曾春濤

一、高考題引入

例題：（2012年廣東省理科第20題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e= ，且橢圓C1上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3.

（1）求橢圓C1的方程。

（2）在橢圓C1上，是否存在點(diǎn)M（m，n）使得直線l：mx+ny=1與圓O：x2+y2=1相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且△OAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的△OAB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：線性規(guī)劃的應(yīng)用之一是求最值，這里采用線性規(guī)劃的方向去解決。題目中橢圓C1： + =1（a>b>0）及其圍住的區(qū)域?yàn)榭尚杏?，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）到點(diǎn)Q（0，2）的距離為目標(biāo)函數(shù)z= ，即x2+（y-2）2=z2，表示以（0，2）為圓心，z為半徑的圓。要使得目標(biāo)函數(shù)z最大，即使圓的半徑最大。如圖1、圖2所示，必須是圓與橢圓外切（圖2）的時(shí)候，才能滿足題目的要求。

于是有如下解法：

解：由e= 得： = ，又因?yàn)閏2=a2-b2

得a2=3b2，橢圓方程化為x2+3y2=3b2

以（0，2）為圓心，z為半徑的圓方程為：x2+（y-2）2=z2，要使得z最大，必須是圓與橢圓相切的時(shí)候，即Δ=0時(shí)。聯(lián)立橢圓方程和圓方程得：x2+（y-2）2=z2x2+3y2=3b2即為：2y2+4y-3b2-4+z2=0，Δ=24b2-8z2+48

由Δ=0，解得：b2= 。由題可知：z=3，所以b2=1，a2=3，橢圓的方程為： +y2=1

點(diǎn)評(píng)：從線性規(guī)劃出發(fā)，將橢圓上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最大值問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為圓與橢圓相切的問(wèn)題，動(dòng)中求靜，變中求定，距離最大值點(diǎn)即為橢圓與目標(biāo)圓的切點(diǎn)。

二、問(wèn)題的拓展與探究

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，對(duì)公式、定理、法則的學(xué)習(xí)往往都是從特殊開(kāi)始，通過(guò)總結(jié)歸納得出來(lái)的，經(jīng)過(guò)證明后，成為一般性結(jié)論，又使用它們來(lái)解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

上面的例題具有一定的特殊性，目標(biāo)函數(shù)所對(duì)的圓心Q點(diǎn)固定為（0，2），目標(biāo)函數(shù)所對(duì)的最大值固定為3，橢圓的離心率也固定為 。從解得的結(jié)果分析：橢圓與目標(biāo)函數(shù)所對(duì)的圓的交點(diǎn)恰好是橢圓的下頂點(diǎn)。依據(jù)上面的三個(gè)條件，是否能求出交點(diǎn)不是橢圓的下頂點(diǎn)的橢圓方程，即：是否可以推廣到如下更一般的形式呢？

推廣1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e，且橢圓C1上的點(diǎn)到Q（0，m）的距離的最大值為r（r>|m|），求橢圓C1的方程。

命題1：如果有上面推廣的條件，那么c2=e2r2-m2。

推廣2：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e，且橢圓C1上的點(diǎn)到Q（0，m）的距離的最小值為r（0

命題2：如果有上面推廣的條件，那么c2= r2+m2。

命題1的證明如下，命題2的證明從略。

證明：以（0，m）為圓心，r為半徑的圓方程為：x2+（y-m）2=r2，要使得r最大，必須是圓與橢圓相切的時(shí)候，即Δ=0時(shí)。聯(lián)立橢圓方程和圓方程得：

x2+（y-m）2=r2b2x2+a2y2=a2b2

即為：c2y2+2b2my-b2m2-a2b2+b2r2=0，Δ=4b2m2-4c2（-b2m2-a2b2+b2r2）

由Δ=0，解得：c2=e2r2-m2

點(diǎn)評(píng)：得到橢圓的e、c與圓心縱坐標(biāo)m、圓半徑r四者之間的一個(gè)關(guān)系式，可以解決一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與橢圓距離相關(guān)的最值、取值范圍的問(wèn)題。

三、掌握規(guī)律，破解一類題

練習(xí)1：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1： + =1（a>b>0）的離心率e= ，且橢圓C1上的點(diǎn)到Q（0，3）的距離的最大值為5，求橢圓C1的方程。

分析：本題是完全仿照2012年廣東省理科第20題改編的一個(gè)題目，由上面命題的結(jié)論知c2=6，結(jié)合e= ，求得a2=10，b2=4，橢圓方程為 + =1。

橢圓的最值問(wèn)題具有綜合性強(qiáng)、涉及知識(shí)面廣而且常含有變量的一類難題，也是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)。最值問(wèn)題中的點(diǎn)點(diǎn)距離最值時(shí)，除利用通常的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法外，我們不妨從線性規(guī)劃的角度，建立目標(biāo)函數(shù)，化動(dòng)為靜，轉(zhuǎn)換為橢圓與圓相切的問(wèn)題，甚至可以得到通性通法，解決橢圓中點(diǎn)點(diǎn)距離最值問(wèn)題的一類題目。

（作者單位 廣東省東莞市塘廈中學(xué)）

編輯 代敏麗