梁敏中，洪友堂，鐘永松

(1．陜西省地質礦產勘查開發(fā)局 第二綜合物探大隊，陜西 西安 710016； 2．中國地質大學(北京) 土地科學技術學院，北京 100083)

0 引言

空間數據質量的不確定性研究伴隨著GIS 的問世而開始，不確定性是指客觀世界或現象本身的不精確性、隨機性和模糊性，主要包括位置不確定性、屬性不確定性、時域不確定性等［1，9］。

近年來，空間數據的位置不確定性成為研究熱點，位置不確定性指表示空間實體的真實位置與實際位置之間的差別。位置不確定性研究主要集中在數據源不確定性的研究、不確定性模型的研究、不確定性可視化和不確定性傳播模型的研究。隨著計算機可視化技術的發(fā)展，不確定性的可視化研究成為專家學者們的研究熱點，因為不確定性的可視化表達能夠輔助GIS 用戶根據應用需要簡單明確的掌握空間信息的確定程度，也有助于缺乏不確定性知識的GIS 用戶了解和解決不確定性有關的問題［2，6］。

在矢量GIS 空間數據中，點、線、面是其基本要素，空間數據位置不確定性研究也主要是針對點元、線元和面元定位的不確定性研究。因此，本文研究的主要內容為:一方面是用誤差橢圓、矢量箭頭和等高線3 種方法對點元誤差不確定性進行可視化表達，分析其優(yōu)缺點;另一方面是用G-帶模型展示任意兩點連線的誤差。

1 點元位置不確定性的可視化表達

1．1 誤差橢圓表示法

點元位置不確定性的可視化表達相對簡單，點的置信域就是一種簡潔的表示方法，常用的置信域有圓形置信域、矩形置信域和橢圓置信域，其中以橢圓置信域應用更為廣泛，它是建立在點元周圍用于顯示不同概率所對應的精度區(qū)域［3］。

圖1 表示一個長半軸為2，短半軸為1 的誤差橢圓。

圖1 誤差橢圓Fig．1 Error ellipse

設點元P = (x，y)的協(xié)方差矩陣為:

誤差橢圓的長半軸和短半軸分別等于如下方程兩個解的平方根:

同時，誤差橢圓的方向可以通過計算x 軸與誤差橢圓長半軸之間的角度決定:

如果落入橢圓內的概率值為0．393 5，則該誤差橢圓也被稱作標準誤差橢圓。通過乘以某一尺度系數，可以擴大標準誤差橢圓以獲得不同的概率值。點元對應的誤差橢圓數學表達式如下:

式中:(μx，μy)為點元P 的坐標期望值;χ2p(α)是自由度為p、置信度為1 -α 的卡方分布值。

誤差橢圓方法是用于描述矢量圖中空間特征位置不確定性的一種可視化方法。不確定性的大小由誤差描述符的大小決定。誤差描述符的范圍越大，位置不確定性越大［4］。誤差橢圓方法是基于位置不確定性服從正態(tài)分布的假設條件下推導出來的，對應GIS 中的空間數據，基于中心極限定理，該假設可以通常認為是成立的。GIS 中空間特征的某一個觀測值可能是通過多次現場觀測獲得，且每一次觀測值都含有量值相約的隨機誤差。因此，該觀測量的位置不確定性趨于正態(tài)分布的假設有其合理性的一面。

本實例選取北京地區(qū)Aster 遙感數據，如圖2 所示。圖2中，星形標記為在實地用大地測量型GPS 觀測得到的高精度控制點，對于Aster 15 m的分辨率來說，這些厘米級精度的觀測值可視為零誤差值，也即是準確值。首先用專業(yè)遙感軟件ENVI4．3 對Aster 遙感數據進行正射校正。校正完畢后，利用誤差傳播定律即可得到圖像中任意點的協(xié)方差陣，知道該協(xié)方差陣后也就不難得到這些點的誤差橢圓。為了便于觀察和減少數據的計算量，試驗中選取了X ∈［1 000，20 000］，Y ∈［-18 000，-1 000］的區(qū)域來研究點位誤差的可視化，其中X 與Y 方向均以1 000作為間隔。這樣就得到了20 ×18 個實驗點。最后利用Matlab 的矩陣計算功能和繪圖功能來實現這20 ×18 個點的誤差分布圖，如圖3 所示。

圖2 北京Aster 遙感數據Fig．2 Aster remote sensing data of Beijing

圖3 誤差分布圖Fig．3 Error distribution map

圖3 中，橢圓代表誤差橢圓，橢圓的大小就表示了誤差的大小。星形標記為控制點的位置。從誤差橢圓圖中可以清晰看出:該幅遙感圖像校正后點位誤差的分布以及誤差的大小。這對遙感的后續(xù)工作如礦山邊界量算工作等也有較好的指導作用。

誤差橢圓方法不僅具有單獨顯示某一空間特征位置不確定性的能力，而且具有同時顯示同一幅地圖上所有空間目標位置不確定性的能力。后一特性可以提供地圖上所有空間特征的總體精度描述，使用戶對空間特征的不確定性空間分布有初步的比較。其缺點是:當空間特征及其相應的誤差橢圓描述符同時顯示在一張地圖上時，地圖可能會變得令人眼花繚亂，某些空間特征可能與其他的空間特征誤差描述符相互重疊。這一弱點可以通過每次只顯示1 個或幾個空間特征的誤差描述符的方法加以克服。

