楊群

二次函數(shù)屬于人教版全日制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》中“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容，既是近幾年中考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。這道題目考查的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性較強(qiáng)，解題靈活多變。許多同學(xué)在學(xué)習(xí)這部分章節(jié)知識(shí)的時(shí)候都很難從本質(zhì)上去理解、掌握，在教學(xué)中要教給學(xué)生一定的方法，只要掌握方法，就能靈活解決。下面通過具體問題的二次函數(shù)探討其常考點(diǎn)。

考點(diǎn)1：二次函數(shù)的對(duì)稱軸

函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中，a、b、c的正負(fù)將確定拋物線的開口方向；對(duì)稱軸位置，對(duì)稱軸兩邊函數(shù)隨自變量的變化情況；頂點(diǎn)坐標(biāo)及與y軸交點(diǎn)的位置，拋物線在坐標(biāo)平面內(nèi)平移與頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k的變化關(guān)系。這些函數(shù)的性質(zhì)，不僅要記憶而且要理解和會(huì)運(yùn)用。例1：拋物線y=x2-2x+1的對(duì)稱軸是（ ）

A.直線x=1 B.直線x=-1

C.直線x=2 D.直線x=-2

另一種方法：可將拋物線配方為y=a（x-h）2+k的形式，對(duì)稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=（x-1）2，所以對(duì)稱軸為x=1，應(yīng)選A。

圖形的性質(zhì)、判定、函數(shù)的性質(zhì)，在復(fù)習(xí)時(shí)，要做好基礎(chǔ)知識(shí)的理解，加強(qiáng)記憶、理解和運(yùn)用，。在具體問題中，會(huì)根據(jù)條件判斷出圖形具有什么特征，可以由這些特征確定求對(duì)稱軸思路。 考點(diǎn)2：二次函數(shù)的最值問題

大家知道，對(duì)于二次函數(shù)y=a（x-h）2+k（a≠0）（其中h為函數(shù)圖像頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)）來說，當(dāng)a>0時(shí)，頂點(diǎn)（h，k）為圖像的最低點(diǎn)，即當(dāng)x=h時(shí)，y的值最小，最小值為k；當(dāng)a<0時(shí)，頂點(diǎn)（h，k）為圖像的最高點(diǎn)，即當(dāng)x=h時(shí)，y的值最大，最大值為k.利用二次函數(shù)的這一性質(zhì)可解決一些與最值有關(guān)的問題。例2：求二次函數(shù)y=x2-2x-3的最小值。

解：配方得y=x2-2x-3=（x-1）2-4.

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4）

∴該二次函數(shù)的最小值為-4.

另外，如果二次函數(shù)在一個(gè)實(shí)際問題中求最大最小值，除了考慮頂點(diǎn)坐標(biāo)外，還要考慮自變量的端點(diǎn)值。

考點(diǎn)3：二次函數(shù)的平移問題

例3 若拋物線y=a（x-h）2+k向下平移一個(gè)單位后，再向左平移3個(gè)單位，所得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），且a+h+k=4.求原拋物線的解析式。

解析：拋物線平移，主要抓住頂點(diǎn)的平移，由于平移中a不變，只要變動(dòng)頂點(diǎn)就行了.對(duì)于這類已知平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求原頂點(diǎn)坐標(biāo)的問題，采用逆推法更易獲解。

原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（h，k）向下平移1個(gè)單位后為（h，k-1），再向左平移3個(gè)單位后為（h-3，k-1）。依題意，得h-3=-2，k-1=0，所以h=1，k=1.又a+h+k=4，所以a=2。所以y=2（x-1）2+1，即y=2x2-4x+3。

二次函數(shù)平移，不改變二次函數(shù)的開口方向和大小即二次項(xiàng)系數(shù)a不變，只改變頂點(diǎn)的位置，所以先求原拋物線的頂點(diǎn)，通過配方轉(zhuǎn)化為y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，其圖象可以由y=ax2（a≠0）經(jīng)過適當(dāng)?shù)钠揭频玫健?/p>

考點(diǎn)4：求拋物線y=ax2+bx+c與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)

在初中二次函數(shù)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想方法得到進(jìn)一步滲透并被廣泛運(yùn)用。學(xué)生從類似“一元二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)根和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x 軸交點(diǎn)的關(guān)系”、“二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象分布情況與一元二次不等式ax2+bx+c>0（或ax2+bx+c<0，或ax2+bx+c≠0等）解集的關(guān)系，開始由具體的形象的數(shù)形結(jié)合發(fā)展到具有一定的數(shù)形結(jié)合思想，并在具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容中滲透和貫穿數(shù)學(xué)思想，解決數(shù)學(xué)問題，從根本上提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。例4：已知拋物線y=4x2-11x-3，求它與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。

解：由x=0得y=-3，所以拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3）。由y=0，得4x2-11x-3=0可以求得所以拋物線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)。

考點(diǎn)5：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式是我們求解析式時(shí)最有效的常規(guī)方法，常見的有一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式（或兩根式）等方法，選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠖魏瘮?shù)解析式，常能簡化計(jì)算，達(dá)到又快又準(zhǔn)的效果。學(xué)習(xí)二次函數(shù)必須掌握二次函數(shù)的三種表達(dá)形式：一般式y(tǒng)=ax2+bx+c，交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-x1）（x-x2），頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-h）2+k。在具體問題中要根據(jù)問題中條件，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其它綜合知識(shí)，選擇恰當(dāng)方法，就可能比較容易的解出二次函數(shù)的解析式，達(dá)到又快又準(zhǔn)的效果。

例5：已知拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于點(diǎn)B（1，0）、C（5，0）兩點(diǎn)，求此拋物線的解析式.

思路點(diǎn)撥：由于已知三點(diǎn)，所以本題可以采用一般式求拋物線的解析式.但考慮到已知與x軸交點(diǎn)，所以用交點(diǎn)式更簡單.

解：設(shè)此拋物線為y=a（x-x1）（x-x2）。（a≠0），則x1=1，x2=5。

所以可設(shè)y=a（x-1）（x-5）。把C（5，0）代人即可求出a。

總之，二次函數(shù)教學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，這是幫助學(xué)生深入了解數(shù)形關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的契機(jī)。學(xué)生在考試中解這類題時(shí)，加強(qiáng)審題，由條件推斷函數(shù)具有何種特性，圖形具有什么特征。利用這些特性和特征結(jié)合圖像和圖形，綜合分析，確定出合理的解題方法。特別是在具體的解題過程中靈活運(yùn)用函數(shù)與方程思想進(jìn)行各種變換，從而達(dá)到解決問題的目的。