歐陽(yáng)新武

【摘要】數(shù)學(xué)史是介于文理科之間的邊緣學(xué)科，要打破自然學(xué)科與社會(huì)學(xué)科多年的鴻溝，數(shù)學(xué)史將發(fā)揮它的中介作用，在兩者之間架起一座橋梁.作為一名數(shù)學(xué)教師掌握數(shù)學(xué)史知識(shí)內(nèi)涵之后，不僅本人受益，更重要的是，可以結(jié)合數(shù)學(xué)概念教學(xué).在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候采取怎樣的策略融入數(shù)學(xué)史進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)？等等.本文對(duì)這些問題從理論上和實(shí)踐上進(jìn)行深入細(xì)致的探討.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)概念教學(xué)；應(yīng)用數(shù)學(xué)史；融入數(shù)學(xué)史

現(xiàn)在教師將數(shù)學(xué)史應(yīng)用于概念教學(xué)的一般方法為：利用數(shù)學(xué)課本中的閱讀材料，選取比較有意思的科學(xué)家的小故事講講，或者是“宣讀”一下有關(guān)的數(shù)學(xué)史資料.有極少的教師關(guān)注數(shù)學(xué)史中對(duì)學(xué)生認(rèn)知的幫助，但是對(duì)數(shù)學(xué)史如何應(yīng)用于概念教學(xué)的認(rèn)知沒有形成有效的策略.數(shù)學(xué)史素養(yǎng)不僅僅是教師掌握的數(shù)學(xué)史知識(shí)的量，更重要的是教師在教學(xué)中自然流露出的“歷史感”， 這種“歷史感”貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，而不是數(shù)學(xué)史資料的“宣讀”.

教師對(duì)數(shù)學(xué)史的少運(yùn)用還有一個(gè)原因是“時(shí)間緊迫，難以講授”，其實(shí)這是對(duì)數(shù)學(xué)史的誤解，數(shù)學(xué)史存在三種形態(tài)，我們運(yùn)用的是數(shù)學(xué)史的教育形態(tài)，即將所教概念在歷史的脈絡(luò)中重新整理，用新角度來(lái)講授，使數(shù)學(xué)史恰如其分地流露在數(shù)學(xué)教育中.

臺(tái)灣師范大學(xué)洪萬(wàn)生教授指出教師應(yīng)用數(shù)學(xué)史至少可以分為三個(gè)層次：

第一，說(shuō)故事；

第二，在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學(xué)家所提供的不同方法，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)全方位的認(rèn)知能力和思考彈性；

第三，從歷史的角度注入數(shù)學(xué)活動(dòng)的文化意義，在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中實(shí)踐多元文化關(guān)懷的理想.

據(jù)此，在概念教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)史也相應(yīng)的分為三種層面：

1.情感層面——激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

情感層面是指在概念教學(xué)通過(guò)歷史上發(fā)生的小故事、科學(xué)家的傳記、趣題等內(nèi)容提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

例如，坐標(biāo)系概念的教學(xué)中可以從講故事著手：

傳說(shuō)中有這么一個(gè)故事：有一天，笛卡爾（1596—1650，法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家）生病臥床，但他頭腦一直沒有休息，在反復(fù)思考一個(gè)問題：幾何圖形是直觀的，而代數(shù)方程則比較抽象，能不能用幾何圖形來(lái)表示方程呢？這里，關(guān)鍵是如何把組成幾何的圖形的點(diǎn)和滿足方程的每一組“數(shù)”掛上鉤.他就拼命琢磨，通過(guò)什么樣的辦法才能把“點(diǎn)”和“數(shù)”聯(lián)系起來(lái).突然，他看見屋頂角上的一只蜘蛛，拉著絲垂了下來(lái)，一會(huì)兒，蜘蛛又順著絲爬上去，在上邊左右拉絲.蜘蛛的“表演”，使笛卡爾思路豁然開朗.他想，可以把蜘蛛看作一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動(dòng)，能不能把蜘蛛的每個(gè)位置用一組數(shù)確定下來(lái)呢？他又想，屋子里相鄰的兩面墻與地面交出了三條線，如果把地面上的墻腳作為起點(diǎn)，把交出來(lái)的三條線作為三根數(shù)軸，那么空間中任意一點(diǎn)的位置，不是都可以用這三根數(shù)軸上找到的有順序的三個(gè)數(shù)來(lái)表示嗎？反過(guò)來(lái)，任意給一組三個(gè)有順序的數(shù)，例如3，2，1，也可以用空間中的一個(gè)點(diǎn) P來(lái)表示它（如圖 1）.同樣，用一組數(shù)（a， b）可以表示平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)也可以用一組兩個(gè)有順序的數(shù)來(lái)表示（如圖2）.于是在蜘蛛的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了直角坐標(biāo)系.

