李新秀

（南京郵電大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210046）

0 引言

近幾十年，分?jǐn)?shù)階微積分已經(jīng)從純數(shù)學(xué)理論研究逐漸轉(zhuǎn)到實(shí)際應(yīng)用的研究。與整數(shù)階導(dǎo)數(shù)相比，分?jǐn)?shù)階微分算子是非局域算子，具有歷史記憶性，更適合描述具有記憶和遺傳效應(yīng)的物理現(xiàn)象，所以近年來分?jǐn)?shù)階微分算子不斷的被應(yīng)用到物理和工程中來。關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的詳細(xì)描述參考[1]。本文中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)都是指Caputo意義下的導(dǎo)數(shù)：

其中 m≤α＜m+1.

分?jǐn)?shù)階微分方程要方便應(yīng)用于實(shí)踐，關(guān)鍵在于分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計算。 然而，分?jǐn)?shù)階微積分方程的數(shù)值方法及其理論分析是十分困難的課題。分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)值計算中涉及的主要問題：其一是需存儲整個歷史數(shù)據(jù)，隨著時間的增加，信息量不斷增加，計算工作量急劇增加；其二是當(dāng)時間不斷增加時，離散誤差很難進(jìn)行控制，從而可能導(dǎo)致計算數(shù)據(jù)的失真。鑒于此，研究可行有效的分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值計算方法是十分有意義的。

文獻(xiàn)[3]把三次樣條小波配置方法成功推廣到一元分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解中。本文的目的是利用完成小波配置方法求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解。

1 分?jǐn)?shù)階偏微分方程的三次B-樣條小波配置方法

本節(jié)我們考慮用完全小波配置方法求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的初邊值問題。蔡和王在文獻(xiàn)[4]中給出一種自適應(yīng)的小波配置方法去求解整數(shù)階偏微分方程的初邊值問題。他們僅在空間方向即x方向?qū)ξ粗瘮?shù)進(jìn)行小波基函數(shù)展開，然后在時間方向即t方向利用求解微分方程的時間步進(jìn)法去求解。由于時間步進(jìn)法的誤差是非均勻分布，誤差會隨著時間的增加而累積，會產(chǎn)生計算結(jié)果的相漂移現(xiàn)象。如果直接用自適應(yīng)小波配置方法求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程，由于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的記憶效應(yīng)，會導(dǎo)致計算復(fù)雜度和計算誤差的劇烈增加。

本文中所用的三次樣條小波基函數(shù)和基函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式，配置點(diǎn)等，見文獻(xiàn)[3].NJ=2JL+3,小波基函數(shù)構(gòu)成的列向量為 ?J（x）= [ω1（x），…，ωNJ（x ）]T.不失一般性，我們考慮帶有非齊次源的一維分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程：

來近似方程(1)的精確解 u（x，t），其中小波系數(shù) U=（uij）Nt×Nx未知.根據(jù)近似公式（2）,可得：

展開系數(shù)U可以通過求解廣義Sylvester方程(5)-(6)得到，從而方程(1)的近似解可以通過（2）有效的重建。

2 數(shù)值例子

本節(jié)我們通過兩個簡單的例子驗(yàn)證這種方法的可行性和有效性。

例1 考慮分?jǐn)?shù)階偏微分方程

圖1分別表示當(dāng)α=0.1時利用三次樣條小波方法求解得到的計算解的絕對誤差，這里參數(shù)Jx=Jt=3.

圖1 例1中解的絕對誤差

例2 考慮初邊值條件的分?jǐn)?shù)階偏微分方程

圖2表示當(dāng)α=0.5時利用三次樣條小波方法求解得到的計算解的絕對誤差，這里參數(shù)Jx=Jt=3，圖3表示利用文獻(xiàn)[2]中的方法得到的計算解的絕對誤差。從這些圖中我們可以看用小波配置方法得到的計算解的誤差要比用有限差分方法得到的結(jié)果要小，所以小波配置方法得到的精度高一些。

圖2 例2中解的絕對誤差

3 結(jié)束語

本文我們提出求解分?jǐn)?shù)階偏微分方程的完全小波配置方法.該方法的主要特點(diǎn)是把分?jǐn)?shù)階微分方程轉(zhuǎn)化成了一個代數(shù)方程。這不僅簡化了問題，而且加快了計算速度。數(shù)值結(jié)果表明該方法是求解分?jǐn)?shù)階微分方程的一種可行有效的方法。從計算精度上看，如果方程的精確解足夠光滑，該方法的結(jié)果要比其他方法的好。

圖3 文獻(xiàn)[2]得到的解的絕對誤差

［1］Podlubny I.Fractional differential equations[M].Academic Press，1999.

［2］Gao G，Sun Z，A compact finite difference scheme for the fractional sundiffusion equations[J].Comput.Phys，2011，230：586-95.

［3］Li X，Numerical solution of fractional differential equations using cubic B-spline wavelet collocation method [J].Commun Nonlinear Sci.Numer Simulat,2012,17：3934-3946.

［4］Cai W，Wang JZ，Adaptive multi-resolution collocation methods for initial boundary value problems of nonlinear PDEs[J].SIAM J.Numer.Anal.,1996，33：937-970.