李一飛

摘 要 光束質(zhì)量決定了激光的聚焦特性和傳輸特性，它與激光諧振腔內(nèi)的光場(chǎng)模式密切相關(guān)。模式的計(jì)算對(duì)諧振腔腔型的設(shè)計(jì)具有一定的指導(dǎo)作用。本文結(jié)合諧振腔模式計(jì)算的特點(diǎn)，提出了基于傳輸矩陣方法，其主要特點(diǎn)是：可求解多個(gè)模式的計(jì)算，并很容易判斷諧振腔鑒別模式的能力。

關(guān)鍵詞 激光諧振腔 傳輸矩陣 設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：O43 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

1構(gòu)造光學(xué)諧振腔的模型

不穩(wěn)腔常選作高功率激光器的腔型，這時(shí)激活介質(zhì)的增益飽和以及增益的非均勻等會(huì)引起腔內(nèi)折射率的非均勻性。此外，對(duì)一些高功率氣體激光器，腔內(nèi)工作氣體介質(zhì)需作超音速流動(dòng)，因沖擊波作用也會(huì)使腔內(nèi)折射率出現(xiàn)不均勻。因此不能再作為無(wú)源腔來(lái)處理。有源腔的實(shí)際物理圖像十分復(fù)雜，作為近似可以把激活介質(zhì)視為一個(gè)薄片，并且緊貼其中一個(gè)反射鏡，或者一分為二，緊貼在兩個(gè)反射鏡的內(nèi)側(cè)，稱為片狀增益模型。如下圖所示，以片狀增益模型把光腔內(nèi)的介質(zhì)增益等效于緊貼在一腔鏡內(nèi)側(cè)的片狀增益透鏡，設(shè)鏡Ⅰ上的光場(chǎng)分布為，經(jīng)過(guò)腔內(nèi)一次渡越，得到鏡Ⅱ上的光場(chǎng)分布，是光經(jīng)過(guò)增益透鏡后的光場(chǎng)分布。

片狀增益模型

2構(gòu)造數(shù)值矩陣

根據(jù)菲涅耳-基爾霍夫衍射積分方程，將腔鏡Ⅰ按照一定的順序劃分為單元 1～S，于是，腔鏡Ⅰ上的復(fù)振幅分布函數(shù)U1 （x，y）可被離散化為復(fù)振幅分布向量 U1={U1[1]， U1[2]， …U1[S]}，同理，鏡Ⅱ上的復(fù)振幅分布可用矩陣 U2 描述?？疾扃RⅠ上第m個(gè)單元U1[m]（中心位置[Xm，Ym]）對(duì)U2[n]的作用，當(dāng)劃分?jǐn)?shù)S足夠大時(shí)，可認(rèn)為Sm上復(fù)振幅均勻分布，即與ds的積分變量 x、y（以直角坐標(biāo)為例）無(wú)關(guān)，得：U12[m，n]=U1[m]譇12[m，n]，其中，.當(dāng)m 取值 1～S，n 取值 1～h，疊加得到：這個(gè)式子表現(xiàn)了腔內(nèi)光場(chǎng)的一次渡越，可簡(jiǎn)記為：U2=A12譛1.式中A12[m，n]的物理意義為：腔鏡Ⅰ上單元 m 上輸入復(fù)振幅為 1 時(shí)對(duì)腔鏡Ⅱ上單元 n 的作用。同理可得 A21，它描述從鏡Ⅱ返回到鏡Ⅰ。則腔內(nèi)一次往返可表示為：U'1=A21譇12譛1=A譛1，根據(jù)自再現(xiàn)原理有U1'=%＼U1=AU1（h議）. 描述此諧振腔各階模式的本征值%＼就是A的特征值。可見(jiàn)矩陣 A 包含了對(duì)腔內(nèi)模式和光束特性的描述，可稱 A 為傳輸矩陣。求解光腔模式的過(guò)程就可歸結(jié)為：劃分腔鏡——計(jì)算傳輸矩陣——求解特征值和特征向量——模擬腔內(nèi)模式分布。對(duì)諧振腔模式的求解，主要轉(zhuǎn)化為對(duì)傳輸矩陣A的求解。

3光學(xué)諧振腔的設(shè)計(jì)

從幾何光學(xué)近似出發(fā)，采用光線坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣表述，可以最簡(jiǎn)便的方式討論各種共振腔的穩(wěn)定條件和光束在腔內(nèi)往返的空間（截面和發(fā)散角）行為特性。設(shè)腔曲率半徑為R1和R2的兩塊凹面鏡組成，腔長(zhǎng)為任意值L，兩鏡面球心C1和C2的連線構(gòu)成系統(tǒng)光軸?？紤]由鏡M2上任意一點(diǎn)P0發(fā)出的任意一條光線，它在P0點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)參量表征：一個(gè)是P0點(diǎn)至光軸的距離%j0，另一個(gè)是光線與光軸平行線的夾角%a0。設(shè)該光線傳輸?shù)界R上M1與鏡面交于P1，則相對(duì)于P1點(diǎn)而言的坐標(biāo)參量分別轉(zhuǎn)換為%j'=%j0+L%a0和%a'=%a0。由上述關(guān)系式出發(fā)，我們考查了光線在腔內(nèi)完成了一次往返過(guò)程，設(shè)往返一次后光線的坐標(biāo)矩陣為A1，則A1的表示式為，式中T為任意光線在腔內(nèi)完成了往返一周時(shí)的坐標(biāo)變換矩陣，R為光線在P點(diǎn)反射時(shí)的坐標(biāo)反射矩陣。重復(fù)以上的分析，可進(jìn)一步把光線在腔內(nèi)經(jīng)歷次往返后的坐標(biāo)參量%jn、%an與初始坐標(biāo)參量之間的關(guān)系一矩陣形式表示為按照矩陣的數(shù)學(xué)理論， ，式中三角函數(shù)的宗量定義為%o=arccos（a+d），這里（a+d）為轉(zhuǎn)換矩陣的兩對(duì)角矩陣元之和。由表示式可看出，它們均與光線的初始坐標(biāo)參量的選擇無(wú)關(guān)，因此可用來(lái)描述腔內(nèi)任意光線的往返行為。共振腔的穩(wěn)定條件，在物理上意味著任意光線在腔內(nèi)往返任意多次數(shù)后都不會(huì)橫向偏折出腔外；在數(shù)學(xué)上，這意味著任意光線在腔內(nèi)往返任意多次數(shù)后，光線在鏡面上的坐標(biāo)參量恒保持為有限的并且不全為零的數(shù)值。這要求相當(dāng)于.這是共振腔穩(wěn)定條件的基本表示式。再將a、d表示式代入得.當(dāng)這個(gè)條件得到滿足時(shí)，對(duì)一般穩(wěn)定腔而言，在腔的菲涅爾數(shù)不十分小和所討論的橫模序數(shù)不十分高的兩個(gè)前提下，應(yīng)用衍射理論可給出近似解析解的結(jié)果。