無(wú)論這個(gè)傳說(shuō)的可靠性如何，有一點(diǎn)是可以肯定的，就是笛卡爾是個(gè)勤于思考的人.這個(gè)有趣的傳說(shuō)，就像瓦特看到蒸汽沖起開水壺蓋發(fā)明了蒸汽機(jī)，牛頓被蘋果砸了后發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力一樣，說(shuō)明笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的過(guò)程中，很可能是受到周圍一些事物的啟發(fā)，觸發(fā)了靈感.

2.認(rèn)知層面——促進(jìn)對(duì)概念的理解

認(rèn)知層面是指在歷史脈絡(luò)中比較數(shù)學(xué)家們所提供的不同方法，拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生對(duì)概念的理解.在教學(xué)中教師要總結(jié)知識(shí)發(fā)展的規(guī)律，概念發(fā)明和發(fā)現(xiàn)的方法.

例如：在函數(shù)概念的教學(xué)中我們可以遵循歷史的足跡，比較函數(shù)概念在各個(gè)時(shí)期的變化，找到它們的區(qū)別與聯(lián)系.

有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念.

例如復(fù)數(shù)概念的教學(xué)中可以先回顧已經(jīng)歷過(guò)的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：正整數(shù)→自然數(shù)→非負(fù)有理數(shù)→有理數(shù)→實(shí)數(shù).然后教師提出問題：上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？

分析如下：實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程體現(xiàn)了如下規(guī)律：

（1）每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；

（2）在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；

（3）擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題.

有了上述準(zhǔn)備后，教師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說(shuō)明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性.那么，怎樣解決這個(gè)問題呢？教師呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史上復(fù)數(shù)概念的產(chǎn)生遇到的困難和科學(xué)家們的解決思路，借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定.這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ).

3.文化層面——體會(huì)概念中蘊(yùn)含的文化

文化層面是指從歷史的角度注入數(shù)學(xué)概念一定的文化意義，主要是講概念的價(jià)值和意義.

例如坐標(biāo)系概念可以從以下方面介紹：

（1）在學(xué)科中的意義

直角坐標(biāo)系的創(chuàng)建，在代數(shù)和幾何上架起了一座橋梁.它使幾何概念得以用代數(shù)的方法來(lái)描述，幾何圖形可以通過(guò)代數(shù)形式來(lái)表達(dá)，這樣便可將先進(jìn)的代數(shù)方法應(yīng)用于幾何學(xué)的研究.

笛卡爾在創(chuàng)建直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支——解析幾何.他的設(shè)想是：只要把幾何圖形看成是動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以把幾何圖形看成是由具有某種共同特性的點(diǎn)組成的.比如，我們把圓看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O做等距離運(yùn)動(dòng)的軌跡，也就可以把圓看作是由無(wú)數(shù)到定點(diǎn)O的距離相等的點(diǎn)組成的.我們把點(diǎn)看作是形成圖形的基本元素，把數(shù)看成是組成方程的基本元素，只要把點(diǎn)和數(shù)掛上鉤，也就可以把幾何和代數(shù)掛上鉤.

把圖形看成點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，這個(gè)想法很重要！它從指導(dǎo)思想上，改變了傳統(tǒng)的幾何方法.笛卡爾根據(jù)自己的這個(gè)想法，在《幾何學(xué)》中，最早為運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)建立坐標(biāo)，開創(chuàng)了幾何和代數(shù)掛鉤的解析幾何.在解析幾何中，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)就成了變數(shù)，這是數(shù)學(xué)第一次引進(jìn)變數(shù).

（2）歷史上的評(píng)價(jià)

恩格斯高度評(píng)價(jià)笛卡爾的工作，他說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué).”

