葛振庭 施偉辰

(上海海事大學(xué) 物流工程學(xué)院，中國(guó) 上海201404)

0 研究背景

材料從使用性能上可以分為結(jié)構(gòu)材料和功能材料兩大類[1]，其中結(jié)構(gòu)材料以其強(qiáng)度、韌性、硬度、彈性等力學(xué)特性為 應(yīng)用依據(jù)，功能材料以其電、磁、光、聲、熱等物理性能為基礎(chǔ)，用以制作有特殊功能的器件。壓電材料是實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能相互轉(zhuǎn)換的功能材料[2]，是一類對(duì)機(jī)、電、聲、光、熱敏感的電子材料，外力和電場(chǎng)之間的耦合為壓電材料提供了一種機(jī)制，用于感測(cè)力學(xué)載荷所誘發(fā)電位變化，并通過(guò)外部電場(chǎng)改變結(jié)構(gòu)應(yīng)。壓電材料的結(jié)構(gòu)可靠性已引起越來(lái)越多的關(guān)注，因?yàn)樗鼈兇蠖嗍潜粦?yīng)用在微機(jī)電系統(tǒng)中,而微機(jī)電系統(tǒng)的大量應(yīng)用也決定了研究壓電材料的重要意義。

1 壓電材料的本構(gòu)方程

在線性壓電材料的情況下,我們可以構(gòu)建橫向的等方性壓電材料的六角形晶體模型,從而得出以下本構(gòu)方程組[3]：

其中σ表示應(yīng)力大小,ε表示應(yīng)變大小,E表示電場(chǎng)強(qiáng)度大小，D表示電位移的大小，c與ζ為此本構(gòu)方程的常系數(shù)，下標(biāo)1，2，3表示空間坐標(biāo)系中的三個(gè)方向，坐標(biāo)系表示分別為x1，x2，x3。以下關(guān)系式（2）說(shuō)明了方程（1）中具體應(yīng)力應(yīng)變的方向及含義：

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(簡(jiǎn)稱神經(jīng)網(wǎng)絡(luò))是由人工神經(jīng)元互連組成 的網(wǎng)絡(luò)，是一種非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，它采用類似于“黑箱”的方法，通過(guò)學(xué)習(xí)和記憶而不是假設(shè)，找出輸入、輸出變量之間的非線性關(guān)系（映射），在執(zhí)行問(wèn)題和求解的時(shí)候，將所獲取的數(shù)據(jù)輸入給訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)，依據(jù)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的知識(shí)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)推理，得出合理的答案與結(jié)果。其中BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是目前發(fā)展比較成熟的一種人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，約有80%的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)采用BP網(wǎng)絡(luò)。它是一種反饋式全連接多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，工作狀態(tài)穩(wěn)定等優(yōu)點(diǎn)，并且具有較強(qiáng)的聯(lián)想、記憶和推廣能力，可以以任意精度逼近任何非線性連接函數(shù)[4]。

3 壓電陶瓷平面方程驗(yàn)證

本文將針對(duì)PZT-4壓電陶瓷的本構(gòu)方程進(jìn)行研究。對(duì)于此種壓電材料，本構(gòu)方程里面的常系數(shù)c與ζ均為已知常數(shù)。此壓電材料屬于線性壓電材料的范疇，為減少數(shù)據(jù)量的運(yùn)算，方便神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)，本文將著重針對(duì)該材料的二維平面方程進(jìn)行驗(yàn)證。對(duì)于平面問(wèn)題，不妨設(shè)坐標(biāo)x2方向上的應(yīng)力大小為0，則根據(jù)彈性力學(xué)中平面應(yīng)力基本模型，此時(shí)可知坐標(biāo)系x2方向上的電位移D2=0，且凡是下標(biāo)帶有x2的應(yīng)力與應(yīng)變大小均為0。故可以得出以下關(guān)系式（3）。

故根據(jù)式（1）（2）（3）可得 x1，x3的平面本構(gòu)方程如下：

其中常系數(shù)的含義及數(shù)值單位如右所示：彈性常數(shù)：c（1010N/m2），壓電常數(shù) e（10C/m2），ζ（10-9C/Vm），具體數(shù)值見(jiàn)式（5）：

