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        擬陣交構(gòu)約束的下模函數(shù)最大值問題的近似算法及其分析*

        2014-04-22 09:23:54張立群
        關(guān)鍵詞:定義系統(tǒng)

        張立群

        (蘭州交通大學(xué) 數(shù)理與軟件工程學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

        0 引言

        組合優(yōu)化問題是在給定的有限集所具備的某些條件的子集中,按某種目標(biāo)找出一個(gè)最優(yōu)符合標(biāo)準(zhǔn)的一類數(shù)學(xué)規(guī)劃問題[1].所研究的問題涉及電路設(shè)計(jì)問題、運(yùn)輸線路問題、裝箱問題[2]等很多領(lǐng)域.下模函數(shù)是一類定義在有限的冪集上或格上的相對(duì)比較特殊的實(shí)值函數(shù),下模函數(shù)的最值研究在組合優(yōu)化中起著重要的作用.

        下模函數(shù)定義如下:給定一個(gè)有限集E和定義在E上的冪集合2E上的一個(gè)函數(shù)f:2E→Z,這里2E是由E的所有2|E|個(gè)子集組成的集合,如果對(duì)于E中任意兩個(gè)集合A和B,都滿足不等式

        f(A)+f(B)≥f(A∩B)+f(A∪B),則稱f(·)是一個(gè)下模函數(shù).

        本文考慮求解m個(gè)擬陣交構(gòu)成的獨(dú)立系統(tǒng)約束下的下模函數(shù)的最大值問題,即

        OPT= max{f(S),S∈F},

        其中(E,F(xiàn))是由m個(gè)擬陣的交構(gòu)成的獨(dú)立系統(tǒng).

        1 若干定義、引理及其證明

        定義1 設(shè)E是一個(gè)有限集合,L是E的一個(gè)子集族,若滿足I∈L且I′?I,則I′∈L,稱L中子集為獨(dú)立子集,稱(E,L)是一個(gè)獨(dú)立系統(tǒng).

        定義2 設(shè)E是一個(gè)有限集合,L是一族E的子集合.如果(E,L)滿足兩個(gè)條件:

        (1)若I∈L且I′?I,則I′∈L;

        (2)對(duì)于E中的任意一個(gè)子集F,有u(F)=v(F);

        就稱其是一個(gè)擬陣.

        給定E的一個(gè)子集F,若F的任意一個(gè)獨(dú)立子集都不嚴(yán)格包含子集I?F,則稱I是F的一個(gè)極大獨(dú)立子集.對(duì)任意集合I?E,令|I|表示I中所包含元素的個(gè)數(shù).定義:

        u(F)≡min{|I|,I是F的一個(gè)極大獨(dú)立子集},v(F)≡max{|I|,I是F的一個(gè)獨(dú)立子集}.

        證明 考慮以下給出的線性規(guī)劃:

        容易得到其對(duì)偶規(guī)劃為

        由于ρi≥ρi+1,Zi=ρi-ρi+1,i=1,2,…,k-1,ρk=0是對(duì)偶可行解,其最優(yōu)值為,由線性規(guī)劃的對(duì)偶定理,易說明引理成立.

        2 給出近似算法及其性能保證

        OPT=max{f(S),S∈F},其中(E,F(xiàn))是由m個(gè)擬陣的交構(gòu)成的獨(dú)立系統(tǒng).

        給出近似算法及其近似度分析,求解fS|F的近似算法示意[5]如下:

        第1步 令i=1,S0=?,E0=E;

        第2步 若Ei-1=?,則停止計(jì)算;

        第3步 求ei∈Ei-1,使其滿足α·ρeij(Si-1)≥maxe∈Ei-1ρe(Si-1),α>0;

        第4步 判斷Si-1∪ {ei}是否屬于F;

        第5步 若Si-1∪ {ei}不屬于F,則令Ei-1=Ei-1\{ei},返回第2步;

        若Si-1∪ {ei}∈F,則令Si=Si-1∪ {ei},ρi-1=ρei(Si-1),Ei=Ei-1\{ei};

        第6步 令i=i+1,返回第2步.

        下面繼續(xù)給出用近似算法求出的近似解的近似度分析.

        定理 設(shè)(E,F(xiàn))是一個(gè)由m個(gè)擬陣的交集相對(duì)獨(dú)立地構(gòu)成的系統(tǒng),f是定義在Ω上的非負(fù)非減下模函數(shù)[4].如果將Zg與OPT分別記作是通過以上近似算法得到的目標(biāo)函數(shù)值和目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)解,那么有

        證明 設(shè)S和T分別是問題fS|F近似算法的解和最優(yōu)解,|S|<k,由于(E,F(xiàn))是一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng),并不一定是擬陣,因此|T|不一定是k.

        對(duì)于t=1,2,…,k,令St-1=T∩ (Ut\Ut-1) ,Ut是第t次迭代得到的解集.為不失一般性,設(shè)U0= ?,Uk=E,ρ*(Si)= maxe∈Eiρe(Si),i=1,2,…,k-1.

        由于f是非負(fù)非減的下模函數(shù),由引理2可以得到如下關(guān)系:

        設(shè)t∈ {1,2,3,…,k},ρq(t)=min{ρi|i=1,2,…,t-1}.對(duì)任意e∈T∩ (Ut\Ut-1),由于f具有下模性,所以有

        由ρ*的定義和算法可得:ρe(S)≤ρe(St)≤ρ*(St)≤ρ*(Sq)(t)+1)≤αρq(t).

        令ρ′t-1=αρq(t),則有

        由于q(t)具有非增性,所以ρ′t-1也具有非增性,即ρ′t-1≥ρ′t.另一方面

        由上述不等式(1)和(2)可得

        注意到St-1∈T∩ (Ut\Ut-1) ,則有=T∩Ut.

        由于T是擬陣的獨(dú)立集,rM(SPM(St))=t,,于是有

        因?yàn)閷?duì) ?t,ρ′t,St≥0,ρ′t具有非增性,在引理2中,令,由上述不等式(5)有

        再由不等式(4)得

        [1] 陳寶林.最優(yōu)化理論與算法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.

        [2] 羅亮,賈欣鑫,何尚錄,等.求解組合拍賣問題最大值的貪婪算法[J].黑龍江科技學(xué)院學(xué)報(bào),2008,18(5):382-384.

        [3] FISHER M L,NEMHAUSER G L,WOLSEY L A,et al.An analysis of approximations for maximizing submodular set functions-II[J].Mathematical Programming Study,1978,8:73-87.

        [4] SVIRIDENKO M.A note on maximizing a submodular set function subject to knapsack constraint[J].Operations Research Letters,2004,32:41-43.

        [5] 王武民,張防防,柘曉莉,等.求解下模集函數(shù)最大值問題的局部搜索算法[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2008,29(3):12-17.

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