.壓縮感知理論

壓縮感知，又稱為壓縮采樣，是信號采樣與重構(gòu)的新技術(shù)。CS理論指出，只要信號是稀疏的，則可以遠(yuǎn)低于Nyquist速率進(jìn)行采樣，然后利用這些少量的采樣值，解一個優(yōu)化問題，就能以高概率重構(gòu)原信號[1-3]。

設(shè)信號是稀疏的，則它可以用基表示為：

（1）

顯然向量和向量是同一個信號的等價表示，如果向量有k個非零分量，則稱信號為k稀疏。壓縮感知的觀測模型可表示為：

（2）

其中是未知的N維向量，是M維向量，是一個M×N維矩陣，稱為恢復(fù)矩陣。在CS體制下，傳感器輸出的是觀測值，接收端利用這M個觀測值、觀測矩陣、稀疏基和k稀疏的約束條件，重構(gòu)信號，從而通過反變換得到。

光學(xué)圖像在小波域是稀疏的，本文討論的是圖像，是其觀測值，是小波基，是小波系數(shù)。如果采樣基于小波域的配準(zhǔn)方法，則可直接利用CS重構(gòu)的小波系數(shù)進(jìn)行配準(zhǔn)，省去小波域到圖像，圖像到小波的反復(fù)變換過程。

2.最大互信息配準(zhǔn)方法

最大互信息配準(zhǔn)方法主要有基于灰度值的配準(zhǔn)和基于小波域的配準(zhǔn)，在文獻(xiàn)[5，6]中具有詳細(xì)的研究。本文不介紹這兩種方法的實現(xiàn)過程，僅僅從信息論的角度來建立這兩種配準(zhǔn)方法的等價關(guān)系，然后用上述文獻(xiàn)介紹的方法進(jìn)行配準(zhǔn)。

2.1 基于灰度值的最大互信息配準(zhǔn)

互信息（MI）是信息論中的重要概念，可用來度量兩個隨機(jī)變量或隨機(jī)序列（圖像）的相似程度。設(shè)輸入圖像為，它們的互信息可表示為：

（3）

其中：

分別表示信源熵和兩個序列的聯(lián)合熵，表示求均值運(yùn)算，為圖像灰度概率分布，為灰度的聯(lián)合概率分布。

互信息反映了兩圖像的相似程度，兩圖像的相似性越大，其互信息越大，當(dāng)兩圖像對準(zhǔn)時，其互信息最大，因此，可以互信息最大化為準(zhǔn)則，來配準(zhǔn)圖像和。求兩圖像互信息的詳細(xì)過程，可以參考文獻(xiàn)[8]。

2.2 基于小波域的最大互信息配準(zhǔn)

基于小波域的最大互信息配準(zhǔn)方法和基于灰度的方法相似，文獻(xiàn)[7]中有詳細(xì)介紹，這里僅僅從理論上推導(dǎo)灰度值與小波域最大互信息配準(zhǔn)方法的等價性。

設(shè)圖像的小波系數(shù)為的小波系數(shù)為根據(jù)公式（1）及信息論有：

同理，可以推導(dǎo)兩幅圖像在空域的互信息與它們在小波域的互信息相等，這是因為：

（4）

在上述推導(dǎo)過程中，稀疏基是確定的（常數(shù)），不包含任何信息。由此可見，圖像和的互信息等于小波系數(shù)的互信息，基于空域的圖像配準(zhǔn)等價于基于小波域中的配準(zhǔn)。有了此等價關(guān)系，我們可以直接利用CS重構(gòu)得到的小波系數(shù)進(jìn)行配準(zhǔn)。

基于小波域的配準(zhǔn)還有一個重要的好處是可以采樣多分辨策略[7]，即先對低分辨率圖像配準(zhǔn)，然后將配準(zhǔn)結(jié)果作為參數(shù)進(jìn)行下一級配準(zhǔn)，這樣不僅可以避免出現(xiàn)局部極大值，而且可以提高算法執(zhí)行速度。

3.重構(gòu)-配準(zhǔn)算法

壓縮感知算法是壓縮感知理論中至關(guān)重要的一個部分。不相關(guān)性或約束等距性（RIP） [3]為近似精確或精確恢復(fù)信號提供了理論上的保證。重建算法的設(shè)計應(yīng)該遵循下面的基本準(zhǔn)則：算法應(yīng)該利用盡可能少的測量數(shù)M，快速、穩(wěn)定、精確或近似精確地重建原始信號。壓縮感知算法可以分為以下四類：貪婪算法，凸優(yōu)化算法，非凸算法，組合算法。本文使用正交匹配算法OMP作為重構(gòu)圖像的算法，具體過程見文獻(xiàn)[2]。

