王金生，桂承飛，王 晨

（金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 金華 321007）

古塔為重要文物，但由于受外力和壞境的影響，古塔可能會(huì)發(fā)生各種變形.為了保護(hù)古塔，便于修繕，文物部門需定期對(duì)古塔進(jìn)行了觀測(cè)，定量分析古塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況.其中古塔各層中心點(diǎn)坐標(biāo)的確定對(duì)進(jìn)一步研究古塔的變形尤為關(guān)鍵.目前，對(duì)古塔各層中心點(diǎn)坐標(biāo)有一些求解方法，如：各點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離的平方和最小的優(yōu)化模型[1]、均勻多邊形的重心坐標(biāo)公式模型[2～3]、形心計(jì)算公式模型等.本文在此背景下，結(jié)合古塔或其他建筑物的測(cè)量方法和測(cè)量的實(shí)際情況[4～6]，用最小二乘法對(duì)每層數(shù)據(jù)點(diǎn)做平面擬合，對(duì)數(shù)據(jù)在平面上的投影點(diǎn)數(shù)據(jù)做橢圓擬合，最后將平面與直線的交點(diǎn)近似看作中心點(diǎn)進(jìn)行求解，并將對(duì)缺失數(shù)據(jù)的情形進(jìn)行討論.

1 各層觀測(cè)點(diǎn)的測(cè)量

1.1 平面監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)的建立

目前，觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的采集可用地面三維激光掃描儀測(cè)量點(diǎn)云數(shù)據(jù)，通過對(duì)古塔進(jìn)行三維建模[5]，用點(diǎn)云數(shù)據(jù)更全面和準(zhǔn)確地定量分析古塔的各種變形.但也可以用傳統(tǒng)的測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量，其測(cè)量方法是在古塔院內(nèi)四周選定幾點(diǎn)穩(wěn)定的位置，構(gòu)成四邊形或三角形，埋設(shè)采用六角釘?shù)葮?biāo)志，并以南北方向的兩個(gè)控制點(diǎn)所在直線向北為X軸正向，與這兩點(diǎn)所在直線垂線往東向?yàn)閅軸正向，以其中一個(gè)控制點(diǎn)作為原點(diǎn)，建立獨(dú)立直角坐標(biāo)系，以該坐標(biāo)系作為平面監(jiān)測(cè)基準(zhǔn)網(wǎng)[4].

1.2 觀測(cè)點(diǎn)的選取及測(cè)量

古塔的橫截面形狀基本都是正多邊形或圓，測(cè)量專業(yè)的文獻(xiàn)和書籍[4，6]中提到觀測(cè)點(diǎn)一般選取在多面體的側(cè)棱與每層地平面的交點(diǎn)上，其選取的觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量與棱數(shù)相同，圓柱形的塔的觀測(cè)點(diǎn)可以有更多.如果要選取觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量超過棱數(shù)，當(dāng)然也可以，但這時(shí)需用形心的做法會(huì)更準(zhǔn)確；如按上面的選取方法，本文的方法更為簡(jiǎn)單和準(zhǔn)確.

由于某些原因，塔建造的位置較特殊，如塔建在懸崖邊、海邊、河邊、湖邊時(shí)，其一側(cè)無法布設(shè)觀測(cè)點(diǎn)，有時(shí)塔本身有殘缺[4]而影響到常規(guī)的布設(shè)觀測(cè)點(diǎn).這些情況觀測(cè)點(diǎn)只有一半或部分，這時(shí)若用形心的方法去做會(huì)有很大的誤差，如用本文的方法可以解決此問題.

2 確定中心點(diǎn)的模型

2.1 模型分析

圖1 附件1觀測(cè)點(diǎn)散點(diǎn)圖

圖2 橢圓柱體中軸線與平面相交

2.2 建立模型

確定中心點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，n，Am+Bn+c）.

2.3 求解模型

案例一：以2013年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題數(shù)據(jù)附件1為例，由于塔頂數(shù)據(jù)不全，現(xiàn)僅對(duì)13層的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算.先將附件1中的表頭和數(shù)據(jù)之間的列都刪去，把表變成104×12的純數(shù)據(jù)工作表，用Matlab軟件運(yùn)行以下代碼即可求得所有中心點(diǎn)坐標(biāo).

案例二：如受一些特殊因素（懸崖、海、河、湖等）影響，無法四周觀測(cè)，在只有部分觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的情況下，還是以附件1為例，將附件1中每層8個(gè)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)去掉后面4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，以上程序代碼作如下修改即可求得所有中心點(diǎn)坐標(biāo).

第5行中104改為52、11和12行中j+7改為j+3、第 17 行中（j+7）/8 改為（j+3）/4.

