章義來，彭永康

(景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333001)

基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型研究與應(yīng)用

章義來，彭永康

(景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院，江西 景德鎮(zhèn) 333001)

分形具有無窮細(xì)節(jié)的自相似性。研究提出了基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型，并重點研究了迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS、隨機插值分形在圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表達(dá)中的應(yīng)用，提出并深入討論了基于分形迭代、區(qū)域迭代分割的陶瓷圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的初始表達(dá)及結(jié)構(gòu)的迭代模式f，對構(gòu)圖模型及圖案構(gòu)圖算法的實現(xiàn)等進(jìn)行了深入研究，并最終應(yīng)用本文的研究成果于陶瓷圖案的構(gòu)圖過程。

分形；陶瓷圖案；迭代；構(gòu)圖模型

0 引 言

20世紀(jì)70年代，法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot 創(chuàng)立了分形幾何學(xué)[1]。分形(Fractal)一詞用來描述那些不規(guī)則而歐氏幾何又無法描述的幾何現(xiàn)象和物體[2]。分形圖形是在無標(biāo)度意義下具有無窮細(xì)節(jié)的自相似圖形，是無序和變幻無窮的美的體現(xiàn)。利用分形的自相似性，可以構(gòu)造出千變?nèi)f化而又具有任意高分辨率結(jié)構(gòu)的藝術(shù)圖案。

目前，針對分形技術(shù)的研究一方面主要集中于特定領(lǐng)域的分形圖形生成技術(shù)的研究與應(yīng)用，通過分形圖案生成技術(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)在分形迭代過程中引入控制參數(shù)或?qū)⒓y理映射技術(shù)引入分形可獲得高真實自然植物模擬效果[2-5]；通過以3×3、5×5的矩陣為構(gòu)圖模板，基于kroneckor積的分形矩陣構(gòu)圖技術(shù)，實現(xiàn)了一種由模板決定最終圖案構(gòu)成的分形構(gòu)圖技術(shù)[6]。通過對紡織、服飾、平面木雕等行業(yè)的圖案進(jìn)行分析、歸納與研究，提出了基于分形幾何原理且具有行業(yè)應(yīng)用特征的分形圖案生成算法，實現(xiàn)了行業(yè)應(yīng)用圖案的分形生成或分形重構(gòu)[7，9～11]。另一方面則主要研究在分形圖形的基礎(chǔ)上，提出以分形圖元為圖案的構(gòu)圖單元，應(yīng)用對稱、旋轉(zhuǎn)與融合等規(guī)則來進(jìn)行圖案構(gòu)圖的研究[8]。

陶瓷圖案的行業(yè)應(yīng)用特點決定了大量的陶瓷圖案具有相似的結(jié)構(gòu)，通過應(yīng)用不同的圖元來生成不同的陶瓷圖案。分形是一種使圖案的整體與局部具有自相似特征的圖案構(gòu)造方法，它將復(fù)雜的圖案集中表示為一組規(guī)則，分形生成的圖案具有高度抽象、復(fù)雜多變的特點。

本文在上述研究的基礎(chǔ)上，提出用分形規(guī)則來描述圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)歸納表示為一組迭代規(guī)則。由于分形具有的自相似特性，規(guī)則的構(gòu)成決定了圖案的總體結(jié)構(gòu)。在此基礎(chǔ)上提出一種以圖元基礎(chǔ)，分形迭代規(guī)則（IFS變換、L－系統(tǒng)等）為圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的陶瓷圖案構(gòu)圖模型。

應(yīng)用本文提出的模型生成陶瓷圖案時，以初始圖元為初始圖案，對初始圖元應(yīng)用分形規(guī)則迭代得到另一圖元，著色后加入圖案集合，經(jīng)過多次不同的分形迭代和著色過程可得到一個圖元集合，該圖元集合就構(gòu)成了目標(biāo)圖案。

1 基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型

基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型將圖案（記為P）表達(dá)為構(gòu)圖初元集（簡稱為圖元集，記為U）及圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（亦稱構(gòu)圖模式，記為S）構(gòu)成的二元組，記為：