以上三個(gè)應(yīng)用的層面，在教學(xué)中都要有所涉及，但側(cè)重點(diǎn)不同.從概念教學(xué)目的考慮，應(yīng)以認(rèn)知層面為主，以文化層面和情感層面為輔.

下面談?wù)劜扇≡鯓拥牟呗匀谌霐?shù)學(xué)史使數(shù)學(xué)概念教學(xué)能有效地達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知層面.

1. 問題策略——設(shè)置問題，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

問題策略是指為了豐富學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中的體驗(yàn)，將數(shù)學(xué)史中數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程、形式化的數(shù)學(xué)概念以及一些相關(guān)的材料轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，形成問題情境，在問題的探究中“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”，最終構(gòu)建概念的心理表征.

動(dòng)機(jī)來(lái)源于需要，而推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原始動(dòng)力就是數(shù)學(xué)問題.正是有了形形色色的數(shù)學(xué)問題，才產(chǎn)生了豐富多彩的數(shù)學(xué)概念，因此，概念教學(xué)的起點(diǎn)應(yīng)是問題.我們平時(shí)所有的教科書是按演繹體系來(lái)編排的，即概念→定理→問題解決，反映了一種靜止的數(shù)學(xué)觀，但歷史的真實(shí)面目并非如此，這是教學(xué)法的違背.真正的數(shù)學(xué)教育應(yīng)遵循數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)u進(jìn)系統(tǒng)化的過(guò)程，教學(xué)生像數(shù)學(xué)家那樣“再創(chuàng)造”的方法去學(xué)習(xí).重要的是，教科書的編寫人員應(yīng)將一些歷史概況和數(shù)學(xué)思想變遷的重要例子寫進(jìn)教材，而學(xué)生通過(guò)解題討論不同的猜想和過(guò)程，對(duì)自己的概念形成和難點(diǎn)及重要的觀念的改變做進(jìn)一步的了解也同樣很重要.

數(shù)學(xué)史的應(yīng)用必須問題化.這可以從兩方面下手：其一，把概念生成過(guò)程問題化.一個(gè)概念是如何引入的？必要性和重要性何在？這些問題往往也是區(qū)分概念的本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征的關(guān)鍵所在.因此教學(xué)中應(yīng)盡可能把知識(shí)的發(fā)生過(guò)程轉(zhuǎn)化為一系列帶有探究性的問題，真正使有關(guān)材料成為學(xué)生思考的對(duì)象.其二，把形式化的數(shù)學(xué)材料轉(zhuǎn)化為蘊(yùn)含概念本質(zhì)特征、貼近學(xué)生生活的、適合學(xué)生探究的問題.通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，把數(shù)學(xué)拉到學(xué)生的身邊，使數(shù)學(xué)變得親切，把學(xué)生引向概念本質(zhì).

2. 有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略——追溯歷史，重建數(shù)學(xué)概念

有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略是指利用數(shù)學(xué)史料進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用，自主地生成概念.

再創(chuàng)造策略可以使學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心.特別是對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要特別關(guān)注概念的形成的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式.

弗賴登塔爾說(shuō)得好：“我們不應(yīng)該遵循發(fā)明者的足跡，而是經(jīng)過(guò)改良同時(shí)有更好的引導(dǎo)作用的歷史過(guò)程.”在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有機(jī)會(huì)經(jīng)歷與數(shù)學(xué)事件的歷史發(fā)展相類似的探究過(guò)程，但此時(shí)并不是真正地去創(chuàng)造，而是在教師的引導(dǎo)下獲得知識(shí).學(xué)生沿著歷史發(fā)展的路徑，了解某部分的數(shù)學(xué)概念的來(lái)龍去脈，在此過(guò)程中他們的學(xué)習(xí)也包含了再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的意義.

有指導(dǎo)的再創(chuàng)造策略的應(yīng)用要求教師的課堂設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)具有一定的開放性，為學(xué)生提供“提出問題、探索問題”的空間，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的習(xí)慣、堅(jiān)忍不拔的意志和勇于創(chuàng)新的精神.信息技術(shù)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供了可能，教師應(yīng)盡可能地使用科學(xué)計(jì)算器、計(jì)算機(jī)及軟件、互聯(lián)網(wǎng)以及各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，支持和鼓勵(lì)學(xué)生用現(xiàn)代信息技術(shù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、開展課題研究，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力.

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