田沛雨 鞠海燕

一、引言

新的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中指出“使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問題、認(rèn)識世界”“要關(guān)注學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題、分析問題、解決問題等過程的評價(jià)”等等，可見新課程理念中對數(shù)學(xué)解題的重視.傳統(tǒng)課堂上的解題，注重結(jié)果，強(qiáng)調(diào)正確答案；而在新課程理念倡導(dǎo)下“問題解決”則更加注重解決問題的過程、策略以及思維方法，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決問題中情感、態(tài)度、價(jià)值觀的培養(yǎng).這些理念的提出對教師提出了更高的要求，教師就需要不斷尋找學(xué)生的思維障礙所在，探究障礙形成的原因，把握學(xué)生的認(rèn)知過程，減少機(jī)械灌輸，實(shí)現(xiàn)高效的課堂教學(xué).本文結(jié)合美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基的APOS理論分析學(xué)生解題中的思維過程，探究其對高中數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)的幫助和啟示.

二、APOS理論在解題中的應(yīng)用

1.高中學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

APOS理論是在學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識的基礎(chǔ)上的學(xué)習(xí)理論，它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)而不是被動(dòng)接受，高中生已能夠有計(jì)劃有預(yù)見性地解決問題，元認(rèn)知能力有了很大的提高，具有了很強(qiáng)的自我反省能力、遷移能力，理解能力已發(fā)展到了較高的水平，具備了能動(dòng)的建構(gòu)知識的過程.

2.APOS理論在學(xué)生解題中的應(yīng)用

以“求y=sinπ3-12x，x∈[-2π，2π]的單調(diào)遞增區(qū)間”為例介紹一下APOS理論在學(xué)生解題過程中的應(yīng)用.操作階段：題目類似于問題情境作用在學(xué)生身上，引起了學(xué)生思考如何求解這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.過程階段：學(xué)生充分調(diào)動(dòng)知識系統(tǒng)中的圖示解決題目的過程.審查、分析題目之后學(xué)生就會(huì)在思維中再現(xiàn)知識體系，從中尋找合適的圖示去解決問題.如果題目簡單，比如是定理或概念的直接運(yùn)用，那么用已有的圖示就能順利地解決問題.如果題目稍微綜合一點(diǎn)，學(xué)生就會(huì)尋找和題目相關(guān)的圖示，有些題目不是直接考查定理、概念如何使用而是考查學(xué)生對定理、概念理解的過程，這時(shí)學(xué)生就需再現(xiàn)知識形成過程中的思維機(jī)制（此時(shí)實(shí)際是APOS理論逆用的過程），找到正確的理解過程.在這個(gè)題目中，學(xué)生首先會(huì)想到正弦函數(shù)的單調(diào)性，接著發(fā)現(xiàn)此題不單純是正弦函數(shù)的問題而是一個(gè)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解，學(xué)生就會(huì)從自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋找相關(guān)的對象：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性如何判斷？知識提取和運(yùn)用的過程也是學(xué)生不斷試誤的過程，這過程中的經(jīng)驗(yàn)就會(huì)內(nèi)化到思維中，當(dāng)學(xué)生糾正了錯(cuò)誤的思路找到正確的思路時(shí)，學(xué)生就能壓縮整個(gè)過程得到對象——完整的解題思路.這次的解題經(jīng)驗(yàn)就會(huì)和原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相融合而形成新的圖示.學(xué)生能用這時(shí)的圖示去解決類似的問題，不必再去重現(xiàn)調(diào)動(dòng)知識的全過程.在這個(gè)APOS解題的過程中強(qiáng)化了學(xué)生對知識的理解、應(yīng)用能力和實(shí)際動(dòng)手操作的技能，以后就能熟能生巧.

三、APOS理論對教學(xué)活動(dòng)的啟示

“在教育教學(xué)過程中，教育者要發(fā)揮自己的創(chuàng)造性，結(jié)合學(xué)生的反饋信息，竭力尋求應(yīng)用理論解決實(shí)際教學(xué)問題的途徑和方法.”教師以理論武裝自己，讓理論與實(shí)踐達(dá)到完美的結(jié)合.APOS的理念有效地融入習(xí)題課堂需要教師走近學(xué)生，和學(xué)生有很好的信息交流和反饋，充分地把握學(xué)生的認(rèn)知，才能在課堂上和學(xué)生達(dá)成共鳴.綜合以上分析得出幾點(diǎn)啟示：①對于復(fù)雜的題目，需要老師提綱挈領(lǐng)地展現(xiàn)大的知識框架，然后及時(shí)地發(fā)現(xiàn)學(xué)生出錯(cuò)誤的小知識點(diǎn)即小的Object，有針對性地糾錯(cuò)，從而修正學(xué)生思維結(jié)構(gòu)中的大的圖示；②通過APOS理論對解題思維障礙的展示，教師進(jìn)行有針對性的講解，在課堂上重點(diǎn)突出，有的放矢；③根據(jù)學(xué)生的思維難點(diǎn)所在設(shè)置更加富有層次性、梯度性的題目，讓學(xué)生由易到難地接受知識；④把握住學(xué)生的思維障礙可以因勢利導(dǎo)地引導(dǎo)學(xué)生自我反思，有利于培養(yǎng)學(xué)生的反思能力；⑤通過把握學(xué)生的思維過程可以在解題中的不同環(huán)節(jié)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想和基本理念的培養(yǎng)，可以把握和引導(dǎo)學(xué)生的形象思維、直覺思維、邏輯思維；⑥在學(xué)生和教師的互動(dòng)過程中教師應(yīng)重視和鼓勵(lì)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識，鼓勵(lì)學(xué)生提問、質(zhì)疑、釋疑，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.教師只有把握住學(xué)生解題過程中的思維障礙點(diǎn)，針對學(xué)生錯(cuò)誤的階段強(qiáng)化講解和練習(xí)，才能達(dá)到高效的教學(xué).

四、總結(jié)

習(xí)題課的講授不僅要讓學(xué)生學(xué)會(huì)具體題目的解法，而且要讓學(xué)生達(dá)到對知識的靈活運(yùn)用，掌握數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)思想方法，通過習(xí)題加深對基本概念的理解，從而使概念完整化、具體化，牢固掌握所學(xué)的知識體系，完善頭腦中已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).結(jié)合APOS理論的問題解決的過程，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生的積極性；對教師把握問題的難度、學(xué)生的掌握知識的情況以及學(xué)生的思維障礙點(diǎn)很有用，讓課堂教學(xué)更有針對性.課堂情境的實(shí)施就是操作階段的進(jìn)行，設(shè)置有層次、有梯度的問題情境對后續(xù)階段起著重要的作用，教師應(yīng)通過習(xí)題的解決再現(xiàn)基本概念思維的過程，讓學(xué)生在解題中完善原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，給知識以總結(jié)，讓學(xué)生的知識得到升華.