根據(jù)式（3）（4）（5）分別給應(yīng)變 ε11ε13ε33以及電場(chǎng)強(qiáng)度 E1E3這五個(gè)量賦值，將輸入值帶入方程（4）從而得到應(yīng)力電位移σ11σ33σ13D1D3這五個(gè)輸出值。從而再將輸入值ε11ε13ε33E1E3作為訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入樣本，由于此方程的準(zhǔn)確系數(shù)已經(jīng)根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)出，故輸出值可以認(rèn)做是準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，將此處的輸出值σ11σ33σ13D1D3作為訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出樣本?？紤]到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入數(shù)據(jù)區(qū)別的要求，此處帶入的輸入樣本值均將小于1，省去了輸入前歸一化的步驟，即此處輸入數(shù)據(jù)可以直接當(dāng)做樣本數(shù)據(jù)來(lái)使用。為了保證網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練精度，在此使用9組樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，見(jiàn)下表1。每列從上到下的數(shù)據(jù)分別為 ε11ε13ε33單位為：10-5，E1E3單位為：10-5N/C，σ11σ33σ13單位為：10-5N/m2,D1D3單位為：10-5C/m2。

表1 訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)樣本輸入輸出數(shù)據(jù)

利用Matlab里內(nèi)置的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具，在了解了BP網(wǎng)絡(luò)的工作原理后，建立具體網(wǎng)絡(luò)模型。此例中輸入層有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，分別是ε11ε13ε33E1E3這五個(gè)輸入值,隱含層設(shè)置了9個(gè)節(jié)點(diǎn),輸出層有5個(gè)節(jié)點(diǎn),即識(shí)別方程的輸出值σ11σ33σ13D1D3。本例中應(yīng)用了logsig訓(xùn)練函數(shù)，且表1中的樣本數(shù)據(jù)差異大，可以直接用Matlab進(jìn)行訓(xùn)練，經(jīng)過(guò)10000次訓(xùn)練后網(wǎng)絡(luò)的目標(biāo)函數(shù)精度為1.337×10-10，迭代過(guò)程見(jiàn)下圖1。

為了驗(yàn)證方程的準(zhǔn)確性，任選一組ε11ε13ε33E1E3作為輸入數(shù)據(jù)，分別為 0.1,0.2,0.4,0.5,0.7;將其帶入到方程（4）中，則可以得到一 σ11σ33σ13D1D3數(shù)據(jù)分別為：9.248，-5.696，-4.425，8.376，14.526 此組數(shù)據(jù)為真實(shí)的輸出數(shù)據(jù)。再將這組輸入數(shù)據(jù)帶入已訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，從而得 出 網(wǎng) 絡(luò) 的 預(yù) 測(cè) 輸 出 值 分 別 為 9.2594，-5.6982，-4.4196，8.3878，14.5338。此處數(shù)據(jù)的單位均如上文所述。比較輸出數(shù)據(jù)的值，將這兩組輸出數(shù)據(jù)分別作在同一坐標(biāo)系內(nèi)，見(jiàn)上右圖2，其中實(shí)際值為紅色六角星標(biāo)注，預(yù)測(cè)值為黑色星號(hào)標(biāo)注，發(fā)現(xiàn)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值誤差很小，可以說(shuō)明該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有較高的預(yù)測(cè)精度，至此，運(yùn)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法可以證明此壓電本構(gòu)方程線性

關(guān)系的準(zhǔn)確性很高，即可驗(yàn)證此壓電平面本構(gòu)方程是正確的。

圖1

圖2

4 結(jié)論

平面壓電本構(gòu)方程中的線性常數(shù)已經(jīng)給出，通過(guò)輸入多組輸入數(shù)據(jù)根據(jù)本構(gòu)方程得到準(zhǔn)確的輸出數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本訓(xùn)練數(shù)據(jù)，借由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極強(qiáng)的模擬映射關(guān)系，訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)可以預(yù)測(cè)出任意數(shù)據(jù)關(guān)系模型，包括此處的線性關(guān)系模型。本文通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)驗(yàn)證壓電方程中數(shù)據(jù)之間的線性關(guān)系，是一種很好的驗(yàn)證方法，具有一定的使用意義。

［1］蓋學(xué)周.壓電材料的研究發(fā)展方向和現(xiàn)狀[J].中國(guó)陶瓷，2008，5（44）：9－13.

［2］裴先茹，高海榮.壓電材料的研究和應(yīng)用現(xiàn)狀[D].鄭州：鄭州師范學(xué)院.

［3］Fuqian Yang.Department of Mechanical Engineering,University of Rochester,233 Hopeman Building,Rochester,NY 14627-0132,USA Received 13 October 1999;in revised form 21 May 2000[Z].

［4］賈艷春.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用于地下洞室圍巖參數(shù)識(shí)別[J].模式識(shí)別與人工智能，1996，9（1）：71-77.