王 成,楊 賓

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院,河南鄭州 450002)

多模盲均衡算法剩余碼間干擾的近似表達(dá)式

王 成,楊 賓

(解放軍信息工程大學(xué)信息系統(tǒng)工程學(xué)院,河南鄭州 450002)

給出了多模自適應(yīng)盲均衡算法所能達(dá)到剩余碼間干擾的近似表達(dá)式,該表達(dá)式是關(guān)于迭代步長、均衡器階數(shù)、輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)量、信噪比和信道能量的函數(shù).經(jīng)仿真驗(yàn)證,該近似表達(dá)式較準(zhǔn)確地反映了剩余碼間干擾與均衡時(shí)各參數(shù)的數(shù)值關(guān)系.式中的信道能量和信噪比可以通過算法估計(jì)或?qū)嶋H測量獲得,因此,新表達(dá)式在一定程度上可以代替仿真的方法,用來設(shè)計(jì)均衡器所需的自適應(yīng)步長和階數(shù)以及比較不同盲均衡算法的性能.

自適應(yīng)盲均衡;多模算法;碼間干擾表達(dá)式

在實(shí)際通信中,通信帶寬受限和多徑效應(yīng)會(huì)導(dǎo)致接收端的不同碼元在當(dāng)前時(shí)刻出現(xiàn)重疊,即通常所說的碼間干擾(Inter Symbol Interference,ISI)現(xiàn)象.碼間干擾嚴(yán)重地影響了通信質(zhì)量,限制了通信的最大傳輸速率.通常的解決方法是在接收端采用均衡技術(shù).盲均衡技術(shù)能夠在不降低通信有效帶寬的同時(shí)完成信道均衡,是近年來數(shù)字通信領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一.

在當(dāng)前主流的盲均衡算法中,Bussgang類算法由于計(jì)算量小、實(shí)現(xiàn)簡單而得到了廣泛應(yīng)用.它依據(jù)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特征構(gòu)建代價(jià)函數(shù)[1],一般配合最小均方誤差(Least Mean Square,LMS)自適應(yīng)算法最小化代價(jià)函數(shù),調(diào)節(jié)均衡器權(quán)值.其代表有恒模算法(Constant Modulus Algorithm,CMA)和適用于高階QAM信號(hào)的多模算法(MultiModulus Algorithm,MMA).

一段時(shí)間以來,有關(guān)盲均衡器收斂性能的研究主要集中在各算法的全局收斂性上[2-4],對收斂后的穩(wěn)態(tài)性能討論較少.均衡器的迭代步長、均衡器階數(shù)等參數(shù)的選擇往往需要大量仿真.近期,Pinchas等[5-7]提出了Bussgang類盲均衡算法收斂后所能達(dá)到剩余碼間干擾的近似表達(dá)式.該理論從最小均方誤差算法迭代方程出發(fā),通過對代價(jià)函數(shù)的多項(xiàng)式展開,得到了剩余碼間干擾與迭代步長、均衡器階數(shù)、輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)量和信噪比的關(guān)系.然而該理論僅限于使用某單一代價(jià)函數(shù)的算法,對于多模算法這類需依據(jù)輸入數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)選擇代價(jià)函數(shù)的情況無法適用,這限制了該理論的實(shí)際應(yīng)用.

在Pinchas等人理論的基礎(chǔ)上,筆者通過對不同代價(jià)函數(shù)參與最小均方誤差算法迭代所產(chǎn)生影響的分析,修正了剩余碼間干擾計(jì)算公式.改進(jìn)公式不僅能夠準(zhǔn)確計(jì)算多模算法的剩余碼間干擾,也同樣適用于各種常見的Bussgang算法.

