郭愛青

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出：獲得必需的重要數(shù)學(xué)知識以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能，讓學(xué)生初步學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力.

“方程思想在解決幾何問題中的應(yīng)用”是通過方程把幾何與代數(shù)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來. 在解決數(shù)學(xué)問題時，有一種從未知轉(zhuǎn)化為已知的手段就是通過設(shè)元，尋找已知與未知之間的等量關(guān)系，構(gòu)造方程或方程組，然后求解方程完成未知向已知的轉(zhuǎn)化，這種解決問題的思想稱為方程思想. 方程思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中無處不在，是探索數(shù)及實際問題中蘊(yùn)含的關(guān)系與規(guī)律的有效工具，是發(fā)展學(xué)生符號感的重要手段，所以方程思想的地位極其重要. 用設(shè)未知數(shù)，用未知量表示已知量的方法，通過分析題中的等量關(guān)系，利用所學(xué)定理、性質(zhì)等尋找出等量關(guān)系，從而有效地解決幾何內(nèi)容與解方程的關(guān)系. 用方程思想解決實際應(yīng)用題對于學(xué)生并不陌生，但它一旦與幾何問題相結(jié)合產(chǎn)生的效應(yīng)往往讓學(xué)生眼前一亮.

一、加強(qiáng)題組訓(xùn)練，讓學(xué)生體驗方程思想在解決簡單的幾何問題中的應(yīng)用

1. Rt△ABC中，∠C = Rt∠，AC = 6，BC = 8，則斜邊AB上的高線CD的長是 .

解 設(shè)CD的長為x，由勾股定理，AC = 10.

方法1 利用面積法構(gòu)造方程： × 6 × 8 = × 10·x，x = 4.8； = ，x = 4.8.

方法2 利用相似構(gòu)造方程：易證△CDA∽△BCA.

2. 如圖，△ABC中，D，E是AB，AC上的點，且DE∥BC，若DE = 2，BC = 3，BD = 1，則AD的長是 .

解 利用相似構(gòu)造方程：設(shè)AD的長為x，易證△ADE∽△ABC，∴ = ，x = 2.

3. 如圖，☉O的弦AB⊥半徑OE于D，若AB = 12，DE = 2，則☉O的半徑是 .

解 設(shè)☉O的半徑長為r，連接OA. 由垂徑定理得AD = BD = 6，再利用勾股定理構(gòu)造方程：62 + （r - 2）2 = r2，r = 10.

通過題組訓(xùn)練，可以讓學(xué)生得到利用方程思想解決幾何問題的基本思路：（1）審清題意，對題意中涉及的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系進(jìn)行標(biāo)量；（2）設(shè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，再標(biāo)量；（3）根據(jù)面積法、相似法、勾股定理法、三角函數(shù)法等找出符合題意的等量關(guān)系，列方程或者方程組；（4）解方程（組）并檢驗，找到符合題意的答案.

二、適度的典型綜合題型的訓(xùn)練及變式訓(xùn)練，可以提高學(xué)生綜合分析問題的能力

（一）方程思想在解決有關(guān)折疊問題中的妙用

如圖，已知：矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在AD邊的B′處，若AB = 6，BC = 10，求AE的長.

解 ∵ AD = BC = B′C = 10，AB = CD = 6，∠D = 90°，∴ B′D = 8，∴ AB′ = 2. 設(shè)AE = x，則BE = B′E = 6 - x.

方法1利用勾股定理法構(gòu)造方程：

4 + x2 = （6 - x）2 ，x = .

方法2 利用相似法構(gòu)造方程：

∵∠A = ∠D = 90°，∠B = ∠EB′C = 90°，∴ ∠AEB′ + ∠AB′E = 90°，∠DB′C + ∠AB′E = 90°， ∴∠AEB′ = ∠DB′C，∴△AEB′∽△DB′C. ∴ = ，∴ x = .

方法3 利用面積法構(gòu)造方程：

∵ S1 + S2 + S3 + S4 = S矩形ABCD ，S3 = S4，

∴ x + 24 + 10（6 - x） = 60，∴ x = .

方法4 利用三角函數(shù)法構(gòu)造方程：

由方法2中的∠AEB′ =∠DB′C得到它們兩個角在直角三角形中的正切值相等，構(gòu)造方程 = ，∴ x = .

變式訓(xùn)練：如圖，已知矩形ABCD中，E是AB上一點，沿EC折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，若AB = 6，BC = 8，求AE的長.

同樣地利用上述四個方法可以構(gòu)造方程解決這一變式. 聰明的讀者不妨試試看，利用方程思想解決此類折疊問題有“山重水復(fù)疑無路 ，柳暗花明又一村”的感覺.

