陸建亮

一、三角形中線將原三角形面積分半.

圖1【例1】如圖1，在三角形ABC中，BD是中線，AD=CD=112AC，BE⊥AC于E，即BE是△ABC的邊AC上的高，同時(shí)BE也是△ABD高，也是鈍角三角形BCD的高.

解：根據(jù)三角形的面積公式，S△ABD、S△BCD的面積可表示為S△ABD=112AD×BE=112×112AC×BE=112DC×BE=S△BDC=112S△ABC.所以△ABD、△BCD的面積相等，都等于△ABC面積的一半.

本題由中線可得D是AC的中點(diǎn)，由性質(zhì)就有底AD、DC相等，而高BE是同一條的，故面積相等.可以簡(jiǎn)記：等底同高積相等.

圖2【例2】如圖2，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線.（1）在△BED中作BD邊上的高；（2）若△ABC的面積為20，BD=5，則點(diǎn)E到BC邊的距離為多少？

解：因?yàn)锳D是△ABC的中線，

所以S△ABD=112S△ABC.同理，S△BDE=112S△ABD.

所以S△BDE=112×112S△ABC=112BD×EF=112×112×20，EF=2.

這題考查的知識(shí)點(diǎn)并不是很多，一是要會(huì)做三角形的高，另外就是理解點(diǎn)E到BC邊的距離就是△BED底邊上的高EF；二是掌握中線能把三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形的性質(zhì)，本題就是兩次運(yùn)用這一性質(zhì)很快求出結(jié)果.

二、證明或計(jì)算三角形中線的問(wèn)題，常作的輔助線是延長(zhǎng)中線使延長(zhǎng)的線段比原中線長(zhǎng)一倍，或過(guò)中點(diǎn)作第三邊的平行線，構(gòu)造成全等三角形或平行四邊形.

圖3【例3】如圖3，已知：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD.

解：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，即DE是AE的一半.

∵D是CB的中點(diǎn)，

∴CD=BD.

∵△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE..

在△ABE中，AB+BE>AE，∴AB+AC>AE，即AB+AC>2AD.

本題如果直接證明就會(huì)很困難，但是考慮到AD是中線，通過(guò)延長(zhǎng)線段的方法，使得AD=DE，再連結(jié)BE，構(gòu)成三角形，就能將原來(lái)分散的條件集中在一起，結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，問(wèn)題得以解決.

三、由三角形中位線定義可知，同一條件下有兩層關(guān)系：位置和數(shù)量.在運(yùn)用這個(gè)定義時(shí)，根據(jù)問(wèn)題的求解進(jìn)行選擇，是平行關(guān)系還是數(shù)量關(guān)系.若遇到三角形兩條中線（或兩邊的中點(diǎn)）同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，可以考慮加輔助線，構(gòu)造成中位線，再利用三角形中位線的性質(zhì)來(lái)解題.

【例4】如圖4，已知△ADC是銳角三角形，分別以AD、AC為邊向外側(cè)作兩個(gè)等邊△ABC和△AED，H、G、F分別是CD、BC、DE的中點(diǎn)，連結(jié)GH，HF，求證：HF=GH.

圖4解：連結(jié)CE、BD.

∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，

∴∠CAB=∠DAE=60°，CA=BA，DA=EA.

又∵∠CAD是公共角，∴∠CAE=∠DAB.

∴△CAE≌△BAD（ASA），∴CE=BD.

又∴G、H、F都是中點(diǎn)，∴2HF=CE，2GH=BD.

∴HF=GH.

本來(lái)GH、HF看似與三角形的邊沒(méi)有關(guān)系，但想到了點(diǎn)G、H、F都是點(diǎn)，就聯(lián)想到三角形中位線，由此連結(jié)BD、CE，則GH、HF就成了△BDC、△CED的中位線，故此題得以解決.

由三角形中位線可想到梯形的中位線，它也有類似的性質(zhì).在考試中常見(jiàn)的有（1）順次連結(jié)對(duì)角線相等的四邊形（常見(jiàn)有等腰梯形）的中點(diǎn)四邊形是菱形；（2）順次連結(jié)對(duì)角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形.

從以上一些例題看出，由中點(diǎn)到中線再到中位線的過(guò)程中都滲透了歸納、類比等數(shù)學(xué)思想，學(xué)生只要在探究學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)了分析，懂得了應(yīng)用性質(zhì)，就能快速找到解題的突破口.

（責(zé)任編輯金鈴）endprint