1 系統(tǒng)模型

數(shù)字通信系統(tǒng)的基帶模型如圖1所示,其中s(n)為零均值的獨(dú)立同分布信源符號(hào);h(n)表示傳輸信道的沖激響應(yīng),這里假設(shè)h(n)沒有在單位圓附近的零點(diǎn),即非深衰落信道;w(n)是加性高斯白噪聲;x(n)表示可觀測的接收信號(hào);c(n)表示均衡器系數(shù);y(n)表示均衡器輸出信號(hào).

圖1 通信系統(tǒng)基帶模型示意圖

均衡的目的是消除信道的影響.用符號(hào)“*”表示卷積操作,信道與均衡器聯(lián)合響應(yīng)用β(n)表示,則理想均衡時(shí),有[1]

其中,D表示固有延時(shí);θ表示相偏.理想均衡一般難以實(shí)現(xiàn).設(shè)均衡器系數(shù)與理想均衡器系數(shù)的誤差用ξ(n)表示,則有如下關(guān)系:

為方便討論,在不影響分析的前提下,設(shè)D=0,θ=0.定義卷積噪聲p(n)=s(n)*ξ(n),則均衡器輸出可表示為

其中,?w(n)為加性高斯白噪聲對應(yīng)的均衡器輸出,?w(n)=w(n)*c(n).均衡算法的性能一般由剩余碼間干擾來衡量,它由聯(lián)合沖擊響應(yīng)定義:

由式(5)可知,碼間干擾是卷積噪聲的二階矩E[p2(n)]與信號(hào)方差之比.已知發(fā)送信號(hào)的調(diào)制類型即可確定所以如果能定量表示卷積噪聲的二階矩,則可得到相應(yīng)剩余碼間干擾的表達(dá)式.

圖2 32QAM信號(hào)多模算法模值選取示意圖

2 多模盲均衡算法

為充分利用QAM信號(hào)星座的符號(hào)統(tǒng)計(jì)信息,完成均衡,Yang等[8]提出了對分屬不同區(qū)域的信號(hào)樣點(diǎn),采用不同模值的多模算法.以32QAM信號(hào)為例,假設(shè)其實(shí)部、虛部電平值由{±1,±3,±5}組成.從圖2(a)中可以看出,符號(hào)實(shí)部與虛部不同電平值出現(xiàn)概率不同.基于上述特性,多模算法將32QAM信號(hào)實(shí)部和虛部的取值依門限λ劃分為兩個(gè)區(qū)域,分別取模值R1與R2,如圖2(b)所示.由此得到代價(jià)函數(shù)

其中,λ為與信號(hào)星座有關(guān)的常數(shù),不同區(qū)域模值由該區(qū)域內(nèi)星座點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)平均得到.對于信號(hào)星座點(diǎn)數(shù)更高的情況,多模算法需要?jiǎng)澐指嘧訁^(qū)域.

用“()*”表示取共軛,“()T”表示轉(zhuǎn)置運(yùn)算.設(shè)n時(shí)刻對應(yīng)于實(shí)部和虛部的均衡器系數(shù)向量分別為和i(n).L表示均衡器階數(shù);輸入向量和xi(n)分別為的實(shí)部和虛部;μ表示最小均方誤差算法迭代的步長.多模算法迭代公式如下[8]:

多模算法能糾正相位偏轉(zhuǎn),尤其適用于處理高階QAM信號(hào)[9],再加上算法本身計(jì)算量小,能處理非最小相位系統(tǒng),所以受到了研究者的廣泛關(guān)注.