（二）方程思想在解決符合條件的點是否存在，或點的個數(shù)的方面的應(yīng)用

如圖，在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，AB = 1，CD = 6.若AD = 5，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，請說明理由.

分析 解決此類相關(guān)問題，先假設(shè)存在，運(yùn)用分類討論思想構(gòu)造相似三角形，列出成比例線段構(gòu)造方程解決問題.

解 假設(shè)存在，設(shè)AP = x. ∵ 在直角梯形ABCD中，∠A = 90°，AB∥CD，∴∠A + ∠D = 180°. ∴∠A = ∠D = 90°.

① 當(dāng)∠APB = ∠DPC時，

∴△APB ∽ △DPC.

∴ = ，∴x = .

② 當(dāng)∠APB = ∠DCP時，∴△APB ∽ △DCP.

∴ = ，x2 - 5x + 6 = 0.

∴x = 2或3，綜合①、②，在線段AD上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似. 這樣的點P存在3個，它們到點A的距離AP分別是或2或3.

變式訓(xùn)練：（1）若AD = 4，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，說明理由.

分析 問題中的AD = 5變式換成AD = 4，其他條件保持不變時，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成4 - x的變化，其他解決問題的方法和思路保持不變. 簡單的解決問題的思路如下：

①當(dāng)∠APB = ∠DPC時，∴ = ，∴ x = .

② 當(dāng)∠APB = ∠DCP時，∴ = ，

∴ x2 - 4x + 6 = 0.

∵ b2 - 4ac = 16 - 24 < 0，

∴方程x2 - 4x + 6 = 0無實數(shù)根.

∴線段AD上存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似. 這樣的P點存在1個，到點A的距離AP是.

（2）若設(shè)AD=m，在線段AD上是否存在點P，使得以點P，A，B為頂點的三角形和以點P，C，D為頂點的三角形相似？若存在，這樣的點P有幾個？它們到點A的距離是多少？若不存在，請說明理由.

分析 把問題中的AD = 5變式換成AD = m，其他條件保持不變時，則上述解答只是存在方程中的5 - x變換成m - x的變化，其他解決問題的方法和思路保持不變. 分類討論問題①的解決中相應(yīng)的點P總是存在一個，而且點P到點A的距離是AP = ，分類討論問題②的解決中相應(yīng)的點P是否存在取決于方程x2 - mx + 6 = 0中的b2 - 4ac = m2 - 24的大小. 簡單的解決問題的思路如下：

①當(dāng)∠APB = ∠DPC時，

∴ = ，∴ x = .

② 當(dāng)∠APB = ∠DCP時，∴ = ，

∴ x2 - mx + 6 = 0.

∵b2 - 4ac = m2 - 24，∴當(dāng)m > 2時，方程x2 - mx + 6 = 0有兩個不相等的實數(shù)根x1，2 = ；當(dāng)m = 2時，方程x2 - mx + 6 = 0有相等的實根x1，2 = ；當(dāng)m < 2時，方程x2 - mx + 6 = 0無實根.

∴綜合①、②，在線段AD上總存在點P，以P，A，B為頂點的三角形和以P，C，D為頂點的三角形相似.

當(dāng)m > 2時， 這樣的點P存在3個，且它到點A的距離AP是或或；當(dāng)m = 2時， 這樣的點P存在2個，且它到點A的距離AP是或；當(dāng)m < 2時，這樣的點P存在1個，且到A的距離AP是.

總之，綜合原題及相應(yīng)的變式訓(xùn)練，我們發(fā)現(xiàn)用方程思想解決此類點的存在與否及存在相應(yīng)點的個數(shù)的確定更多地轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的個數(shù)問題來解決.

方程思想應(yīng)用非常廣泛，而許多同學(xué)在學(xué)習(xí)中往往見到了方程才想到用方程的思想來解決，事實上熟練地利用方程思想解決問題學(xué)生要做到以下三點：（1） 要具有正確列出方程的能力. 正確列方程是關(guān)鍵，因此要根據(jù)已知條件，尋找等量關(guān)系列方程. （2）要具備用方程思想解題的意識. 有些幾何問題表面上看來與代數(shù)問題無關(guān)，但是利用代數(shù)方法——列方程來解決，因此要挖掘隱含條件，要具有方程的思想意識，還有一些綜合問題，需要通過構(gòu)造方程來解決. 在平時的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該不斷積累用方程思想解題的方法. 同時嘗試一題多解的方法，選擇最優(yōu)方案. （3）要掌握運(yùn)用方程思想解決問題的要點. 除了幾何的計算問題要使用方程或方程思想以外，經(jīng)常需要用到方程思想的還有一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)關(guān)系，方程、函數(shù)、不等式的關(guān)系等內(nèi)容，在解決與這些內(nèi)容有關(guān)的問題時要注意方程思想的應(yīng)用.