李繁榮 LI Fan-rong；崔艷英 CUI Yan-ying

（北京工業(yè)大學(xué)耿丹學(xué)院，北京 101301）

（Gengdan Institute of Beijing University of Technology，Beijing 101301，China）

1 獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)教改的思路

獨(dú)立學(xué)院作為“未來(lái)我國(guó)高等教育發(fā)展的有力補(bǔ)充”，增加了民眾接受高等教育的機(jī)會(huì)（大批精英教育時(shí)期上不了大學(xué)的學(xué)生也可以接受高等教育），其確立了應(yīng)用型而非學(xué)術(shù)型人才的培養(yǎng)目標(biāo)。目前，獨(dú)立學(xué)院高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)大多借鑒甚至照搬一本或二本院校的模式。但針對(duì)發(fā)生了根本改變的學(xué)生現(xiàn)狀，教育內(nèi)容和教育方法迫切需要改變。

高等數(shù)學(xué)是一門(mén)抽象的學(xué)科，依靠邏輯而不是觀測(cè)結(jié)果作為其真理的標(biāo)準(zhǔn)，但同時(shí)也使用觀測(cè)、模擬的手段作為發(fā)現(xiàn)真理的手段[1]?！皩W(xué)習(xí)任何東西，最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”（G·波利亞）。在“大眾本科教育”的理念下，基于獨(dú)立學(xué)院的人才培養(yǎng)目標(biāo)，本院采取了應(yīng)用Matlab，在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)改革。在重點(diǎn)介紹基本概念、基本思想、基本方法的前提下，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)軟件Matlab與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的整合，利用Matlab強(qiáng)大的圖形繪制功能，將難以講解說(shuō)明的數(shù)學(xué)規(guī)律顯現(xiàn)出來(lái)，舍去一些繁瑣、冗長(zhǎng)的數(shù)學(xué)結(jié)論、定理的理論證明，代之以實(shí)驗(yàn)的方法去驗(yàn)證，并利用數(shù)學(xué)軟件Matlab的計(jì)算功能弱化運(yùn)算的技能技巧。

2 應(yīng)用Matlab，在高等數(shù)學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的意義

應(yīng)用Matlab的圖形繪制功能，可以使得高等數(shù)學(xué)教學(xué)中過(guò)去用很長(zhǎng)時(shí)間很難理解的問(wèn)題變得直觀、容易，而且親身經(jīng)歷式的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)使得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不再那么枯燥乏味，不再是被動(dòng)的吸收而是主動(dòng)的獲取[2]，更好地發(fā)揮了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的優(yōu)勢(shì)，重塑了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；利用數(shù)學(xué)軟件matlab在實(shí)驗(yàn)室進(jìn)行高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，讓學(xué)生借助計(jì)算機(jī)去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而在實(shí)踐、實(shí)習(xí)、畢業(yè)設(shè)計(jì)等實(shí)踐環(huán)節(jié)中自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)，提高了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，有助于完成應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，提高應(yīng)用型人才的綜合素質(zhì)。同時(shí)也將全面提高教師的教學(xué)水平和綜合能力。

3 教學(xué)實(shí)例

多元函數(shù)微積分學(xué)一直是高等數(shù)學(xué)課程中重要而又非常難以掌握的部分，學(xué)生理解起來(lái)總存在很大的閑難，究其原因，主要是空間想象能力有限，在教學(xué)時(shí)為了加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深刻認(rèn)識(shí)，可以利用Matlab強(qiáng)大的圖形繪制功能，繪制出三維曲面圖形，從而能夠讓同學(xué)們直觀的認(rèn)識(shí)多元函數(shù)，克服心理和知識(shí)上的困難。下面以多元函數(shù)極值內(nèi)容為例，簡(jiǎn)述怎樣應(yīng)用Matlab將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)。

實(shí)驗(yàn)1：例1、運(yùn)用Matlab繪制三個(gè)二次曲面圖形。

①z=x2+y2②z=- x2+y2

得到如圖1所示。

圖1

讓學(xué)生分析三個(gè)函數(shù)在點(diǎn)P（0，0）的函數(shù)值與點(diǎn)P領(lǐng)域內(nèi)其他點(diǎn)函數(shù)值的大小關(guān)系，再結(jié)合一元函數(shù)極值的概念，推廣出二元函數(shù)極值的概念，老師再給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x。

