孫健

【摘要】高等數(shù)學(xué)函數(shù)在目前的研究當(dāng)中，出現(xiàn)了一些問題，在一致性和連續(xù)性的研究當(dāng)中出現(xiàn)了一些分歧.連續(xù)函數(shù)是數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，著重討論的一類函數(shù)，對深入研究具有非常重要的作用，而函數(shù)的一致性對日常教學(xué)和高等數(shù)學(xué)的進(jìn)步來說，也能夠起到較大的推動作用.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的時候，多數(shù)人都會將函數(shù)的連續(xù)性與一致性混淆，導(dǎo)致學(xué)習(xí)人員僅僅能夠理解淺層意思，而不了解深層含義，甚至無法學(xué)習(xí)后續(xù)的知識，因此，對高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題研究，還是非常有必要的.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)；連續(xù)性；一致性

連續(xù)函數(shù)對揭示自然界連續(xù)變化的現(xiàn)象有很重要的作用，比方說氣溫的連續(xù)上升或者下降，距離的連續(xù)增加等等，它們?nèi)绻脭?shù)學(xué)的抽象方式來表達(dá)，就是連續(xù)性函數(shù).從客觀的角度來說，利用高等數(shù)學(xué)函數(shù)的連續(xù)性來解決問題，會更加準(zhǔn)確，并且能夠找到根本原因.從連續(xù)性派生的一致連續(xù)性，更是函數(shù)性質(zhì)從其局部到整體上的拓展性，使研究的函數(shù)性質(zhì)更加深入，更加全面.高等數(shù)學(xué)的復(fù)雜程度較高，在研究一致性連續(xù)性問題的時候，除了要避免混淆以外，還要不斷地探索二者之間的聯(lián)系以及各項(xiàng)作用，將高等數(shù)學(xué)函數(shù)的連續(xù)性和一致性更好地利用，而不是一味地在理論上研究.在此，本文主要對高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題進(jìn)行研究.

一、高等數(shù)學(xué)分析中函數(shù)一致連續(xù)的概念的理解

函數(shù)的一致連續(xù)性體現(xiàn)了一個連續(xù)函數(shù)的變化速度有無“突變”.相對來說，函數(shù)的變化既有規(guī)律可循，同時也無規(guī)律可循.高等函數(shù)在一定程度上可以通過定義或者數(shù)學(xué)函數(shù)式來尋求結(jié)果.但是，部分函數(shù)由于自身的性質(zhì)比較特殊，因此不具有意義.函數(shù)連續(xù)一致性不僅僅體現(xiàn)在區(qū)間上的每一點(diǎn)，同時還要在區(qū)間上所有點(diǎn)鄰近點(diǎn)的函數(shù)的大致變化趨勢要均勻.這就是理論上的函數(shù)一致連續(xù)性.下面，本文從兩個方面來討論一下高等函數(shù)的一致連續(xù)性.

（一）定義1

高等數(shù)學(xué)分析中函數(shù)一致連續(xù)的概念過于理論化，如果沒有實(shí)際的證明，勢必得不到認(rèn)可，并且無法在實(shí)際的工作當(dāng)中產(chǎn)生較大的積極作用.經(jīng)過長久的研究和積淀，數(shù)學(xué)家將高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)分為兩個定義.定義1：（假設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上連續(xù)）區(qū)間為I上的f（x）函數(shù)，如果ε>0，那么函數(shù)上的每一個點(diǎn)x∈I，由此可以推理出，函數(shù)區(qū)間上的每一個點(diǎn)都存在相應(yīng)的δ=δ（ε，x）.從以上的定義來分析，只要x∈I，并且|x2-x1|<δ，就能夠推導(dǎo)出|f（x1）-f（x2）|小于ε.最后得出的結(jié)論為：函數(shù)f（x）在區(qū)間I上顯示出連續(xù)的狀態(tài).從定義1來看，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性需要符合區(qū)間和數(shù)學(xué)式上的要求，并且按照一定的規(guī)律來存在.

