楊臣光

【摘要】 兩圓外切是一個(gè)重點(diǎn)部分，通過變式探究，可得出很多不同的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】 兩圓外切；變式探究；基本結(jié)論；變式結(jié)論

初中數(shù)學(xué)“圓”的內(nèi)容中，兩圓外切是一個(gè)重點(diǎn)部分，課本中給出的例題只是一些簡(jiǎn)單的結(jié)論，但老師們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)，通過變式探究，可得出很多不同的結(jié)論.

如圖1，☉O1與☉O2外切于點(diǎn)A， BC為兩圓外公切線，B，C為切點(diǎn)，AD為內(nèi)公切線，AD與BC相交于點(diǎn)D，則有結(jié)論BA⊥AC.

這只是一個(gè)基本結(jié)論，以圖1為基本圖，我發(fā)現(xiàn)此圖形有許多的變式結(jié)論.

如圖2，連接BO1，CO2，連接DO1，交☉O1于E點(diǎn)，連接DO2，交☉O2于F點(diǎn).

則有DO1垂直平分BA， E為弧AB中點(diǎn)， DO1平分∠BDA， E為△DBA內(nèi)心；

同理有DO2垂直平分AC， F為弧AC中點(diǎn)，DO2平分∠ADC，F(xiàn)為△DAC內(nèi)心；

若記☉O1半徑為R，☉O2半徑為r， 則有DA2 = R·r，或者BC = 2DA = 2.

以圖2為基本圖，如圖3：BC與O1O2的延長線相交于點(diǎn)P， 直線O1O2與☉O1交于點(diǎn)G，與☉O2交于點(diǎn)H， 連接BG， CH.

圖3中，變式結(jié)論有：

（1）找相似直角三角形：Rt△BGA∽R(shí)t△ABC∽R(shí)t△CAH∽R(shí)t△DO1O2∽R(shí)t△BO1D∽R(shí)t△AO1D∽R(shí)t△CDO2∽R(shí)t△ADO2等.

（2）找平行：BG∥DO1∥CA，BA∥DO2∥CH，BO1∥CO2等.

（3）找比例關(guān)系形成的等式：PA2 = PG·PH = PC·PB，

PO2·PG = PA·PO1或PA·PO2 = PO1·PH， = = = ，等等.

（4）找相等的角：∠ADO1 = ∠BDO1 = ∠ABO1 = ∠BAO1 =∠DAC = ∠DCA = ∠AO2D = ∠CO2D = ∠O2CH = ∠O2HC，∠ADO2 = ∠CDO2 = ∠PCH = ∠ACO2 = ∠CAO2 = ∠DAB = ∠DBA = ∠BO1D = ∠AO1D = ∠O1BG = ∠O1GB，等.

以圖2為基本圖，如圖4：延長DO1交☉O1于M點(diǎn)，延長BO1 交☉O1于N點(diǎn)，過N點(diǎn)作☉O2的切線NK，切點(diǎn)為K.

由切割線定理可得DE·DM = DA2，由圖（2）的結(jié)論可知 DE·（DE + 2R） = Rr ，那么在已知R與r的情況下，根據(jù)求根公式可求得DE長度. 同理可求DF.

另一變式結(jié)論：由切割線定理和射影定理可得NK2 = NA·NC = NB2 = （2R）2，推出NK = 2R. 同理可得另一相似結(jié)論.

以圖2為基本圖，如圖5：

直線O1O2與☉O1交于E點(diǎn)，與☉O2交于F點(diǎn)，延長EB，F(xiàn)C交于點(diǎn)G，可證明G，D，A三點(diǎn)在同一條直線上，且可證明四邊形ABGC為矩形，此圖形常與二次函數(shù)相結(jié)合，考查學(xué)生的綜合解題能力，襄樊市2004年數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題即為此題型.

兩圓外切的變式是很有趣味的，筆者在此拋磚引玉，敬請(qǐng)大家指正.