方劍光，高云凱，徐成民，張玉婷

(1．同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院，上海 201804;2．悉尼大學(xué)航空、機(jī)械和機(jī)電一體化工程學(xué)院，悉尼，NSW 2006)

前言

在汽車耐久性虛擬開發(fā)流程中，獲得車身或其他部件正確的邊界載荷，是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)其疲勞壽命的先決條件。通常，這些邊界載荷從多體動(dòng)力學(xué)仿真中提?。?－4］，因此建立高精度能反映實(shí)際動(dòng)力學(xué)特性的模型對(duì)于后續(xù)的疲勞壽命預(yù)測(cè)尤為重要。

然而，建立多體模型過程中經(jīng)常遇到的困難是模型中各個(gè)部件動(dòng)力學(xué)特性表征參數(shù)的模擬，例如懸架系統(tǒng)阻尼參數(shù)等。為了獲取這些參數(shù)，就要求進(jìn)行室內(nèi)臺(tái)架或室外道路試驗(yàn)。而實(shí)際開發(fā)過程中很有可能會(huì)受到實(shí)驗(yàn)成本和開發(fā)周期等限制，這些參數(shù)無法獲取，只能粗略估計(jì)，這就將造成模型的動(dòng)力學(xué)性能較差。在這種情況下，對(duì)這些估計(jì)的參數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)單的人工調(diào)整，往往很難達(dá)到理想的效果:首先，對(duì)每個(gè)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整無疑會(huì)降低效率;而且，由于非線性因素的存在，盲目地調(diào)整并不能得到正確的結(jié)果;此外，隨著參數(shù)數(shù)量的增加，參數(shù)之間的交互作用也將增加人工調(diào)整的難度。

因此，本文中引入?yún)?shù)識(shí)別方法以實(shí)現(xiàn)多體模型的修正。文獻(xiàn)［5］中將響應(yīng)面模型用于5自由度動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別，對(duì)于線性系統(tǒng)取得了成功，而對(duì)于非線性系統(tǒng)還有待深入。文獻(xiàn)［6］中將參數(shù)識(shí)別定義為逆問題，在時(shí)域內(nèi)通過全局和子結(jié)構(gòu)法識(shí)別了彈簧和阻尼器的非線性參數(shù)。文獻(xiàn)［7］中將正交分解與混合適應(yīng)性群體智能算法相結(jié)合，根據(jù)測(cè)量的加速度信號(hào)在時(shí)域內(nèi)識(shí)別結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼參數(shù)。

本文中將代理模型技術(shù)、優(yōu)化技術(shù)與參數(shù)識(shí)別技術(shù)有機(jī)結(jié)合，以某試車場(chǎng)路面為例，高效地反算汽車多體動(dòng)力學(xué)表征參數(shù)，實(shí)現(xiàn)多體模型的修正，旨在最大限度地降低汽車的開發(fā)成本和縮短開發(fā)周期。

1 模型修正方法

模型修正過程首先要求建立一個(gè)目標(biāo)函數(shù)，即模型誤差評(píng)價(jià)函數(shù)，它反映了一個(gè)物理系統(tǒng)的數(shù)值模型和試驗(yàn)?zāi)Ｐ椭g在輸出響應(yīng)上的差異。一個(gè)最小二乘問題的目標(biāo)函數(shù)可以定義為

式中:N代表實(shí)驗(yàn)曲線上取樣點(diǎn)的個(gè)數(shù)，見圖1;x為多體模型中待修正參數(shù)向量;Wi為第i個(gè)取樣點(diǎn)的權(quán)系數(shù);Ti為第i個(gè)取樣點(diǎn)處的實(shí)驗(yàn)測(cè)量值;fi(x)為第i個(gè)取樣點(diǎn)處近似模型的響應(yīng)值;si為第i個(gè)取樣點(diǎn)的殘差比例系數(shù);ei(x)為第i個(gè)取樣點(diǎn)的殘差值。本文中通過仿真和實(shí)驗(yàn)的時(shí)域曲線之間的差異來評(píng)價(jià)模型誤差，N=512，Wi和si等于1。定義模型誤差函數(shù)之后，模型修正問題就轉(zhuǎn)化為通過調(diào)整模型參數(shù)使誤差最小化的優(yōu)化問題。

本文中將結(jié)合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、代理模型技術(shù)和二次規(guī)劃算法，實(shí)現(xiàn)用于耐久性分析的動(dòng)力學(xué)模型的修正，流程如圖2所示。

2 多體動(dòng)力學(xué)建模及參數(shù)化

用MSC．ADAMS軟件建立車輛的多體動(dòng)力學(xué)模型，如圖3所示。其中，前懸架為麥弗遜懸架，由減振器總成、擺臂、橫向穩(wěn)定桿和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)組成，后懸架為非獨(dú)立懸架，由鋼板彈簧、減振器、限位塊和車橋組成。車身采用質(zhì)量點(diǎn)建模，與懸架通過襯套連接。

