劉鳳琴 金瑜

【摘 要】構(gòu)建合適的理論模型來估計(jì)和預(yù)測金融資產(chǎn)波動率是衍生品定價、投資組合配置以及風(fēng)險管理中的十分重要環(huán)節(jié)，因此相關(guān)學(xué)術(shù)研究已經(jīng)引起國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注。本文主要基于已有研究文獻(xiàn)，從兩個方面對其研究成果進(jìn)行適當(dāng)梳理，首先分析了隨機(jī)波動率的理論模型和所適用的金融環(huán)境，其次討論了常用參數(shù)估計(jì)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，最后總結(jié)了模型進(jìn)一步發(fā)展的趨勢.研究認(rèn)為：Heston模型在普通期權(quán)定價和利率市場方面應(yīng)用較為廣泛，SABR模型是目前金融市場最有效的風(fēng)險管理工具之一；自適應(yīng)馬爾科夫鏈蒙特卡羅估計(jì)（MCMC）方法將是未來最佳的隨機(jī)波動率模型參數(shù)估計(jì)方法之一。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)波動率；SABR模型；自適應(yīng)MCMC

一、引言

對金融市場波動的描述是現(xiàn)代金融理論的關(guān)鍵內(nèi)容之一，因?yàn)楝F(xiàn)代金融理論的核心便是不確定性，而波動則是衡量這種不確定性的重要指標(biāo)。而且隨著近年來金融資產(chǎn)之間的聯(lián)系不斷加深和金融衍生品的不斷創(chuàng)新，金融市場的波動日益加劇，表現(xiàn)出非常復(fù)雜、豐富的統(tǒng)計(jì)特征，如波動的隱含微笑曲線、尖峰厚尾、長期記憶性、非對稱性和溢出效應(yīng)等。

自從Taylor（1986）構(gòu)建隨機(jī)波動率（Stochastic volatility，SV）模型，由于SV模型在描述金融資產(chǎn)波動率動態(tài)過程時比其他模型（如GARCH模型等）更靈活、更具有優(yōu)勢，SV模型逐漸在波動率估計(jì)和預(yù)測中占據(jù)主導(dǎo)地位。國內(nèi)外學(xué)者對此開展了大量研究，研究內(nèi)容主要包括三個方面：

1.針對SV模型及其擴(kuò)展的研究

SV模型利用隨機(jī)變量描述金融市場任意給定時刻的資產(chǎn)價格及其波動率。目前最流行的SV模型是Heston模型和SABR模型?，F(xiàn)階段的研究主要圍繞SV模型的擴(kuò)展展開，如引入跳躍過程、構(gòu)建高頻數(shù)據(jù)的波動模型等。

2.SV模型參數(shù)估計(jì)方法的研究

由于SV模型的特征函數(shù)無法導(dǎo)出精確表達(dá)式，難以使用普通的參數(shù)估計(jì)方法。近十幾年來，國內(nèi)外學(xué)者圍繞SV模型中擾動項(xiàng)無法觀測的特性，提出了多種參數(shù)估計(jì)方法。歸納起來可分為三類：一是矩估計(jì)方法；二是極大似然估計(jì)方法；三是基于輔助模型的估計(jì)方法，主要是擴(kuò)展的MCMC方法等。本文主要介紹目前最常用的MCMC方法。

從上可知，MCMC具有兩個優(yōu)點(diǎn)：第一，MCMC可同時估計(jì)參數(shù)和狀態(tài)變量，而毋須事先估計(jì)參數(shù)，這為實(shí)際應(yīng)用帶來很多方便；第二，MCMC的效率顯著高于其他方法，由于MCMC在估計(jì)參數(shù)和狀態(tài)變量時都是條件模擬，因此在估計(jì)參數(shù)時，MCMC不需對大量數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合優(yōu)化。

由于MCMC方法在解決復(fù)雜模型計(jì)算問題方面的顯著優(yōu)勢，從而在金融數(shù)學(xué)、信息安全、生物統(tǒng)計(jì)等方面得到廣泛應(yīng)用。Jacquier，Polson，Rossi（1994）首次應(yīng)用MCMC方法估計(jì)SV模型參數(shù)。

針對傳統(tǒng)的MCMC模擬方法存在計(jì)算效率低的缺陷，國內(nèi)外學(xué)者提出了新的MCMC方法。Carta A和Steel MFJ（2012）提出應(yīng)用塊抽樣方法提高M(jìn)CMC方法效率，并實(shí)驗(yàn)證明新抽樣方法的效率增益。汪衛(wèi)芳（2013）提出了一種新的MCMC方法中的自適應(yīng)Metropolis抽樣方法，研究結(jié)果表明：自適應(yīng)Metropolis方法的推薦分布隨著抽樣過程能自適應(yīng)的調(diào)整，其都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的MCMC方法。

四、總結(jié)和展望

本文總結(jié)了金融隨機(jī)波動率模型的發(fā)展趨勢和適用的金融環(huán)境，簡要討論了SV模型的主要參數(shù)估計(jì)方法。研究表明：Heston模型在普通期權(quán)定價和利率市場方面得到了廣泛應(yīng)用，但不適合結(jié)構(gòu)化產(chǎn)品建模；SABR模型已成為目前市場實(shí)務(wù)中管理“波動率微笑”風(fēng)險的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)模型之一，而且SABR模型較適合對奇異期權(quán)的估值；自適應(yīng)MCMC方法將是未來最佳的SV模型參數(shù)估計(jì)方法之一。雖然隨機(jī)波動率模型的研究在過去20多年中取得了巨大的進(jìn)步，但還有眾多問題需要研究和開拓，可從以下幾個方面考慮：

1.現(xiàn)有文獻(xiàn)極少考慮波動率跳躍對波動率預(yù)測的影響。因此在考慮利率波動的連續(xù)變化因素（由隨機(jī)波動過程刻畫）的同時，可嘗試引入Levy過程等跳躍過程用于刻畫跳躍變化時刻及跳躍幅度。

2.目前期權(quán)交易規(guī)模和交易量迅速增長，同時期權(quán)定價模型的復(fù)雜程度卻越來越高，如何按市場要求在盡可能短的時間內(nèi)對期權(quán)進(jìn)行定價變得越來越困難。對此可考慮利用GPU集群并行技術(shù)和全局優(yōu)化方法如模擬退火算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等實(shí)現(xiàn)期權(quán)等金融衍生品的實(shí)時定價。

參考文獻(xiàn)：

[1] Taylor S J. Modeling Financial Time Series， 1986[J].

[2] Heston S L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options [J]. Review of financial studies， 1993， 6（2）： 327-343.

[3] Cox J C， Ingersoll Jr J E， Ross S A. A theory of the term structure of interest rates [J]. Econometrica： Journal of the Econometric Society， 1985： 385-407.

[4] Bergomi L. Smile dynamics I [J]. Available at SSRN 1493294， 2004.

[5] Jacquier E， Polson N G， Rossi P E. Reply [J]. Journal of Business & Economic Statistics， 1994， 12（4）： 413-417.

[6] Carta A， Steel MFJ. Modelling multi-output stochastic frontiers using copulas [J]. Computational Statistics & Data Analysis， 2012， 56（11）： 3757-3773

[7]汪衛(wèi)芳. 一種新的自適應(yīng) MCMC方法在金融市場風(fēng)險 VaR 計(jì)算中的應(yīng)用. 學(xué)術(shù)論壇， 2013（1）：153-156