3 多模算法剩余碼間干擾表達(dá)式

文獻(xiàn)[7]從最小均方誤差算法迭代方程出發(fā),利用代價(jià)函數(shù)的多項(xiàng)式展開,得到了卷積噪聲方差與均衡器各參數(shù)間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系,進(jìn)而得到了均衡后碼間干擾的表達(dá)式.然而,由于僅考慮了單一代價(jià)函數(shù)的情況,其結(jié)論對于如多模算法這類需依據(jù)輸入數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)選擇代價(jià)函數(shù)的情況無法適用.文獻(xiàn)[7]已證明對于單一代價(jià)函數(shù)的盲均衡算法,卷積噪聲實(shí)部pr有如下關(guān)系成立:

在此基礎(chǔ)上討論多代價(jià)函數(shù)的情形.考慮多代價(jià)函數(shù)時(shí),算法依據(jù)均衡輸出的范圍不同,采用不同代價(jià)函數(shù).因此,各代價(jià)函數(shù)Jk對卷積噪聲的影響應(yīng)服從信號(hào)樣點(diǎn)的概率分布.用φ代表概率,信源符號(hào)中子集sr,k出現(xiàn)的概率為φ(sr,k),則有

假設(shè)有K組代價(jià)函數(shù),將式(8)修正為如下形式:

值得注意的是,雖然不同時(shí)刻輸入向量xr對應(yīng)恢復(fù)出的符號(hào)sr,k不同,但xr本身是由信源符號(hào)序列卷積信道所得的.所以,即使對應(yīng)不同的代價(jià)函數(shù)Jk,各時(shí)刻均衡器輸入向量的統(tǒng)計(jì)特性仍完全一致,都滿足

其中,ai為代價(jià)函數(shù)各展開項(xiàng)系數(shù).特別地,對多模算法,a1=-Rk,a12=0,a3=1.多模算法區(qū)域劃分確定后,各區(qū)域的模值Rk即可由該區(qū)域內(nèi)星座點(diǎn)模值統(tǒng)計(jì)平均得到.式(11)中信道能量和信噪比可以通過算法估計(jì)或?qū)嶋H測量獲得.均衡器收斂后,有因此給定步長μ和均衡器階數(shù)L,就可以通過解式(10)的方程計(jì)算

用mp代指由于收斂后mp數(shù)值較小,可以忽略其三次及三次以上的項(xiàng).將式(11)和式(12)代入式(10),經(jīng)化簡,最終mp是如下二次方程較小的正解:

筆者給出的剩余碼間干擾的改進(jìn)計(jì)算公式并不局限于多模算法這類實(shí)時(shí)選擇代價(jià)的情況,其思路也適用于其他聯(lián)合采用多代價(jià)函數(shù)的盲均衡算法.處理其他算法時(shí),仍按上述思路,首先計(jì)算各代價(jià)函數(shù)的使用概率或?qū)矸e噪聲的影響比例,然后將其多項(xiàng)式展開代入式(10),即可獲得相應(yīng)算法的剩余碼間干擾表達(dá)式.另外,當(dāng)算法僅有單一代價(jià)函數(shù)時(shí),φ(J=Jk)=1.筆者推導(dǎo)的公式與文獻(xiàn)[7]中的基本一致,所以后者可以看做是筆者給出算法的特例.

4 仿 真

下面用仿真驗(yàn)證多模算法剩余碼間干擾表達(dá)式的準(zhǔn)確性.計(jì)算機(jī)仿真選用文獻(xiàn)[10]中以下兩種信道:

首先選用32QAM信號(hào)進(jìn)行仿真驗(yàn)證.式(6)中判決門限λ=4,代價(jià)R1使用的概率為2/3,sr,1∈(±1,±3,±5);代價(jià)R2使用的概率為1/3,sr,2∈(±1,±3).圖3比較了不同步長和均衡器階數(shù)下,多模算法均衡32QAM信號(hào)所得到的實(shí)際碼間干擾收斂曲線與理論碼間干擾值,信噪比為20 dB.

圖3 32QAM信號(hào)收斂曲線示意圖

如圖3所示,實(shí)際碼間干擾隨步長和均衡器階數(shù)L增大而增大,隨其減小而減小,理論值也隨之變化,兩者數(shù)值大小基本一致.對式(14)定性分析也不難發(fā)現(xiàn)理論值變化的規(guī)律,步長μ或階數(shù)L的改變,導(dǎo)致項(xiàng)隨之變化,對應(yīng)于二次方程常數(shù)項(xiàng)的變化.二次方程一般有兩根,但這里卷積噪聲對應(yīng)于絕對值很小的根,會(huì)決定常數(shù)項(xiàng)大小,所以由近似表達(dá)式計(jì)算出的碼間干擾值會(huì)隨步長和均衡器階數(shù)的增大而增大,并隨其減小而減小.

