謝世偉

摘 要 在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)在生活實(shí)踐中有著不可或缺的位置。本論文意在著重研究矩陣在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù)；矩陣；逆矩陣；密碼

矩陣（Matrix）：在數(shù)學(xué)名詞中，矩陣是用來表示統(tǒng)計數(shù)據(jù)等方面的各種有關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)。這個定義很好地解釋了代碼制造世界的數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)。矩陣是數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一、是線性代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象，也是數(shù)學(xué)研究及應(yīng)用的一個重要工具

成書于西漢末、東漢初的《九章算術(shù)》用分離系數(shù)法表示線性方程組，得到了其增廣矩陣，在消元過程中，使用的把某行乘以某一非零實(shí)數(shù)、從某行中減去另一行等運(yùn)算技巧，相當(dāng)于矩陣的初等變換，但當(dāng)時并沒有現(xiàn)在理解的矩陣的概念，雖然它與現(xiàn)在的矩陣形式上相同，但在當(dāng)時只是作為線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)表示與處理方式。

現(xiàn)代的矩陣概念是在19世紀(jì)逐漸形成的。1801年德國數(shù)學(xué)家高斯（F.Gauss，1777～1855）把一個線性變換的全部系數(shù)作為一個整體。1844年，德國數(shù)學(xué)家愛森斯坦（F.Eissenstein，1823～1852）討論了（矩陣）“變換”及其乘積。1850年，英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，18414-1897）首先使用“矩陣”一詞。1858年，英國數(shù)學(xué)家凱萊（A.Gayley，1821～1895）發(fā)表《關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄蟾妗?，他首先將矩陣作為一個獨(dú)立的數(shù)學(xué)對象加以研究，并以這個主題首先發(fā)表了一系列文章，因而他被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，是他給出了現(xiàn)在通用的一系列矩陣的定義，如：兩矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、兩矩陣的和、一個數(shù)與一個矩陣的數(shù)量積、兩個矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等。并且凱萊還注意到矩陣的乘法是可結(jié)合的，但一般不可交換，且m*n矩陣只能用n*k矩陣去右乘等。1854年，法國數(shù)學(xué)家埃米爾特（C.Hermite，1822～1901）使用了“正交矩陣”這一術(shù)語，但它的正式定義直到1878年才由德國數(shù)學(xué)家費(fèi)羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius，1849～1917）提出，1879年費(fèi)羅貝尼烏斯引入了矩陣秩的概念。

二、在社會生產(chǎn)管理中的應(yīng)用

在社會生產(chǎn)管理中經(jīng)常要對生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的很多數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計、處理、分析，以此來對生產(chǎn)過程進(jìn)行了解和監(jiān)控，進(jìn)而對生產(chǎn)進(jìn)行有效的管理和調(diào)控，保證生產(chǎn)正常平穩(wěn)的進(jìn)行以達(dá)到最好的經(jīng)濟(jì)收益。

例如：某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品的原料費(fèi)用、員工工資、管理和其他費(fèi)用等見表1，每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量見表2。財務(wù)人員需要用表格形式直觀地向部門經(jīng)理展示以下數(shù)據(jù)：每一季度中每一類成本的數(shù)量、每一季度三類成本的總數(shù)量、四個季度每類成本的總數(shù)量。

表1 生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本（元）

表2 每種產(chǎn)品各季度產(chǎn)量（件）

該公司希望在股東會議上用一個表格直觀的展示出以下數(shù)據(jù)

（1）每一季度中每一類成本的數(shù)量

（2）每一季度三類成本的總數(shù)量

（3）四個季度每類成本的總數(shù)量

我們用矩陣的方法考慮這個問題。兩張表格的數(shù)據(jù)都可以表示成一個矩陣。如下所示m=10 20 1530 40 2010 15 10，n=2000 3000 2500 20002800 4800 3700 30002500 3500 4000 2000通過矩陣的乘法運(yùn)算得到

m*n=113500 178500 159000 110000222000 352000 303000 22000087000 137000 120500 85000

對總成本進(jìn)行匯總，每一類成本的年度總成本由矩陣的每一行元素相加得到，每一季度的總成本可由每一列相加得到。

這樣，我們就利用矩陣的乘法把多個數(shù)據(jù)表匯總成一個數(shù)據(jù)表，從而比較直觀地反映了該工廠生產(chǎn)的成本。

二、矩陣在密碼學(xué)中的應(yīng)用

在密碼學(xué)中，原消息為明文，經(jīng)過偽裝的明文則變成了密文。由明文變成密文的過程稱為加密，由密文變成明文的過程稱為譯密。加密的過程是利用密碼實(shí)現(xiàn)的，密碼在軍事上和商業(yè)上是一種保密通信技術(shù)。矩陣在保密通信中發(fā)揮了重要作用。

例如，如圖所示，當(dāng)矩陣A可逆時，對R中的所有X，等式A-1AX=X說明，A-1把向量AX變回到X，A-1確定的線性變換稱為由A確定的線性變換的逆變換。

這使人們想到可以利用可逆矩陣及其逆矩陣對需發(fā)送的秘密消息加密和譯密。

假設(shè)我們要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每個字母A，B，C，…，Z映射到數(shù)1，2，3，…，26.例如，數(shù)1表示A，數(shù)11表示K；另外，用0表示空格，27表示句號等。于是數(shù)集[1，3，3，15，13，16，12，9，19，8，0，20，8，5，0，20，1，19，11，27]表示消息“ACCOMPLISH THE TASK.”，這個消息（按列）寫成4×5矩陣

M=1 13 19 8 13 16 8 5 191 3 12 0 0 1115 9 20 20 27

密碼的發(fā)送者和接收者都知道的密碼矩陣是

A=1 -1 -1 13 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -2

其逆矩陣（譯碼矩陣）是

A-1=1/29 1 -1 75 1 -1 5-19 -1 3 -13-21 -1 3 -15

加密后的消息通過通信渠道，以乘積AM的形式輸出，接收者收到的矩陣

C=AM=1 -1 -1 13 0 -3 43 -2 2 -1-1 1 2 -21 13 19 8 13 16 8 5 191 3 12 0 0 1115 9 20 20 270 -6 31 23 -254 39 137 104 78-32 22 21 -6 -40-22 9 -51 -43 -14

之后接收者通過計算乘積A-1C來譯出消息，即相繼變換矩陣C的第1列，第2列，…的元素就會變回到原來的信息。

上述例子是矩陣乘法與逆矩陣的應(yīng)用，將高等代數(shù)與密碼學(xué)緊密結(jié)合起來。運(yùn)用數(shù)學(xué)知識破譯密碼，進(jìn)而運(yùn)用到軍事等方面，可見矩陣的作用是何其強(qiáng)大。

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