郝紅賓

重基礎(chǔ)抓思想強能力

2014年全國各地的高考數(shù)學理科卷共有18套，為了給今后參加高考的同學們提供一定的參照和幫助，我們精選了其中的四套進行分析，它們分別是全國新課標卷Ⅰ和卷Ⅱ、山東卷、廣東卷。

這些具有代表性的試卷均由容易題、中等題、難題組成，且以容易題、中等題為主，壓軸題在難度上控制得很好，整體感覺知識覆蓋面廣，運算量適中。試題在繼承的背景下進行創(chuàng)新，其中全國新課標卷Ⅰ的第14題推理題、全國新課標卷Ⅱ的第12題、山東卷的第15題新概念題、廣東卷的第8題相對來說更加突出。這些都體現(xiàn)了國家對待高考希望“平穩(wěn)、穩(wěn)定”的指導意見，讓考生容易適應(yīng)。具體分布如表1：

一、基礎(chǔ)知識的全面考查

知識是指《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理，以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行運算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能。

對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查，要既全面又突出重點，對于支撐學科知識體系的重點內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學試卷的主體。注重學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，不刻意追求知識的覆蓋面。從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處設(shè)計試題，使對數(shù)學基礎(chǔ)知識的考查達到必要的深度。

2014年高考基本涵蓋了重要知識的80%左右，各種題型也是豐富多樣。但不是說每一道題目只考查單一的知識點，而往往是多知識點的一次次交匯。

1.小題

從統(tǒng)計結(jié)果來看，選擇題和填空題部分喜歡考查的知識點有：集合、復數(shù)、函數(shù)性質(zhì)、導數(shù)、三角函數(shù)、圓錐曲線、線性規(guī)劃、二項式定理、計數(shù)原理和概率、算法框圖、三視圖、向量等。這部分試題主要考查基礎(chǔ)知識和基本技能，但是做這些小題要學會巧做，節(jié)省時間。如何“巧”呢？常見的做法有：特值法、圖象法、驗證法、排除法、利用結(jié)論法等。

例1（2014新課標全國卷Ⅰ）如圖1，圓O的半徑為1，A是圓上的定點，P是圓上的動點，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點P作直線OA的垂線，垂足為M，將點M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大致為（）

【命題分析】本題考查了解三角形的有關(guān)知 識，利用正弦定理和余弦定理進行邊角的互化。 但如果考生知道一個三角形的重要結(jié)論，即射影 定理，則本題可速解。射影定理是：acosB+bcosA= c，bcosC+ccosB=a，ccosA+acosC=b。

例4（2014新課標全國卷Ⅰ）甲、乙、丙三位 同學被問到是否去過A、B、C三個城市時，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；

乙說：我沒去過C城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市。

由此可判斷乙去過的城市為。

【命題分析】本題考查的是合情推理和演繹 推理的知識，這類題目在以往的考試題中比較少 見，沒怎么被開發(fā)過，比較新穎，所以同學們以后 要多多關(guān)注這類推理、證明等邏輯性較強的問 題。就像導數(shù)、三視圖的出現(xiàn)一樣，開始一般比較 簡單，但是出過幾次題之后，難度在悄然升高。

2.大題

解答題部分一般都是三角函數(shù)、數(shù)列、立體 幾何、概率統(tǒng)計、圓錐曲線、導數(shù)、選做題等為主。 其中三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、概率統(tǒng)計相對簡 單，而圓錐曲線、導數(shù)難度相對較大，一般為壓軸 的兩個題。另外前幾年的解答題中，相對簡單的 首個解答題連續(xù)出現(xiàn)三角函數(shù)題，而今年幾個地 區(qū)的高考試卷都不約而同地出現(xiàn)了數(shù)列解答題。 縱觀2014年全國高考數(shù)學18套理科卷，也只有福 建卷和遼寧卷的解答題中沒有涉及數(shù)列，所以在 2015年備考復習時，同學們要同時關(guān)注三角函數(shù) 和數(shù)列這兩部分知識，因為它們都有可能成為 2015年高考數(shù)學試卷解答題的第一題。

