羅勇

摘 要 愛森斯坦（Eisenstein）判別法給出了整系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域Q上是不可約的充分條件，但其應(yīng)用具有一定的局限性，我們討論了對多項(xiàng)式經(jīng)線性替換后，利用愛森斯坦判別法，推廣了愛森斯坦判別法的應(yīng)用性。

關(guān)鍵詞 愛森斯坦判別法 有理系數(shù)多項(xiàng)式 有理根

命題1 （愛森斯坦判別法） 設(shè)f（x）=a+ax+ax2+…+axn （1）

是一個整系數(shù)多項(xiàng)式。若是能夠找到一個素數(shù)p，使

（1）pHsa；

（2）p|ai，i=0，1，2，…，n-1；

（3）p2Hsa0。

那么多項(xiàng)式f（x）在有理數(shù)域上不可約。

命題2 n次整系數(shù)多項(xiàng)式

f1（x）=a+ax+ax2+…+axn和f2（x）=axn+axn-1+axn-2+…+a-1x+an

在有理數(shù)域上具有相同的可約性。

證明：由題設(shè)知，a≠0，an≠0所以多項(xiàng)式f1（x）和f2（x）沒有零根。設(shè)%Z≠0為f1（x）的任一有理根，則f1（%Z）=a0+a1%Z+a2%Z2+…+an%Zn=0而f2（）=a0+a1+a2+…+an-1+an=（a0+a1%Z+a2%Z2+…+an%Zn）=0

即為f2（x）的根。同理可證，若%[為f2（x）的根，則為f1（x）的根。即f1（x）和f2（x）具有相同的可約性。

例（張禾瑞，郝鈵新編《高等代數(shù)》第70頁習(xí)題第1題） 設(shè)n次多項(xiàng)式

f（x）=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an

有非零根%Z1，%Z2，…，%Zn。求以，，…，為根的多項(xiàng)式。

解 根據(jù)命題2可得所求多項(xiàng)式為f1（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn

證明 根據(jù)命題2，n次多項(xiàng)式

f1（x）=a+ax+ax2+…+axn和f2（x）=axn+axn-1+axn-2+…+a-1x+an具有相同的可約性。再由引理1可得結(jié)論成立。

在利用愛森斯坦判別法判斷有理系數(shù)多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約時，往往找不到定理中的素數(shù)p，不能直接應(yīng)用，通過變形后就可以利用愛森斯坦判別法。

命題3 設(shè)f（x）是整系數(shù)多項(xiàng)式，證明f（x）在有理數(shù)域上不可約，當(dāng)且僅當(dāng)對任意的整數(shù)a≠0，b，多項(xiàng)式g（x）=f（ax+b）在有理數(shù)域上不可約。

證明：采用反證法，設(shè)g（x）在有理數(shù)域上可約，則存在有理系數(shù)多項(xiàng)式g1（x），g2（x）使得g（x）=f（ax+b）=g1（x）g2（x） 豍，

且。我們用x-代豍中的x，所得有理系數(shù)多項(xiàng)式，且次數(shù)不變，即f（x）=g1（x-）g2（x-）這與f（x）在有理數(shù)域上不可約矛盾。故g（x）在有理數(shù)域上不可約。

推論 n整系數(shù)次多項(xiàng)式

f（x）=a+ax+ax2+…+axn=和g（y）=a+a（y+1）+a（y+1）2+…+a（y+1）n

在有理數(shù)域上具有相同的可約性。

例 證明下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約

（1）x4-2x3+2x-3； （2）x6+x3+1。

證明 （1）令f（x）=x4-2x3+2x-3，則

g（x）=f（x+1）=（x+1）4-2（x+1）3+2（x+1）-3=x4+2x3-2，取素數(shù)p=2，利用愛森斯坦判別法可知，g（x）在有理數(shù)域上不可約，即x4-2x3+2x-3在有理數(shù)域上不可約。

（2）令f（x）=x6+x3+1，則

g（x）=f（x+1）=（x+1）6+（x+1）3+1=x6+6x5+15x4+21x3+18x2+9x+3，取素數(shù)p=3，利用愛森斯坦判別法可知，g（x）在有理數(shù)域上不可約，即x6+x3+1在有理數(shù)域上不可約。

由命題2及推論可知，當(dāng)對不可約多項(xiàng)式f（x）不能利用愛森斯坦判別法時，但存在整數(shù)a≠0，b，使得多項(xiàng)式g（x）=f（ax+b）可以利用愛森斯坦判別法，自然要問，是不是所有的不可約多項(xiàng)式當(dāng)不能利用愛森斯坦判別法判別其不可約性，但存在a≠0，b∈z，經(jīng)線性替換g（x）=f（ax+b）后可以利用愛森斯坦判別法判別其不可約性呢？在文中給出了對不可約多項(xiàng)式f（x）=3x2+11x+121，經(jīng)任意線性替換g（x）=f（ax+b）（a≠0，b∈z）后，仍不能利用Eisenstein判別法判別其不可約性。其實(shí)這樣的例子很多，下面舉例說明：

例 設(shè)f（x）=5x2+19x+361，則f（x）在有理數(shù)域上不可約，但任給素數(shù)p及a≠0，b∈z，多項(xiàng)式f（ax+b）仍不能用愛森斯坦判別法判別其不可約性。

證明 對一元二次方程5x2+19x+361=0，其判別式△=-6859<0，故f（x）在有理數(shù)域上不可約。假設(shè)存在素數(shù)p及a≠0，b∈z，使得多項(xiàng)式

f（ax+b）=5a2x2+a（10b+19）x+5b2+19b+361

能用Eisenstein判別法判別其不可約性。即存在素數(shù)p，使得pHsa，且p≠5，但p|（10b+19）和p|（5b2+19b+361）。

若p|b，此時p=19，顯然p2|（5b2+19b+361），矛盾。因此一定有pHsb，但p|（10b+19）和p|（5b2+19b+361），故p|（5b2+19b+361-19（10b+19））即p|（5b2-171b）H！p|（5b-171）H！p|（5b-171+9（10b+19））H！p|95bH！p|95，此時p=5或p=19。若p=5顯然矛盾，若p=19，則p|b，即p2|（5b2+19b+391），矛盾。因此任給素數(shù)p及a≠0，b∈z，多項(xiàng)式f（ax+b）仍不能用愛森斯坦判別法判別其不可約性。

還如f（x）=3x3+2x2+2x+4和f（x）=3x3+13x2+13x+169都滿足上述條件。

參考文獻(xiàn)

[1] 張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)[M].高等教育出版社，第5版：66～79.

[2] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M]第2版.高等教育出版社，20～97.