下面選用256QAM信號(hào).多模算法將星座劃分為3個(gè)區(qū)域:當(dāng)yi＞12時(shí),使用代價(jià)R1=14.18,使用概率為1/4,sr,1∈(±13,±15);當(dāng)8＜yi＜12時(shí),使用代價(jià)R2=10.25,使用概率為1/4,sr,2∈(±9,±11);當(dāng)yi＜8時(shí),使用代價(jià)R3=6.07,使用概率為1/2,sr,3∈(±1,±3,±5,±7).圖4比較了不同步長和均衡器階數(shù)下,多模算法均衡256QAM信號(hào)所得到的實(shí)際碼間干擾收斂曲線與理論碼間干擾值,信噪比為20 dB.可以看出,預(yù)測值與理論值基本一致.

5 結(jié)束語

針對多模算法類的算法,筆者給出了采用多代價(jià)函數(shù)的自適應(yīng)盲均衡算法所能達(dá)到剩余碼間干擾的近似表達(dá)式.在原有理論的基礎(chǔ)上,通過分析多代價(jià)函數(shù)參與最小均方誤差算法迭代的影響,得到了碼間干擾關(guān)于迭代步長、均衡器階數(shù)、輸入信號(hào)統(tǒng)計(jì)量、信道能量以及信噪比的函數(shù).經(jīng)仿真,新表達(dá)式較準(zhǔn)確地反映了碼間干擾與均衡時(shí)各參數(shù)的數(shù)值關(guān)系.在實(shí)際均衡處理時(shí),迭代步長、信源統(tǒng)計(jì)量和均衡器階數(shù)都是已知的,信道能量和信噪比可以通過算法估計(jì)或?qū)嶋H測量獲得,所以該表達(dá)式可以用來直接估計(jì)均衡所需的最佳參數(shù),比較不同盲均衡算法的性能,避免了傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)仿真環(huán)節(jié)所需的大量計(jì)算.筆者提出的改進(jìn)公式適用于各種Bussgang類盲均衡算法,具有廣泛的應(yīng)用前景.

圖4 256QAM信號(hào)收斂曲線示意圖

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(編輯:郭 華)

Approximated expression for the achievable residual intersymbol interference obtained by multimodulus blind equalizers

WANG Cheng,YANG Bin
(Institute of Information System Engineering,PLA Information Engineering Univ.,Zhengzhou 450002,China)

A closed approximated formed expression for the achievable residual inter-symbol interference(ISI)is proposed for the adaptive equalizers that adopt the multimodulus algorithm.The expression depends on the step-size parameter,equalizer’s tap length,input signal statistics,signal noise ratio and channel power.Simulation proves that the expression shows the exact relationship between residual intersymbol interference and involved parameters.Since the channel power and signal noise ratio of the expression are measurable or can be calculated,this new approximated expression can be a useful tool for choosing the step-size and tap length for designing an equalizer,and for making direct performance comparison between blind equalizers based on distinct algorithms.

adaptive blind equalization;multimodulus algorithm;expression of inter symbol interference

TN929.5

A

1001-2400(2014)01-0176-06

10.3969/j.issn.1001-2400.2014.01.031

2012-11-01 < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:

時(shí)間:2013-09-16

國家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃資助項(xiàng)目(2009AA011504)

王 成(1988-),男,解放軍信息工程大學(xué)碩士研究生,E-mail:melody198819@163.com.

http://www.cnki.net/kcms/detail/61.1076.TN.20130916.0926.201401.218_027.html