1.1 分形迭代圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S決定了圖元在圖案中的組織與呈現(xiàn)方式。圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S由IFS系統(tǒng)的仿射變換集合W及迭代模式f二者構(gòu)成，記為：

1.1.1 仿射變換集W

仿射變換集W的元素表述了圖案分形迭代構(gòu)圖過程中，圖元的變換處理規(guī)則，記為 。

1.1.2 圖案分形迭代模式f(W，k)

圖案分形迭代模式f是一個仿射變換集W、W的元素數(shù)k為參數(shù)的二元函數(shù)。迭代模式f的迭代過程見式4所示。W(k)的值可用式4所示的迭代過程計算：

1.2 區(qū)域迭代分割圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

在陶瓷圖案區(qū)域迭代分割生成圖案的過程中，圖案構(gòu)圖矩形區(qū)域 是圖案構(gòu)造的起點。圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S由構(gòu)圖區(qū)域集D與區(qū)域分割模式f二者構(gòu)成，如式5所示：

區(qū)域分割模式S=D，k的功能是將區(qū)域D分割為k個不相交的子集的集合，且分割生成的區(qū)域子集滿足條件

1.2.1 構(gòu)圖區(qū)域D

區(qū)域Di的邊界Ri是一個由直線段首尾相接形成的封閉回路。結(jié)構(gòu)R可歸納為式6所述。

其中，區(qū)域的邊的權(quán)值wht取向量的模長表示，則區(qū)域邊界R的每個頂點均有兩條邊相連，頂點的度deg(vi)=2。

如果區(qū)域V中的端點矢量 按回路中引用該矢量的先后次序排列，則式6所示的區(qū)域邊界R可用式7所述的格式來表達(dá)。

1.2.2 區(qū)域的k－SEGMENT迭代模式

區(qū)域分割就是應(yīng)用模式g(D，k)將區(qū)域D劃分成k（k＞1）個不相交的子集Di，i=1，...，k的過程。

式8的遞歸表示如下：

D(i)為區(qū)域第i次分割后的子區(qū)域集，是對區(qū)域第k-1次k分后的區(qū)域集D(k-1)的第1子區(qū)域集。

本文將以k=2為例分析區(qū)域分割的原理與算法。

1.3 圖元構(gòu)成

圖元有陣列圖元A（亦稱像素圖元）、矢量圖元Fu兩類。陣列圖元通常以圖像形式集中存儲，以Am×n表示之。矢量圖元Fu是根據(jù)圖元的幾何特性來繪制圖元，由點、線、區(qū)域等構(gòu)圖要素按一定順序構(gòu)成。矢量圖元的特點是圖元縮放處理后不失真，圖元占用空間較小。

矢量圖元是由構(gòu)圖要素v組成的n元組，用式9所示。

構(gòu)圖要素vi（簡稱圖素）指圖元構(gòu)成的基本元素，通常是一個有窮元素ej的集合。ej可用式7中的四元組(op，d，a，pr)來表示，其中op－矢量類型，可以點、線（直線、曲線等），d－矢量數(shù)據(jù)，a－矢量的附加屬性數(shù)據(jù)，如顏色、區(qū)域處理（透明、不透明等），pr－優(yōu)先級等。

矢量圖元依圖元構(gòu)成情況分為單一函數(shù)圖元、復(fù)合矢量圖元兩類。

單一函數(shù)圖元指用一個函數(shù)即可完整描述的圖元，如直線段、圓和橢圓、各類曲線（二次曲線、正葉線、星茫線、多邊形等）。復(fù)合圖元指由點、線、區(qū)域等圖素的綜合。

2 分形圖案構(gòu)圖模型應(yīng)用

2.1 再論IFS迭代分形構(gòu)圖碼w

在仿射變換應(yīng)用的等概率假設(shè)下，IFS分形構(gòu)圖碼W的元素w=(a，b，c，d，e，f)。

設(shè)圖元中心為（0，0），則w還可用矩陣表示：

式中s1，s2為圖元的縮放因子，角度θ為圖元的旋轉(zhuǎn)角度，角度θ為正，表示逆時針方向旋轉(zhuǎn)，反之順時針旋轉(zhuǎn)。tx，ty為圖元的平移距離。