2.4 模型的結(jié)果與分析

運(yùn)行案例一和案例二的程序，部分結(jié)果見表1，對(duì)附件1中的第一次觀測(cè)數(shù)據(jù)每一層統(tǒng)計(jì)出8個(gè)點(diǎn)各個(gè)坐標(biāo)的最值，發(fā)現(xiàn)表1中每一層中心點(diǎn)坐標(biāo)均沒有超出這個(gè)最值范圍，并與文獻(xiàn)[1～3]、［7～8]的研究結(jié)果進(jìn)行比較，近似度很高.對(duì)比4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)和8個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，兩者之間有一定的誤差，其主要原因是數(shù)據(jù)缺失較多，擬合的橢圓的圓心誤差會(huì)較大，因此，通常情況建議用完整的數(shù)據(jù)點(diǎn)，如案例一中，其誤差會(huì)很小，但對(duì)于特殊情況用案例二的方法解決一些殘缺數(shù)據(jù)的擬合，雖有誤差，但也可以為后續(xù)的進(jìn)一步研究提供參考.

表1 第一次觀測(cè)兩案例每層中心點(diǎn)坐標(biāo)

3 模型評(píng)價(jià)和改進(jìn)

應(yīng)用以上模型求解中心點(diǎn)坐標(biāo)，與其他文獻(xiàn)的求解方法相比有較高的準(zhǔn)確性和簡(jiǎn)便性.用該模型求得的結(jié)果可以給古塔的變形研究提供可靠的數(shù)據(jù)支持，在此基礎(chǔ)上得到的傾斜、彎曲、扭曲等變形的定量分析更為細(xì)致和準(zhǔn)確.該模型對(duì)觀測(cè)點(diǎn)的要求比較高，要選取側(cè)棱上的觀測(cè)點(diǎn)才較為準(zhǔn)確，不像形心的計(jì)算方法，選取觀測(cè)點(diǎn)可以隨意些；而且還能解決在缺失觀測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)情況下的問題，缺失數(shù)據(jù)較多時(shí)擬合出的結(jié)果誤差會(huì)比較大.其實(shí)附件1中有缺失數(shù)據(jù)，若用本文方法，可以不用補(bǔ)全數(shù)據(jù)即可求出中心點(diǎn).平方和最小的優(yōu)化模型[1]認(rèn)為中心點(diǎn)即與四周距離相等的點(diǎn)，根據(jù)各層實(shí)際觀測(cè)點(diǎn)近似對(duì)稱地分布在一個(gè)平面的特征，在所求得的各層擬合平面中尋找一點(diǎn)，使其到該層各觀測(cè)點(diǎn)距離的平方和最小，建立如下優(yōu)化模型：

目標(biāo)函數(shù)：到該層各觀測(cè)點(diǎn)距離的平方和最小，即

表2 案例一第一次測(cè)量中心點(diǎn)坐標(biāo)

約束條件：該中心點(diǎn)在擬合平面上，即

用Matlab程序求得案例一中的結(jié)果見表2

雖然從結(jié)果比較，差別在千分位上，但是兩種模型的計(jì)算方法有本質(zhì)的區(qū)別，不管從難易程度還是精確度比較，本文模型更為簡(jiǎn)潔，計(jì)算更為方便，且結(jié)果更精確.

該模型還可以應(yīng)用于有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的建筑物，通過觀察點(diǎn)的數(shù)據(jù)，利用本文方法可以求得建筑物每層的中心點(diǎn)，給建筑物三維建模提供一些內(nèi)部數(shù)據(jù).

[1]肖渝琳，劉新燕，黃龍.古塔的變形——2013年數(shù)學(xué)建模C優(yōu)秀論文[EB/OL].（2013-12-09）.http：//www.doc88.com/p-9753784873471.html.

[2]賀永會(huì).古塔變形的預(yù)測(cè)模型[J].人工智能及識(shí)別技術(shù)，2013（22）：91-92.

[3]柴守立.基于Matlab的古塔變形分析與預(yù)測(cè) [J].人工智能及識(shí)別技術(shù)，2013（24）：79-80.

[4]黃強(qiáng).古塔變形監(jiān)測(cè)的探討[J].測(cè)繪與空間地理信息，2013，6（6）：217-220.

[5]譚仁春.三維城市模型的研究現(xiàn)狀綜述[J].城市勘測(cè)，2007（3）：24-54.

[6]顧孝烈，鮑峰，程效軍.測(cè)量學(xué) [M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社：3版，2006.

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[8]王錦升，楊偉芳，鄒德玉.利用曲線擬合分析古塔的變形[J].價(jià)值工程，2013：254-256.