【命題分析】本題考查了數(shù)列和等差數(shù)列的知識以及階差法和探索性問題的常用解法。（Ⅰ） 題利用數(shù)列中常用的方法———階差法很容易證 明。（Ⅱ）題，假設(shè){an}為等差數(shù)列，則前三項a1，a2， a3必成等差，從而猜測出常數(shù)λ的值，接下來對n 分奇偶求出數(shù)列{an}的通項公式，經(jīng)驗證，果然 可保證其為等差數(shù)列。多年前的高考曾出現(xiàn)過 探索一個數(shù)列是否是等比數(shù)列的問題，做法類 似，所以做做前幾年的高考題對同學們也是大有 裨益的。

（Ⅰ）求a，b；

（Ⅱ）證明：f（x）>1。

例7（2014新課標全國卷Ⅰ）從某企業(yè)生 產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一 項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得到頻率分布直方 圖（如圖2）：

【命題分析】本題考查了頻率分布直方圖、 樣本平均數(shù)、樣本方差、正態(tài)分布和二項分布等 概率統(tǒng)計知識。只要這部分知識扎實，解題應(yīng)該 沒有什么問題，運算量也不大，但關(guān)鍵還是看概 念和公式是否清楚。應(yīng)用題的命題要求是堅持 “貼近生活，背景公平，控制難度”的十二字原則， 而近幾年高考中的應(yīng)用題，從知識角度看都是概 率統(tǒng)計的內(nèi)容，且一般都是概率、分布列和期望， 涉及正態(tài)分布的較少。所以今后對于正態(tài)分布、 線性回歸等這些課程改革后較少涉及的內(nèi)容要 倍加關(guān)注，未來有升溫的趨勢。

3.備考建議

今年高考的知識面很廣，預計今后也將如 此。這就要求我們對概念、性質(zhì)、定理等基礎(chǔ)知 識的復習不能走過場、趕進度，吃“夾生飯”，而 應(yīng)在“準確、系統(tǒng)”上面下工夫?；A(chǔ)知識是成績 提升的瓶頸，只有對基礎(chǔ)知識有深刻理解和領(lǐng) 會時，才能突破這一瓶頸，逐步形成基本技能， 實現(xiàn)能力的提升。

高三的三輪復習至關(guān)重要，提倡全面回歸課 本，要把基礎(chǔ)知識夯實并落實到位，這樣才能以不 變應(yīng)萬變。因此，同學們在第一輪復習時必須把課 本內(nèi)容、基本解題方法吃透，掌握基本概念的性 質(zhì)，定理及其一般應(yīng)用。第二輪復習時，要結(jié)合教 材和考試大綱，把整個高中數(shù)學知識分成幾大模 塊：集合與簡易邏輯、函數(shù)與導數(shù)、直線與圓錐曲 線、立體幾何、概率與統(tǒng)計、二項式定理、計數(shù)與概 率、三角函數(shù)、向量、數(shù)列、不等式等，對各版塊的 基礎(chǔ)知識進行歸納、梳理、熟練化，還要熟悉各版 塊的聯(lián)系、交匯、網(wǎng)絡(luò)化，把整個高中的基礎(chǔ)知識 有機地結(jié)合在一起；同時對自己的薄弱知識環(huán)節(jié) 進行專題訓練，比如立體幾何，空間想象力差的同學可以多練；要特別關(guān)注函數(shù)與導數(shù)?？荚囍休^ 少出現(xiàn)的內(nèi)容，也不可忽視，比如正態(tài)分布、定積 分等未必會考，但必須會做，以備不時之需，方為 萬全之策。

二、思想方法的靈活考查

對數(shù)學思想和方法的考查是對數(shù)學知識在更 高層次上的抽象和概括的考查，考查時必須與數(shù)學 知識相結(jié)合，通過數(shù)學知識的考查，反映考生對數(shù) 學思想和方法的理解；要從學科整體意義和思想價 值立意，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測 考生對中學數(shù)學知識中所蘊涵的數(shù)學思想和方法 的掌握程度。

七大數(shù)學思想方法，是指函數(shù)與方程的思想、 數(shù)形結(jié)合的思想、分類與整合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化 的思想、特殊與一般的思想、有限與無限的思想、或 然與必然的思想，它們就是我們在做數(shù)學題時大腦 的所思所想，是快速解題的關(guān)鍵。有詩為證：

數(shù)形結(jié)合千般好，分類整合常用到；

函數(shù)方程很重要，化歸轉(zhuǎn)化離不了。

有限常把無限描，或然總被必然表；

特殊一般多辯證，思想交匯步步高。

當然，每道精心設(shè)計的考題未必是單一地考查 某種數(shù)學思想，而是多思想的綜合。

1.老四樣

數(shù)學思想的重點還是四大數(shù)學思想，俗稱“老 四樣”，即數(shù)形結(jié)合、分類整合、函數(shù)方程、化歸轉(zhuǎn) 化。高三復習時，這些技能要真正內(nèi)化到同學們的 骨子里去，變成一種下意識的行為和習慣。