生成分形圖案時，碼元素的分布規(guī)律，稱為軌道。例如圖1所示的分形圖案，碼元素平均分布在一個圓周上，其軌道為圓周（且圓周半徑r=1）。

碼元數(shù)量Lt(W)=7，亦即將圓周七等分，相鄰碼元的迭代計算中心與圖案中心點（0，0）的圓心角夾角 =360/7=51.42°。分形碼元wi(i=1，…，7)的處理中心為則有

如果碼元wi(i=1，…，7)的局部坐標(biāo)系的x軸通過圖案中心（0，0），則圖元在wi(i=1，…，7)處的旋轉(zhuǎn)角度 。

圖1所示的分形圖案的碼元集W為(見表1)。

圖1 分形圖案Fig.1 Pattren fractal

表1 分形圖案碼元集WTab.1 Pattern fractal element-code set

2.2 圖案區(qū)域2—SEGMENT迭代分割

2.2.1 區(qū)域的2－SEGMENT模式g(D，2)過程

在區(qū)域2分分割法生成圖案過程中，g(D，2)亦可寫成g(R， 2)，g(R， 2)的原理是：

(1）在區(qū)域D的邊界R（如式11）中，任取兩邊，分別為e1＝(vi，vi+1)，e2=(vj，vj+1)；

(2）在邊e1，e2中各取一點，分別記為p1，p2，構(gòu)造邊e=(p1，p2)加入R，可將R分割為兩個區(qū)域R1，R2，且

邊（vi，vj）上的點p可采用來計算，其中k取值須滿足條件0≤k≤1，可采用黃金分割法或隨機法確定它的值。在黃金分割法下，k=0.618。在隨機取值法下，k=rnd(1)為0～1間的隨機數(shù)。

2.2.2 區(qū)域的2－SEGMENT迭代

基于區(qū)域2－SEGMENT模式的區(qū)域迭代分割過程，可將式8簡化為式10。

式10表明，從圖案的初始區(qū)域開始，每次以前一次調(diào)用R(k-1)=g(Rk-2，2)的執(zhí)行結(jié)果為基礎(chǔ)，繼續(xù)調(diào)用R(k)=g(Rk-1，2)來對Rk-1中的子區(qū)域進(jìn)行2－SEGMENT分割，如此不斷重復(fù)迭代，直到達(dá)到規(guī)定的結(jié)果為止，即可完成區(qū)域的2－SEGMENT分割，最后再對分割產(chǎn)生的子區(qū)域進(jìn)行構(gòu)圖的最終處理即可得到分形圖案。

式10的遞歸形式表示如下（見式11）。

3 基于分形規(guī)則的圖案構(gòu)圖算法

應(yīng)用本文提及的構(gòu)圖模型來進(jìn)行圖案構(gòu)圖時，需指定構(gòu)圖的類型ptype（指分形迭代構(gòu)圖or 區(qū)域迭代構(gòu)圖）、圖元U、初始圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)S（值為W或者D）及常數(shù)k四個參數(shù)。應(yīng)用模型構(gòu)圖的算法描述如下：

1)圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)生成模式選擇生成，通過ptype的值來選擇。

如果ptype=分形迭代構(gòu)圖，則圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)C＝f(S， k)；