在壓縮感知體制下，圖像傳感器所獲取的是觀測值，因此，本算法的實現(xiàn)從觀測值開始。為了方便比較，觀測值從兩幅給定的圖像進(jìn)行觀測而來，即首先分別對輸入的源圖像進(jìn)行觀測，分別得到觀測值，然后將觀測值通過OMP算法重構(gòu)，得到輸入源圖像的重構(gòu)小波系數(shù)，得到小波系數(shù)利用互信息最大的理論進(jìn)行配準(zhǔn)，然后進(jìn)行圖像（系數(shù)）融合，最后經(jīng)過小波反變換得到融合的圖像，最終輸出重構(gòu)的融合圖像?；趬嚎s感知理論的圖像融合算法具體實現(xiàn)如圖1所示。設(shè)A、B為兩幅源圖像，F(xiàn)為融合后的圖像，具體步驟如下：

1）利用隨機(jī)產(chǎn)生的高斯陣對源圖像A、B進(jìn)行觀測，分別得到觀測值a，b。

2）利用OMP算法分別重構(gòu)出小波系數(shù)。

3）利用上述重構(gòu)得到的小波系數(shù)，根據(jù)互信息最大進(jìn)行準(zhǔn)則，實現(xiàn)兩幅圖的配準(zhǔn)。

4）利用加權(quán)平均融合規(guī)則，得到融合后的系數(shù)。

5）在配準(zhǔn)的基礎(chǔ)上，對融合后的系數(shù)進(jìn)行小波反變換，得到輸出的圖像。

圖1 重構(gòu)-配準(zhǔn)方法流程圖

Figure 1 Reconstruction-Registration flowchart

4.實驗結(jié)果及分析

本節(jié)利用MATLAB對圖1描述的過程軟件實現(xiàn)，并對圖2所示的兩組圖像進(jìn)行仿真實驗。圖2（a）中的圖像是MATLAB提供的圖像（256×256），圖2（b）是從某地區(qū)的遙感圖像中截取的部分圖像，其中參考圖像為248×267，待配圖像為259×276，配準(zhǔn)融合的結(jié)果如圖2所示。從實驗的結(jié)果來看，本文研究的方法能夠?qū)崿F(xiàn)通過觀察值來進(jìn)行圖像的配準(zhǔn)和融合。

互信息和峰值信噪比（PSNR）是評價圖像配準(zhǔn)融合質(zhì)量的指標(biāo)。本文從互信息和峰值信噪比兩個指標(biāo)，進(jìn)一步對本文的方法進(jìn)行檢驗與評價。其中互信息用來衡量融合圖像從源圖像中繼承的信息多少，互信息越大，說明融合的效果越好。PSNR是最廣泛使用的評價圖像質(zhì)量的客觀標(biāo)準(zhǔn)，衡量融合圖像相對于標(biāo)準(zhǔn)參考圖像灰度的偏離程度，其值越大，說明融合圖像和標(biāo)準(zhǔn)參考圖像的差異越小，融合效果越好，計算公式如下[1]：

（5）

上式中MSE是最小均方誤差。

根據(jù)公式（5）可以計算峰值信噪比，通過仿真過程可以輸出互信息，結(jié)果如表1所示：

表1 圖2和圖3中互信息和峰值信噪

Table 1 PSNR and mutual information in figure 2 and figure 3

源圖像 MI PSNR

圖2 3.872 31.15

圖3 0.322 10.74

由于圖2中配準(zhǔn)前的圖像是嚴(yán)格對準(zhǔn)的圖像，它的互信息和PSNR都較大，而圖3是截取的部分圖像，參考圖像和待配準(zhǔn)圖像不一樣大，而且有些部分有較大差異，因此配準(zhǔn)圖像的互信息和PSNR都較小。另外，最終的輸出圖像的效果，還跟融合規(guī)則有關(guān)。

5.結(jié)論

CS技術(shù)是近年興起的信號處理理論，它能夠節(jié)省硬件成本，并且盡可能地利用已有的先驗知識來重建出待求信號，在信號采樣和圖像處理領(lǐng)域具有很好的應(yīng)用前景。本文研究了基于CS觀測值的重構(gòu)與配準(zhǔn)方法，將重構(gòu)和配準(zhǔn)結(jié)合起來，提高了配準(zhǔn)的效率。由于本文僅僅從可行性方面進(jìn)行探索，而沒有考慮各種預(yù)處理，這些在實際中是必須考慮的，這些將在后續(xù)研究中展開。

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基金項目：國家自然科學(xué)基金（41071286）;指導(dǎo)老師：郭建中。

作者簡介：

吳騰（1988—），男，湖南婁底人，武漢紡織大學(xué)2012級碩士研究生，研究方向：信號及圖像處理。

劉洋（1991—），男，湖北荊州人，武漢紡織大學(xué)2013級碩士研究生，研究方向：信號及圖像處理。