A.（2，+∞）B.（1，+∞）

C.（-∞，-2）D.（-∞，-1）

【命題分析】本題考查了函數(shù)的零點、導數(shù)及 其應(yīng)用等知識，涉及了分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思 想。三次以上的高次函數(shù)必須借助導數(shù)才可研究 其性質(zhì)，求導后再對參數(shù)a分類討論，同時畫出函 數(shù)的簡圖即可作出判斷。

【命題分析】本題考查了橢圓的標準方程，以 及直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及了分類整合思想、 化歸轉(zhuǎn)化思想。（Ⅰ）題簡單，求出a、b即可；求解 （Ⅱ）題的關(guān)鍵是如何處理“點P到橢圓C的兩條切 線相互垂直”這句話。首先設(shè)出切線方程，但需要 注意的是，由于用到了點斜式，所以要分兩種情況 討論斜率是否存在。對于斜率存在的情況，將切線 方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程等一 系列同學們最為熟悉的操作之后，關(guān)鍵點到 了———兩條切線的兩個斜率之積等于-1，而兩個 斜率恰好是方程的兩個根，于是根據(jù)韋達定理立 刻得到點P的軌跡方程。

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）設(shè)過點A的動直線l與E相交于P、Q兩點， 當△OPQ的面積最大時，求l的方程。

【命題分析】本題考查了橢圓的標準方程，以 及直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及了函數(shù)方程思想。 （Ⅱ）題求△OPQ的面積的最大值，其本質(zhì)就是先 建立面積關(guān)于某變量（比如斜率）的函數(shù)，然后求 該函數(shù)的最大值。在圓錐曲線中經(jīng)常遇到求取值 范圍或求最值的問題，它們的本質(zhì)其實都是函數(shù) 問題。

2.備考建議

數(shù)學思想方法年年都會考查，且出題靈活多 變。數(shù)學被稱為思維的體操，這就要求同學們必須 養(yǎng)成使用正確的思維方法去思考問題、解決問題的 習慣，特別是數(shù)形結(jié)合、分類整合、函數(shù)方程、化歸 轉(zhuǎn)化這四大思想，用好了必然事半功倍，而使用的 關(guān)鍵就是養(yǎng)成良好的思維習慣和意識。

三、能力素質(zhì)的重點考查

2014年高考，按照“考查基礎(chǔ)知識的同時，注重 考查能力”的原則，確立“以能力立意”命題的指導 思想，將知識、能力與素質(zhì)很好地融為一體，全面檢 測了考生的數(shù)學素養(yǎng)。

能力是指“五能力”和“二意識”共七種能力 要求?？臻g想象能力是識圖、畫圖和對圖形的想 象能力，三種語言之間的互相翻譯是順利解題的 前提；抽象概括能力是在抽象概括的過程中發(fā)現(xiàn) 研究對象的本質(zhì)；推理論證能力是根據(jù)已知的事 實和已獲得的正確數(shù)學命題，論證某一數(shù)學命題 真實性的初步的推理能力，包括演繹與合情推 理、直接與間接證法；運算求解能力是思維能力 和運算技能的結(jié)合，主要包括對數(shù)的筆算、心算、 估值、簡算和近似計算，對式的組合與分解變形， 對幾何圖形各幾何量的計算求解等；數(shù)據(jù)處理能 力主要依據(jù)統(tǒng)計或統(tǒng)計案例中的方法對數(shù)據(jù)進 行整理、分析，并解決給定的實際問題；應(yīng)用意識 是將客觀事物數(shù)學化的能力，也即“建?！钡哪芰?和解決現(xiàn)實問題的意識；創(chuàng)新意識是理性思維的 高層次表現(xiàn)，對于比較新穎的問題情境，要善于 “觀察、猜測、抽象、概括、遷移、組合、融會、證 明”，會解研究型、探索型、開放型的試題。

當然了，思維是數(shù)學的核心，而邏輯又是思 維的核心，所以各種能力都離不開思維，思維能 力（特別是抽象概括能力、推理論證能力）的考查 必然貫穿了全卷，所以每道題目未必是單一地考 查某種能力，而是多種能力的綜合。