否則為區(qū)域迭代構(gòu)圖模式，C＝g(S， k)；

2) for each e in C do begin

p← h(U，e)；//h(U，e)應(yīng)用規(guī)則e對圖元U進(jìn)行處理

P←P∪{p}；

end for；

3)調(diào)用ShowPattern(P) 顯示圖案P，結(jié)束。

4 算法生成的圖案

5 分形圖案的連續(xù)性

5.1 分形迭代法生成圖案的連續(xù)性

陶瓷圖案分形迭代構(gòu)圖時，圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是由圖元仿射變換集W和分形迭模式f兩者共同表達(dá)。其中，W側(cè)重表述了一次迭代過程中圖元的變換構(gòu)圖規(guī)則，分形迭代模式f描述表達(dá)了圖案的迭代運算規(guī)則。W的元素具有確定性、多變性的特點。確定性是指W的元素一旦確定，即便選擇不同的圖元進(jìn)行構(gòu)圖，算法生成的圖案仍擁有相同的結(jié)構(gòu)，如圖2中a～b所示的圖案，多變性是指W中的元素個數(shù)、它的每個碼元的值都是可變的，上述可變因素的任何變化，均可生成不同結(jié)構(gòu)的圖案（如h所示的圖案，具有明顯的平面特征，適用于建筑陶瓷行業(yè)產(chǎn)品尤其是瓷磚的裝飾。該方法生成的圖案應(yīng)用于建陶瓷磚生產(chǎn)中，產(chǎn)品的二方、四方連續(xù)要求也是需要考慮的問題。區(qū)域分割采用隨機插值的原理進(jìn)行分割，其生成的圖案具有明顯的隨機性。對圖案的二方、四方連續(xù)的要求，可以通縮小圖案初始區(qū)域，應(yīng)用對稱原理將區(qū)域迭代分割產(chǎn)生的圖案對稱變換分布到整個圖案空間來滿足。

圖2 分形圖案示例Fig.2 Examples of fractal patterns

圖3 構(gòu)圖區(qū)域Fig.3 Pattern composition domain

圖案的二方連續(xù)有水平、垂直兩種連續(xù)方式，以水平二方連續(xù)為例，構(gòu)圖的初始區(qū)域為 ，區(qū)域涵蓋圖3所示區(qū)域劃分中的子區(qū)域①和④。

圖4 具有連續(xù)特征的區(qū)域迭代分割圖案Fig.4 Continuous pattern generated via iterative domain decomposition

對子區(qū)域②和③中的每個點q，可用下式建立其與子區(qū)域①和④中的點p的映射：

同理，對圖案四方連續(xù)可用圖案中心對稱處理生成，可使初始區(qū)域為 ，區(qū)域為圖3所示區(qū)域劃分中的子區(qū)域①。區(qū)域②、③和④的點與區(qū)域①的點的映射關(guān)系如下：

區(qū)域②與區(qū)域1的映射：

區(qū)域③與區(qū)域1的映射：

區(qū)域④與區(qū)域1的映射：

應(yīng)用上述改進(jìn)后的區(qū)域迭代算法，生成的符合連續(xù)要求的圖案如圖4所示。

6 結(jié) 論

本文提出的基于分形規(guī)則的陶瓷圖案構(gòu)圖模型，首次將分形技術(shù)應(yīng)用于圖案拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的描述與表達(dá)。應(yīng)用本模型進(jìn)行陶瓷圖案構(gòu)圖時，模型使用分形模型（或分形規(guī)則）來描述圖案的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，選用不同的圖元可生成結(jié)構(gòu)復(fù)雜多變、具有整體與局部自相似特征的陶瓷圖案。本文的研究成果是對行業(yè)應(yīng)用中的圖案構(gòu)圖方法的拓展?；诒疚姆椒ㄉ傻膱D案可用于日用及建筑陶瓷產(chǎn)品裝飾，研究的理論及算法具有理論及實踐意義。本文的研究成果已成功應(yīng)用于陶瓷圖案生成系統(tǒng)，文中的分形圖案均由本系統(tǒng)生成。

[1] WHITTAKER E T， WATSON G N. A Course of Modern Analysis. Cambridge， UK： Cambridge University Press， 1952.

[2] 羅 燕， 吳中福， 郭選昌. 基于改進(jìn)分形算法和位移紋理映射的仿真“竹”的實現(xiàn)[J]. 計算機科學(xué)， 2009，12(36)：285-289.

LUO Yan， WU Zhongfu， GUO Xuanchuang，Computer Science. 2009，12（36）：285-289.