在多體動(dòng)力學(xué)模型中，非線性因素的存在無疑大大提高了模型的復(fù)雜程度，使模型修正更為棘手?？紤]到減振器總成參數(shù)對(duì)整車動(dòng)力學(xué)性能的重要性，本文中將懸架系統(tǒng)前減振器的阻尼特性和緩沖塊剛度特性作為調(diào)整參數(shù)，考慮到左右對(duì)稱性，以底盤左前懸架處與車身之間的相對(duì)位移信號(hào)來衡量多體模型的精確性，圖4給出了已有同類車型減振器的相應(yīng)特性。

由阻尼特性曲線可以看出，載荷與速度是多段線性關(guān)系:緩沖塊剛度曲線可分為3段，當(dāng)位移較小(即緩沖塊起作用)時(shí)載荷為0，之后載荷線性增加，當(dāng)緩沖塊受擠壓到一定程度時(shí)載荷成指數(shù)增加。因此，阻尼和剛度特性曲線可表述為

3 篩選參數(shù)

從眾多影響模型精度的因素中篩選出最主要的幾個(gè)因素，它們對(duì)參數(shù)識(shí)別的效率非常重要。在工業(yè)界，正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法［8］已被廣泛用作從眾多影響因素中快速篩選出幾個(gè)重要因素的一種快速有效的方法。采用三水平的L27正交表分析了表1中11個(gè)因素中對(duì)位移響應(yīng)的影響。圖5為各因素不同水平下誤差評(píng)價(jià)函數(shù)的平均值。挑出影響最顯著的5個(gè)變量 (v3、k1、k2、k3和 k5)作為模型修正參數(shù)，優(yōu)化問題的變量為x=［v3k1k2k3k5］T。

表1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)參數(shù)信息

4 代理模型

在工程優(yōu)化中，直接將仿真模型與優(yōu)化算法耦合會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化過程的低效，因?yàn)閮?yōu)化迭代中仿真分析需要消耗大量的計(jì)算成本。此外，優(yōu)化過程中多體動(dòng)力學(xué)仿真中存在積分誤差等帶來的模型不穩(wěn)定性，使得單次仿真失效而導(dǎo)致整個(gè)優(yōu)化過程的終止。根據(jù)以上原因，采用基于代理模型的優(yōu)化策略。代理模型可視為代替仿真模型，近似表達(dá)設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)關(guān)系的傳遞函數(shù)。將其代替仿真模型進(jìn)行優(yōu)化，可有效提高優(yōu)化效率。

(1)響應(yīng)面模型 響應(yīng)面模型是最典型的代理模型，最早在1951年提出［9］。在工程上廣泛應(yīng)用的二階響應(yīng)面模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中:y^為響應(yīng)的估計(jì)值;xi為第i個(gè)輸入變量;a0、ai、aii和aij為待定系數(shù)，由最小二乘法求得。

(2)徑向基模型 徑向基函數(shù)(radial basis function，RBF)是在1971年首次提出的一種用于離散多元數(shù)據(jù)的擬合方法［10］，其表達(dá)式為

式中:μ為多項(xiàng)式模型;‖x－xi‖是點(diǎn)x與xi的歐氏距離;φ是基函數(shù);λi是基函數(shù)在取樣點(diǎn)xi處的未知加權(quán)系數(shù)。因此，徑向基函數(shù)模型實(shí)際上是由基于歐氏距離的徑向?qū)ΨQ基函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的線性組合。

關(guān)于基函數(shù)φ的形式，高斯函數(shù)和多重二次函數(shù)具有較好的整體特性［11］，其基函數(shù)形式如表2所示。c為自由形狀參數(shù)。

表2 基函數(shù)

(3)Kriging模型 Kriging模型由全局近似模型與局部偏差結(jié)合而成［12］:式中:y(x)為待擬合的響應(yīng)函數(shù);f(x)通常是多項(xiàng)式響應(yīng)面近似模型，一般被看作常數(shù)，提供設(shè)計(jì)空間的全局近似模型;Z(x)是期望為零，方差為σ2和協(xié)方差為非零的隨機(jī)偏差，提供局部偏差，使得Kriging模型可在ns個(gè)樣本點(diǎn)做插值。Z(x)的協(xié)方差矩陣為

Cov［Z(xi)，Z(xj)］ = σ2R［R(xi，xj)］ (5)式中:R為相關(guān)矩陣，是對(duì)角線上全為1的(ns×ns)對(duì)稱矩陣;R(xi，xj)為ns中任意兩個(gè)樣本點(diǎn)xi和xj的相關(guān)函數(shù)，一般采用高斯相關(guān)函數(shù):

