羅遠峰 LUO Yuan-feng；王凈 WANG Jing

（①遵義師范學院數(shù)學與計算科學學院，遵義 563002；②貴州省習水縣樹人中學，習水 564600）

（①School of Mathematics and Computer Science，Zunyi Normal College，Zunyi 563002，China；②Guizhou Xishui County Shuren Middle School，Xishui 564600，China）

0 引言

眾所周知，用近似值的方法描繪出函數(shù)圖像，若取值越精確、描點越稠密，所得圖象就越準確。近似求解的方法發(fā)展到今天，已經(jīng)成為數(shù)學領域一個獨立的分支?！爸鸩剿阉鞣?、二分法、牛頓法、迭代法、玄截法、拋物線法等”[1]，都是計算數(shù)學中用于計算近似值的基本方法。二分法已經(jīng)用于求方程近似的解、求函數(shù)零點及極值點的近似值、廣義多項式求值、證明實數(shù)連續(xù)性中的部分定理、證明不等式等。但卻還未涉足用以描繪函數(shù)的圖像。因此，本文闡述了如何用二分法描繪函數(shù)圖像及其優(yōu)越性。

表1 函數(shù)零點近似值表

1 二分法求函數(shù)零點近似值的步驟

“若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且有f（a）f（b）＜0，則f（x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點。通過不間斷地把函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法”[2]。求函數(shù)零點近似值的步驟：①確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）f（b）＜0，給定精確度 ε；②求中點；③計算 （fc）；若 （fc）=0，則c就是函數(shù)的零點；若f（a）f（c）＜0，則令a（此時零點x0∈（a，c））；若f（b）f（c）＜0，則令a=c（此時零點x0∈（c，b））；④判斷是否達到精確度ε；即若|a-b|＜ε，則得到零點近似值a（或b），否則重復②～④。

2 用二分法求函數(shù)的零點和極值

用二分法求函數(shù)極值的近似值，主要是利用函數(shù)的駐點來對函數(shù)的極值求近似值，這類問題要求函數(shù)本身在給定的區(qū)間上具有一階導數(shù)，如果所求函數(shù)的導函數(shù)不是基本初等函數(shù)，那么選擇用二分法去求它的近似值完全適用。

例1：求函數(shù)y=x4-4x3-x的零點與極值的近似值（精確到 0.01）。

解：因為函數(shù)y=x4-4x3-x可看成 x4、4x3和 x三個子函數(shù)的代數(shù)和，而x4是較 x3、x更高階的無窮小，當 x＜0 時，y＜0，當 x=0時 y=0，當 x＞5 時，y＞0。因此，此函數(shù)零點所在區(qū)間為[0，5)。現(xiàn)利用逐步搜索法尋找函數(shù)零點所在區(qū)間，取區(qū)間長度為0.05求得函數(shù)零點所在區(qū)間為[4,4.5]（表1）。

由于|4.0625-4.054875|＜0.01，已達到精確度，所以，可取4.0625作為函數(shù)零點的近似值，此時，函數(shù)y=x4-4x3-x相應的近似值為y4.0625≈0.1279。因此，函數(shù)的一個零點為0，另一個零點的近似值為4.0625。

由于函數(shù)在實數(shù)集上可導，有y′=4x3-12x2-1，令 y′=0可將上式變?yōu)?x2（x-3）-1=0，顯然，當 x=0時，y′＜0，當 x=4 時，y′＞0。當 x＜0 時，y′＜0，當 x＞4 時，y′＞0。因此導函數(shù) y′=4x3-12x2-1的極值點的近似值所在區(qū)間為（0，4）（表2）。

由于|3.0234375-3.03125|=0.0078125＜0.01，因此，導函數(shù)方程的零點近似解可取為x=3.02734375。又因為x=3.02734375 時 y′＞0，x=3.0234375 時 y′＜0，所以函數(shù) y=x4-4x3-x的極值點的近似值為y≈-31。