1．2 矢量箭頭表示法

矢量箭頭描述方法是將每個點的誤差標繪出來，即用二維空間矢量來可視化表達點位的不確定性。每一箭頭受兩個制圖變量——箭頭方向和長度的制約。方向用以表達與模型或假設的方向值的差異，而長度則表示誤差值的大小。矢量箭頭法表示點位誤差，如圖4 所示。圖4 中星形標記代表控制點，箭頭代表插值點的誤差矢量。

圖4 矢量箭頭法表示點位誤差Fig．4 The point position errors indicated by vector arrow method

1．3 等高線表示法

等高線表示法是以等高線和空間彩色格網法(DEM)展示點位不確定性的方法。要用等高線法表示誤差的大小，需得到插值點的點位中誤差。將每一插值點的點位中誤差作為高程數據，加上插值點的坐標就可以得到一幅DEM 影像。根據該DEM 在XOY 平面繪制等高線。與誤差橢圓法和矢量箭頭法不同的是，等高線法得到的是圖像上的點位誤差的分布趨勢，這一點是其他方法無法比擬的。配合矢量箭頭不僅可以看出誤差的分布還可以得到任意點的誤差分布方向和大小。等高線法表示點位誤差，見圖5。

圖5 等高線法表示點位誤差Fig．5 The point position errors indicated by contour line method

圖5 中，星號表示控制點，彩色格網高度代表點位誤差的大小，同時用顏色來表示。位于XOY 平面上的彩色線條代表不同的誤差大小。隨著顏色由藍色向紅色變化，點位誤差越來越大，這一點也可以從網格的高度上看出來。

2 線元位置不確定性的可視化表達

雖然點元是空間數據的基本要素，由點構成線，再由線構成面，但現實世界中點元是很少存在的，因此線元位置不確定性的可視化研究是至關重要的［5-8］。

目前，國內外對線元的誤差模型已有很多研究，主要是從誤差帶的概念來描述，從最初的ε 帶模型(Chrisman，1982)到后來的E-帶模型(Honeycutt，1986)、置信域誤差模型、S -帶模型(Shi，1994)、G-帶模型(Shi ＆ Liu，2000)、誤差熵不確定帶模型等［6，7］，本文主要以G-帶模型對線元位置不確定進行可視化表達。

根據糾正方程列出誤差方程組:

進行間接平差后即可得到圖像任意點轉換到地面坐標后點的坐標，同時得到轉換參數［TxTya b］的協(xié)方差陣Q。式(5)中［xiyi］為地面控制點坐標，［x～i y～i］為對應的圖面點坐標。

任意選取圖面上兩點A =［x1y1］，B =［x2y2］，即可得到方程:

運用誤差傳播定律很容易就得到A、B 兩點的互協(xié)方差陣QAB，繪出A、B 兩點連線形成的誤差帶，如圖6 所示。

圖6 任意兩點連線的誤差帶Fig．6 The error band of the line between any two points

圖6 中，星號為控制點。選定了［6 000，-4 000］，［18 000，-12 000］兩點。將直線長度作為1 時，按照0．015 的比例間隔畫誤差橢圓。由于誤差橢圓相比于圖面坐標顯得太小，本實例中將誤差橢圓放大500 倍顯示，這樣便于讀者觀察。從該誤差帶中可以看出:該直線的誤差呈兩端大中間小的趨勢。

G-帶模型的理論基礎是隨機過程理論，它提供了在給定線元端點誤差及相關性情形下誤差帶形狀與大小的解析關系。G-帶模型考慮了線元是由線元上無數待定點集合而成的事實。當隨機過程各向獨立時，G -帶模型退化為以往的誤差帶模型;當線元目標各向同性且各向獨立時，G-帶模型退化為沿線元方向的平行帶即帶模型。因此，G -帶模型提供了線元誤差帶建模的更一般性的方法。

G-帶模型是針對幾何實體基本單元——線元提出的。其他幾何實體的位置不確定性都可以基于該基本單元(線元)的誤差模型來描述。利用G -帶模型的可視化操作，可以清楚地看到線元上單個點和幾何實體的不確定性。

3 結論

通過本文研究，筆者得出如下結論:

1)分別采用誤差橢圓法、矢量箭頭法和等高線法對點元位置不確定性進行可視化表達，通過對比3 種方法后發(fā)現:誤差橢圓法適用于用誤差橢圓法描述每個點的誤差大小;而矢量箭頭法則是根據控制點的誤差分量用插值法得到點元的誤差分量，該方法適用于對誤差方向和大小有需求的用戶;等高線法得到的是圖像上的點位誤差，是從整體上描述誤差的分布。

2)采用G -帶模型對線元位置不確定性進行可視化表達，指出G-帶模型考慮了線元是由線元上無數待定點集合而成的事實，是針對幾何實體基本單元——線元提出的。從文中實例可以看出，利用G-帶模型的可視化操作可以清楚地看到線元上單個點和幾何實體的不確定性。

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