（二）定義2

相對來說，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性不僅僅具有一種性質(zhì)或者一種定義，而是能夠通過兩種或者是兩種以上的定義、性質(zhì)來表達(dá).定義1是教學(xué)和研究常用的定義，并且對高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性問題的研究，產(chǎn)生了較大的積極意義.下面，本文就定義2進(jìn)行闡述.定義2：此定義也被稱為一致連續(xù)性的定義.在區(qū)間I上定義的f（x）函數(shù)，如果對ε>0，并且存在δ（且δ>0），在此范圍內(nèi)的任意x（x∈I），只要符合|x1-x2|小于δ，那么就可以推導(dǎo)出|f（x1）-f（x2）|<ε，那么區(qū)間I上的函數(shù)f（x）一致連續(xù).

（三）歸納

從以上的闡述來看，一致連續(xù)概念與連續(xù)概念當(dāng)中的δ并不一樣，可以通過很多的例子來說明.當(dāng)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上擁有一致連續(xù)性的概念時，可以通過相應(yīng)的例子來引出.通過不同的例子和不同的定義，學(xué)生和教師在學(xué)習(xí)、研究高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的時候，就能夠?qū)Ζ牡娜≈捣椒ǜ忧宄?，同時也可以對高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題更加深入地理解和學(xué)習(xí).我們在研究和分析高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的時候，應(yīng)該從兩個定義出發(fā)，因?yàn)榫唧w的數(shù)學(xué)式和具體的表達(dá)含義是不同的，在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用范圍也不一樣.為了保證能夠更好地利用函數(shù)，同時在深入研究的時候，減少混淆和不必要的問題發(fā)生，必須對函數(shù)連續(xù)一致性的其他方面進(jìn)行研究，獲得更多的規(guī)律和知識.

二、函數(shù)連續(xù)一致性條件

“條件”在函數(shù)的研究當(dāng)中，具有非常重要的影響和意義.簡單來說，“條件”就是保證高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題具有研究意義的保障.函數(shù)連續(xù)一致性要想能夠繼續(xù)研究下去，并且能夠?qū)?shí)際的工作產(chǎn)生意義，就需要依賴條件來進(jìn)行.從目前的研究情況來分析，函數(shù)連續(xù)是函數(shù)一致連續(xù)的必要條件，但不是充分條件，是一種在自然情況下，推出的結(jié)論.由此可見，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題的研究，“條件”的研究是非常重要的方面.根據(jù)G康托定理，區(qū)間連續(xù)性要想轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間一致連續(xù)性，一共有兩種情況，同時這兩種情況是目前都能夠滿足的.第一，區(qū)間存在界限，但是并不是完全為閉區(qū)間，一致連續(xù)性的點(diǎn)可能被開的端點(diǎn)所破壞.這種情況是一種比較普遍的情況，同時是研究“條件”的重要方式.第二，區(qū)間的兩個端點(diǎn)或者一個端點(diǎn)的取值為正無窮的時候，函數(shù)的一致連續(xù)性也可能被函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處所破壞.在這種情況下，我們就要附加一些條件，比方說在函數(shù)一致連續(xù)性的開的端點(diǎn)或者無窮遠(yuǎn)點(diǎn)破壞點(diǎn)處加上一些限制性的條件，讓無意義的函數(shù)不成立，從而可以繼續(xù)推導(dǎo).“條件”的研究并不是依靠一兩個數(shù)學(xué)式就能夠確定的，即便是現(xiàn)在只有兩個方面，難保日后不會有更多的方面，所以還要加深研究才行.

總結(jié)：本文對高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致性連續(xù)性問題進(jìn)行了一定的研究，從目前的情況來看，高等數(shù)學(xué)函數(shù)一致連續(xù)性的相關(guān)問題并沒有得到徹底的解決，雖然一些小問題沒有影響到學(xué)生的學(xué)習(xí)，但后續(xù)的研究工作必須將其解決，盡量通過完善的研究方式和推導(dǎo)方式，將高等數(shù)學(xué)函數(shù)深入推理，得到更好的結(jié)論.

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