表2 函數(shù)極值近似值

3 用二分法求函數(shù)的拐點

函數(shù)拐點是函數(shù)圖象上凸和下凸的分界點，而函數(shù)的凸性在具體描述函數(shù)的性態(tài)和證明不等式方面有廣泛的運用。因此，利用二分法求函數(shù)拐點的近似值能夠更準確地描繪函數(shù)的圖像，拓展二分法的應用。在求函數(shù)拐點的近似值時，仍需要從函數(shù)拐點的定義入手，利用函數(shù)二階導數(shù)的性質(zhì)來為二分法的應用提供條件。所以，要求函數(shù)具備二階導數(shù)。

例2：求函數(shù)y=x4-4x3-ln|x|（x∈R，x≠0）的零點、極值點、拐點的近似值（精確到0.01），并描繪函數(shù)的圖像。

解：由于此函數(shù)在（x∈R，x≠0）上存在二階導數(shù)，其二階導函數(shù)為，令 y″＜0，利用逐步搜索法取區(qū)間長度為0.5，得出二階導函數(shù)的零點所在區(qū)間為（1.5，2）和（0，1），區(qū)間端點導函數(shù)值然后求二階導函數(shù)零點的近似值。

由于|1.976525-1.98437125|＜0.01，|0.375-0.3828125|＜0.01，因此可取二階導函數(shù)的零點分別為x1=0.375，x2=0.976525。此時，y1≈0.97，y2≈-16.41。由函數(shù)拐點的定義可知，（x1，y1）是函數(shù)的拐點，又因為（x2，y2）左側(cè)下凸，右側(cè)下凸。所以（x2，y2）不是函數(shù)的拐點。參照例1的方法，求得函數(shù)y=x4-4x3-ln|x|的零點近似值分別為x3=0.5495，x4=4.015；導函數(shù)的零點近似值分別為x5=-0.4175，x6=3.0215,此時,函數(shù)極值的近似值分別為 y5≈1.2,y6≈-29.37。

4 用二分法描繪函數(shù)圖像的認識

4.1 用二分法描繪函數(shù)圖像的優(yōu)越性 利用二分法描繪函數(shù)圖像主要是利用函數(shù)的零點、極值點、拐點的近似值，以整體把握函數(shù)的基本性質(zhì)，進而描繪出函數(shù)的圖像，而且在求某些函數(shù)的漸近線上仍然可以運用二分法。另外，“基于區(qū)間套定理的理論基礎結合‘代整為零，積零為整’的數(shù)學思想，二分法可以有效證明不等式?！盵3]“二分法簡單直觀，特別適合用來求迭代法的初值?！盵4]總之，用二分法求近似值的思想易于理解，便于掌握。

4.2 用二分法描繪函數(shù)圖像的弱點及改進設想 從以上幾個例子容易看出，“用二分法求函數(shù)零點近似值收斂速度太慢”，如果不借助計算機，很難操作，且用二分法求函數(shù)的零點、極值點、拐點方面常常很難找全零點所在的區(qū)間。另外“用二分法求函數(shù)零點時，如果在區(qū)間[a，b]內(nèi)有多個實根，則單獨利用二分法只能得到其中一個實根”[5]。因此在找函數(shù)的零點問題上，可考慮用函數(shù)的極值、單調(diào)性、拐點等來探求函數(shù)零點的近似值，可以綜合運用其它來描繪函數(shù)圖像，這樣便解決了收斂速度過慢的問題，但在這方面需要進一步探索。

5 結束語

本文僅僅研究了二分法描繪函數(shù)圖像的一些步驟，結合自身實踐對該方法的優(yōu)劣與發(fā)展提出了看法和設想，認識難免膚淺，還需今后進一步探究。另外，也期待對該方法有研究者的交流指導。

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[2]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學必修1（A版）[M].北京：人民教育出版，2007，1（第 2版）：89-91.

[3]劉小明.二分法思想的應用[J].高中生之友,2011，12(9)：27-28.

[4]鄭成德,李志斌,王國燦,孫日明,李炎淼.數(shù)值計算方法[M].北京：清華大學出版社,2010，9（第1版）:142-158.

[5]徐士良.數(shù)值分析與計算法[M].北京：機械工業(yè)出版社，2007，1（第1版）：154-156.