羅淇任，張勁夫

（西北工業(yè)大學(xué)， 710072）

0 前言

由于固體氧化物燃料電池的陽極、電解質(zhì)、陰極結(jié)構(gòu)中各層的熱膨脹系數(shù)不一樣，在制造過程中，當(dāng)溫度從燒結(jié)溫度降低至室溫時(shí)，會(huì)造成熱應(yīng)力和翹曲。為了緩解這種現(xiàn)象，必需發(fā)展合適的材料和優(yōu)化設(shè)計(jì)電池組以便使它們能夠承受熱機(jī)械的工作量而不產(chǎn)生裂紋。因此復(fù)合材料得到了廣泛應(yīng)用。

工程實(shí)踐中將大量用到復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)，而起橫向剪切變形的影響將越來越重要而不能被忽略。復(fù)合材料力學(xué)研究的一項(xiàng)重要課題就是復(fù)合材料熱應(yīng)力分析。文獻(xiàn)[1]推導(dǎo)了各向異性熱彈性體的基本方程，文獻(xiàn)[2]等研究了耦合熱彈性問題的一般解。

在彈性力學(xué)中Hamilton 體系有著非常重要的作用。文獻(xiàn)[3]給出波動(dòng)方程周期性問題的辛差分算法。文獻(xiàn)[4]則導(dǎo)出了條形域平面彈性問題的Hamilton 體系及其本征解。文獻(xiàn)[5，6]從三維彈性力學(xué)的基本方程出發(fā)，建立了Hamilton 正則方程的一般形式。

本文在層合板的熱應(yīng)力分析之中引入Hamilton 體系，在一階層合板理論的基礎(chǔ)上，建立了以一個(gè)空間方向?yàn)檎归_方向的Hamilton 正則方程。在辛幾何數(shù)學(xué)框架下，采取共軛辛正交關(guān)系給出層合板熱應(yīng)力的辛精確解。

1 層合板熱應(yīng)力問題的基本方程和橫向本征問題.

一階層合板理論的平衡方程為.

其中有

層合板的總厚度為H。在溫度載荷作用下，層合板的本構(gòu)方程為

其中

將坐標(biāo)y 模擬時(shí)間以建立Hamilton 體系，選擇狀態(tài)變量為

得到層合板熱應(yīng)力分析的Hamilton 正則方程

其中F，C，K 的表達(dá)式見附錄。

H 為Hamilton 算子矩陣，再引入辛幾何度量矩陣.

2 共軛辛正交解法

考慮x 軸對(duì)邊簡(jiǎn)支的矩形層合板，它的邊界條件為

除此之外還要考慮交界面位移連續(xù)條件及力的平衡條件

考慮正則方程的齊次解

采用分離變量法[4].，拉維型全狀態(tài)變量假設(shè)為

將（11）式代回（6）式，變?yōu)槿缦滦问?/p>

設(shè)下標(biāo)i，j 分別表示為（12）的兩個(gè)本征解，則有

將上面兩式聯(lián)立得到

這說明對(duì)于全部的滿足式（8），（9）的全狀態(tài)向量是不會(huì)線性相關(guān)的，它們構(gòu)成有限維空間的基底，所以任一狀態(tài)向量展開為

將其代回（12）得到

則有

代回到（12）得到

解得

這樣得到全狀態(tài)變量的通解為

3 數(shù)值算例

4 結(jié)束語

將Hamilton 體系導(dǎo)入到層合板熱應(yīng)力的分析中，所提供的解嚴(yán)格滿足問題的微分方程，邊界條件以及層間位移連續(xù)性條件和應(yīng)力平衡條件。

沿著厚度上的（0，b/2）的分布

沿著厚度上的(a/2,b/2)的分布

[1] Ting T C T.Anisotropic elasticity theoy and applications[M].New York, Oxford University Press, 1996.506-507

[2] 丁皓江，國(guó)風(fēng)林，侯鵬飛。耦合熱彈性問題的一般解[J]，應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2000，21（6）：573-577

[3] 馮康，泰孟兆。Hamilton 動(dòng)力體系的Hamilton 算法，自然科學(xué)進(jìn)展一國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室通訊，1991，（2）：104-112

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[5] 唐立民。彈性力學(xué)的混合方程和Hamilton 正則方程。計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用。1991，8（4）：433-450

[6] 鄒貴平，唐立民。各向異形彈性力學(xué)問題Hamilton 正則方程的一般形式，計(jì)算結(jié)果力學(xué)及其應(yīng)用。1994，11（2）：140-146

[7] Tauchert T R.Thermally induced flexure, buckling and vibration of plates.Appl.Mech.Rev.1991,44(8):347-359

[8] 鄒貴平。反對(duì)稱鋪設(shè)層合板動(dòng)力問題的Hamilton 體系及辛幾何解法。固體力學(xué)學(xué)報(bào)。1996，17（4）：312-319

附錄

沿著厚度上的(0,0)的分布

沿著厚度上的(0,b/2)的分布