王吉全

導數，作為解決與高次函數有關問題的一種工具，有著無可比擬的優(yōu)越性，越來越受到各省命題專家的“青睞”.導數的應用是高中數學的新增知識點，它是研究函數性質的先進工具，特別是使用導數的簡單求函數的極值，求函數的單調區(qū)間，證明函數的增減性等，關鍵是建立恰當的數學模型（函數關系）.如果函數在給定區(qū)間內只有一個極值點，此時函數在這點有極大（?。┲担藭r不用和端點值進行比較，也可以得知這就是最大（?。┲?甚至可以說導數已由解決問題的工具上升到解決問題必不可少的工具.

對眾多的導數應用中，圍繞高考的命題特點，我談談應用導數求參數范圍的幾種常見題型及求解策略，與大家共勉.

一、分離變量法

解決問題的關鍵：是通過將兩個變量構成的不等式（方程）變形到不等號（等號）兩端，使兩端變量各自相同，解決有關不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數取值范圍的一種方法.兩個變量，其中一個范圍已知，另一個范圍未知.分離變量之后將問題轉化為求函數的最值或值域的問題.分離變量后，對于不同問題，我們有不同的理論依據可以遵循.以下結論均為已知x的范圍，求a的范圍.

結論一：不等式f（x）≥g（a）恒成立？圳[f（x）]■≥g（a）（求解f（x）的最小值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立？圳[f（x）]■≤g（a）（求解f（x）的最大值）.

結論二：不等式f（x）≥g（a）存在解？圳[f（x）]■≥g（a）（求解的最大值）；不等式f（x）≤g（a）恒成立？圳[f（x）]■≤g（a）（即求解f（x）的最小值）.

結論三：方程f（x）=g（a）有解？圳g（a）的范圍=f（x）的值域（求解f（x）的值域）.

（2008年江蘇卷）設函數f（x）=ax■-3x+1（x∈R），若對于任意x∈[-1，1]都有f（x）≥0成立，則實數a的值為？搖 ？搖.

解：當x=0，則不論a取何值，f（x）≥0顯然成立；

當0

令g（x）=■-■，則g′（x）=■，

所以g（x）在區(qū)間（0，■]上單調遞增，在區(qū)間[■，1]上單調遞減，

因此g（x）■=g（■）=4，從而a≥4；當-1≤x<0時，f（x）=ax■-3x+1≥0可化為a≤■-■，g′（x）=■>0，g（x）在區(qū)間[-1，0）上單調遞增，因此g（x）■=g（-1）=4，從而a≤4.綜上，a=4.

分離變量法是近幾年高考考查和應用最多的一種.解決問題時需要注意：（1）確定問題是恒成立、存在、方程有解中的哪一類；（2）確定是求最大值、最小值還是值域.高三復習過程中，很多題目都需要用到分離變量的思想，除了基礎題目可以使用分離變量外，很多壓軸題也可以用這種方法求解.

二、數形結合法

（2010年山西）若不等式3x■-log■x<0在（0，■）內恒成立，求實數a的取值范圍.

解：由題意知：3x■

觀察兩函數圖像，當x∈（0，■）時，若a>1函數y=log■x的圖像顯然在函數y=3x■圖像的下方，所以不成立；

當0a≥■，綜上得：1>a≥■.

三、構造新函數法

對于某些不容易分離出參數的恒成立問題，可利用構造函數的方法，再借助新函數的圖像、性質等求解，可以開拓解題思路、化難為易.

（2013年新課標全國Ⅰ）已知函數f（x）=x■+ax+b，g（x）=e■（cx+d），若曲線y=f（x）和曲線y=g（x）都過點P（0，2），且在點P處有相同的切線y=4x+2.

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；

（Ⅱ）若x≥-2時，f（x）≤kgf（x），求k的取值范圍.

分析：（Ⅰ）利用所給的點及切線方程列出方程組求解字母的取值.

由已知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，a=4，b=2，c=2，d=2.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=x■+4x+2，g（x）=2e■（x+1），

構造函數F（x）=kg（x）-f（x）=2ke■（x+1）-x■-4x-2，

則F′（x）=2ke■（x+2）-2x-4=2（x+2）（ke■-1），

由題設可得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0得，x■=-lnk，x■=-2.

（?。┤?≤k0，即F（x）在（-2，x■）上單調遞減，在（x■，+∞）上單調遞增，故F（x）在[-2，+∞）上的最小值為F（x■）=2x■+2-x■■-4x■-2=-x■（x■+2）≥0.故當x≥-2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ⅱ）若k=e■，則F′（x）=2e■（x+2）（e■-e■）.從而當x>-2時，F′（x）>0，即F（x）在（-2，+∞）內單調遞增，而F（-2）=0，故當x≥-2時，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立.

（ⅲ）若k>e■，則F（-2）=-2ke■+2=-2e■（k-e■）<0，從而當x≥-2時，f（x）≤kg（x）不可能恒成立.

綜上，k的取值范圍是[1，e■].

通過適時構造新的函數，簡化了問題，把求參數的范圍轉化為函數的最值問題，對解題起到了畫龍點睛的作用.

導數是研究函數的重要工具，借助導數，可以對函數進行更加透徹的研究.在利用導數求參數的取值范圍問題時，分離變量、主次元變換、極值法、構造新函數等都是行之有效的方法.在教學中要充分穿插、滲透，并及時加以總結、應用和鞏固，促進知識的網絡化、系統(tǒng)化，才能增強我們解決數學中常見問題的能力，逐步提高教學能力.