式中:θk為用于擬合近似模型的未知相關(guān)系數(shù);xi

k和xj

k分別為樣本點(diǎn)xi，xj第k個(gè)元素。

響應(yīng)y在未知位置x點(diǎn)的估計(jì)值y^為

其中:

式中:y為ns個(gè)樣本點(diǎn)的響應(yīng)列向量;f為長度為ns的單位列向量;rT(x)為ns個(gè)樣本點(diǎn) x1，…，xn{

}

s與未知位置x所組成的相關(guān)向量:

其中:

詳細(xì)過程參考文獻(xiàn)［13］。

代理模型僅僅是對(duì)復(fù)雜仿真分析模型的簡(jiǎn)化和近似，因此，在求出代理模型的待估參數(shù)后，須對(duì)代理模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，評(píng)估代理模型對(duì)真實(shí)響應(yīng)的逼近程度。在精度不高的代理模型基礎(chǔ)上獲得的最優(yōu)結(jié)果不但不能指導(dǎo)設(shè)計(jì)，反而會(huì)誤導(dǎo)設(shè)計(jì)，因此，對(duì)代理模型的誤差進(jìn)行評(píng)估至關(guān)重要。常用的誤差估計(jì)準(zhǔn)則有:決定系數(shù) R2、相對(duì)平均絕對(duì)誤差(RAAE)和相對(duì)最大絕對(duì)誤差(RMAE)。

式中:yi、y^和y－分別為第i個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)響應(yīng)量的實(shí)測(cè)值、響應(yīng)量的預(yù)測(cè)值和響應(yīng)量實(shí)測(cè)值的平均值;q為檢驗(yàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

從上述的定義式可以看出，R2的取值在［0，1］區(qū)間內(nèi)，R2越接近于1，表明回歸擬合的效果越好。此外，R2和RAAE為全局指標(biāo)，而RMAE是一個(gè)局部指標(biāo)，其重要性不如R2和RAAE。但是，即使R2較大，RAAE較小，大的RMAE也能表明在設(shè)計(jì)空間的某個(gè)區(qū)域的精度較差。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常根據(jù)R2的值來判斷代理模型的擬合精度。

建立高精度的近似模型，很大程度上取決于對(duì)設(shè)計(jì)空間的采樣技術(shù)。用合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法均勻分布樣本點(diǎn)，可以有效地體現(xiàn)設(shè)計(jì)空間的特征，保證近似模型的精度。文中采用文獻(xiàn)［14］中提出的優(yōu)化拉丁方(optimal latin hypercube，OLH)對(duì)空間采樣，生成隨機(jī)均勻分布的50個(gè)樣本點(diǎn)。

采用上述的3種代理模型，對(duì)樣本點(diǎn)進(jìn)行擬合，評(píng)價(jià)各種模型的精度，如表3所示。由表可見，徑向基模型在整體和局部的精度都很差;而響應(yīng)面和Kriging模型表現(xiàn)出更好的性能，最終選取Kriging模型用于后期的參數(shù)修正。

表3 代理模型的精度評(píng)價(jià)

5 模型修正結(jié)果

基于建立的車身與底盤間相對(duì)位移的Kriging模型，本文中采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法使模型誤差E(x)最小化。E(x)的優(yōu)化歷程如圖6所示，可見經(jīng)過103步迭代，E(x)由122收斂于25.67。將優(yōu)化得到的參數(shù)代入式(2)和式(3)，得到減振器阻尼和緩沖塊剛度特性。圖7給出了修正前后阻尼和剛度特性。根據(jù)修正結(jié)果，更新多體動(dòng)力學(xué)模型。圖8為車身與底盤左前懸架處相對(duì)位移修正仿真值和實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比。可以看出，經(jīng)參數(shù)識(shí)別后的修正模型仿真結(jié)果與試驗(yàn)非常接近。

6 結(jié)論

(1)使用正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)，從眾多參數(shù)中篩選出對(duì)模型準(zhǔn)確性影響顯著的參數(shù)，可以提高模型修正的效率。

(2)采用優(yōu)化拉丁方實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)對(duì)設(shè)計(jì)空間均勻采樣，并通過3種類型代理模型的對(duì)比研究發(fā)現(xiàn)，Kriging模型具有較高的精度。

(3)模型修正后的仿真結(jié)果逼近實(shí)驗(yàn)值，可為后期耐久性的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)奠定基礎(chǔ)。

(4)利用模型修正技術(shù)獲得汽車懸架非線性動(dòng)力學(xué)特性，可大大降低開發(fā)成本，縮短開發(fā)周期。該技術(shù)可以推廣至其他相關(guān)領(lǐng)域。

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