[3] 孫天凱， 邵曉根， 王興元. 擴(kuò)展的分形L-系統(tǒng)與自然景觀的動態(tài)模擬. 計算機工程與應(yīng)用[J]， 2009，45(2)：182-185.

SUN Tiankai， et al. Computer Engineering and Applications. 2009， 45(2)： 182-185.

[4] 丁 歡， 萬旺根， 余小清， 等. 基于幾何參數(shù)的植物真實感模擬[J]. 計算機應(yīng)用， 2009，1：97-100.

DING Huan， et al. Journal of Computer Applications. 2009， 1： 97-100.

[5] 魏寶剛， 龐向斌， 朱文浩，等.基于紋理渲染的分形圖案設(shè)計[J]. 中國圖象圖形學(xué)報，2006，5：689-694.

WEI Baogang， et al. Journal of Image and Graphics. 2006，5：689-694.

[6] 彭永康， 章義來， 田 原. 基于模板分形的建筑陶瓷圖案設(shè)計[J].計算機應(yīng)用， 2010，6：1565-1567.

PENG Yongkang， ZHANG Yilai， Tianyuan， Journal of Computer Applications. 2010，6：1565-1567.

[7] 王小銘. 分形圖案的構(gòu)圖藝術(shù)及其計算機實現(xiàn)[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報， 2001，1：83-86.

WANG Xiaoming， Journal of Compture-Aide Design &Computer Graphics. 2001，1：83-86.

[8] 李成杰， 劉弘， 李 霞. 基于分形圖元的規(guī)則構(gòu)圖[J]. 計算機工程， 2009，10：213-215.

[9] 李海林， 柳炳祥， 詹棠森. 分形圖案及其在陶瓷中的應(yīng)用[J].中國陶瓷工業(yè)， 2006，10，30-33.

LI Hailin， LIU Bingxiang， et al. China Ceramic Industry， 2006， 10： 30-33.

[10] 丁燦劍. 基于分形的木工平面雕刻圖案生成方法的研究[D]：碩士學(xué)位論文. 中南林業(yè)科技大學(xué)，2007，6.

[11] 徐向紅. 分形理論在服飾圖案設(shè)計中的應(yīng)用基礎(chǔ)研究[D]：碩士學(xué)位論文. 吉林大學(xué)，2009，(10).

[12] 彭永康， 章義來， 等.日用陶瓷設(shè)計構(gòu)圖的計算機算法[J].陶瓷學(xué)報，2004， (4).

PENG Yongkang， et al. Journal of ceramics， 2004， (4).

[13] 羅賢海， 肖絢， 張亞林， 等. 基于分形理論的陶瓷裝飾軟件開發(fā)[J]. 陶瓷學(xué)報，2005(2).

LUO Xianhai， et al. Journal of ceramics， 2005(2).

Research and Application of the Ceramic Pattern Composition Model Based on the Fractal Rule

ZHANG Yilai PENG Yongkang
(Jingdezhen Ceramic Institute, Jingdezhen 333001, Jiangxi, China)

A fractal is a self-similar pattern with infnite detail. This paper proposes a ceramic pattern composition model based on the fractal rule. It mainly discusses the application of iterated function system and randomized interpolation fractal to the representation of a pattern’s topology. An initial visualization of a ceramic pattern topology is realized via fractal iteration and iterative domain decomposition and the iterative mode f is obtained. The construction of the model with its pattern composition algorithms is described in detail, and is fnally applied to the practical generation of ceramic patterns.

fractal; ceramic pattern; iteration; pattern composition model

ZHANG Yilai(1965-),male,Ph.D.,Professor.

TQ174.79

A

1000-2278(2014)01-0071-07

2013-10-20。

2013-10-28。

國家科技支撐計劃資助項目(編號:2012BAH25F02)；國家自然科學(xué)基金資助項目(編號:61262038)；國家科技支撐計劃資助項目(編號:2013BAF02B01)

章義來(1965-),男，博士，教授。

Received date:2013-10-20. Revised date:2013-10-28.

E-mail:jdzzyl@163.com