思考題：怎么找出所有的極值點(diǎn)？

一元函數(shù)極值點(diǎn)的特征：極值點(diǎn) 駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。

實(shí)驗(yàn)2：分析二元函數(shù)在極值點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)

在Matlab命令窗口運(yùn)行

圖2

從圖2可以看到當(dāng)y固定在y=0時(shí)，函數(shù)①z=x2+0=x2和都是以x為自變量，z為應(yīng)變量的一元函數(shù)，圖形為兩條曲線，二元函數(shù)的極值點(diǎn)分別是這兩個(gè)一元函數(shù)的極值點(diǎn)，得到：函數(shù)①z=x2+y2在極值點(diǎn)P（0，0）有（0，0）=0，函數(shù)在極值點(diǎn) P（0，0）對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)不存在，再讓學(xué)生自己動(dòng)手分析出：函數(shù)①z=x2+y2在極值點(diǎn) P（0，0）有（0，0）=0，函數(shù)在極值點(diǎn)P（0，0）對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)不存在。再讓學(xué)生分析函數(shù)③z=xy 在點(diǎn) P（0，0）的偏導(dǎo)數(shù)，得到=0。最后歸納總結(jié)出類(lèi)似于一元函數(shù)極值的結(jié)論：極值點(diǎn) 駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并得到求二元函數(shù)極值的步驟如下：

第二步判別所有可疑的極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。

思考題：對(duì)于駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)怎么判別其是否為極值點(diǎn)？有同學(xué)回答可以從圖形上直接觀察判斷。

例2、設(shè)z=x4-8xy+2y2-3，求f（x，y）的極值點(diǎn)和極值。

求得三個(gè)駐點(diǎn)，分別是 P（-2，-4），Q（0，0），R（2，4）。

在Matlab命令窗口運(yùn)行

可見(jiàn)在圖3中不容易觀測(cè)極值點(diǎn)，這是因?yàn)閦的取值范圍為[-200，1000]，是一幅遠(yuǎn)景圖，局部信息丟失較多，觀測(cè)不到圖像細(xì)節(jié)。

實(shí)驗(yàn)3、分析例1中三個(gè)函數(shù)在點(diǎn)（0，0）附近的等高線：①z=x2+y2（圖4）

圖3

contour(x,y,z,20)%參數(shù)20是等高線的數(shù)量

③z=xy（圖 6）

圖4

圖5

圖6

圖7

引導(dǎo)學(xué)生分析總結(jié)出：在兩個(gè)極值點(diǎn)附近，等高線是封閉的；非極值點(diǎn)附近，等高線不封閉。由此得到從圖形上判斷可疑的極值點(diǎn)是否為極值點(diǎn)的方法。

讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)出例2中函數(shù)的等高線（圖7）。

由圖 7 可見(jiàn)，點(diǎn) P（-2，-4）和 R（2，4）有等高線環(huán)繞，隨著圖形灰度的逐漸變淺，函數(shù)值逐漸減小，點(diǎn)P（-2，-4）和 R（2，4）均為極小值點(diǎn)，而點(diǎn) Q（0，0）周?chē)鷽](méi)有等高線環(huán)繞，不是極值點(diǎn)。最后再介紹一下極值點(diǎn)的充分條件定理，感興趣的同學(xué)可以課后自學(xué)。

通過(guò)對(duì)以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)，學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中直觀、深入地了解了二元函數(shù)極值的概念和求二元函數(shù)極值的方法，同時(shí)提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力。在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件matlab深入淺出地將數(shù)學(xué)中的概念、定理介紹給學(xué)生，讓學(xué)生真正理解并熟練運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題，是一種有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)手能力，反過(guò)來(lái)促進(jìn)他們理解數(shù)學(xué)概念、定理的教學(xué)方法。

[1]美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì).人人關(guān)心數(shù)學(xué)教育的未來(lái)[M].世界圖書(shū)發(fā)行公司,1993.

[2]畢義明,郝琳.論大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容與實(shí)現(xiàn)方法[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2005,24（7）∶62-64.

[3]姜啟源等編著,蕭樹(shù)鐵主編.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].高等教育出版社,1999.