鐘麗莉，熊興中

（四川理工學(xué)院自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，四川自貢643000）

基于峭度的獨(dú)立分量算法的性能分析研究

鐘麗莉，熊興中

（四川理工學(xué)院自動(dòng)化與電子信息學(xué)院，四川自貢643000）

獨(dú)立分量算法是一種應(yīng)用非常廣泛的盲信號(hào)處理算法。而峭度作為一種重要的信號(hào)分析工具，可以有效地進(jìn)行優(yōu)化分析。然而，對(duì)于各種不同類(lèi)型的算法的對(duì)比分析目前還少有介紹，所以有必要對(duì)基于峭度的FastICA和RobustICA兩種獨(dú)立分量算法進(jìn)行對(duì)比分析研究。理論分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，魯棒獨(dú)立分量法RobustICA在魯棒性、收斂性和復(fù)雜度方面整體優(yōu)于快速定點(diǎn)獨(dú)立分量法FastICA，從而為實(shí)際應(yīng)用提供一定的參考價(jià)值。

峭度；快速定點(diǎn)獨(dú)立分量法；魯棒獨(dú)立分量法；魯棒性；收斂；復(fù)雜度

引言

盲源分離（BSS）［1］是指在不知曉源信號(hào)和理論模型的情況下，從混迭信號(hào)即觀(guān)測(cè)信號(hào)中恢復(fù)出各源信號(hào)的過(guò)程。獨(dú)立分量分析（ICA）［2-3］基于源信號(hào)間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性，目的是將觀(guān)察到的隨機(jī)向量分離成統(tǒng)計(jì)獨(dú)立變量。在眾多應(yīng)用中，當(dāng)假設(shè)源信號(hào)獨(dú)立時(shí)，ICA是盲源分離瞬時(shí)線(xiàn)性混合信號(hào)最自然的工具。相對(duì)于經(jīng)典分離技術(shù)，比如基于二階統(tǒng)計(jì)量的主成分分析（PCA），基于高階統(tǒng)計(jì)量的ICA可以處理即使不是由正交列組成的一般混合結(jié)構(gòu)。

1997年，芬蘭學(xué)者Aapo Hyv?rìnen等人提出基于峭度的快速定點(diǎn)算法FastICA［4］，由于其無(wú)須設(shè)置參數(shù)，算法簡(jiǎn)單，收斂速度快，分離效果好，是ICA最常用的方法。但FastICA也存在不少缺陷，比如不能有目的性地提取想要的信號(hào)、弱信號(hào)提取不理想、串行分離易傳遞誤差、存在偽局部極值和鞍點(diǎn)。2004年，Zarzoso A和Comon P等人改進(jìn)了FastICA的缺陷，提出了一種魯棒性更好的依然基于峭度的RobustICA［5］，理論分析及大量仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算法在實(shí)值和復(fù)值源信號(hào)的情況下，綜合性能表現(xiàn)都優(yōu)于FastICA。

1 對(duì)比函數(shù)峭度簡(jiǎn)介

以往的文獻(xiàn)提出了許多ICA的對(duì)比函數(shù)，大都基于信息理論的原則，可以分為基于最大似然、基于相互信息、基于邊際熵、基于負(fù)熵以及基于相關(guān)非高斯等方面。這些對(duì)比函數(shù)中，峭度kurtosis反映信號(hào)分布特性的數(shù)值統(tǒng)計(jì)量，是歸一化的四階邊際累積量，由于采用高階累積量比采用二階統(tǒng)計(jì)量能提取到更多的有用信息，因此峭度是ICA中最常用的對(duì)比函數(shù)之一。它通過(guò)計(jì)算有效迭代技術(shù)進(jìn)行優(yōu)化，這種技術(shù)在搜索方向每次迭代中計(jì)算代數(shù)步長(zhǎng)（適應(yīng)系數(shù)）和全局優(yōu)化對(duì)比度。

將零均值隨機(jī)變量y的峭度定義為：

Kurt（y）等于零時(shí)，隨即變量y為高斯分布，小于零時(shí)為亞高斯分布，大于零時(shí)為超高斯分布，三種分布如圖1所示。

由中心極限定理可知，N個(gè)不同分布信號(hào)的聯(lián)合分布高斯化會(huì)加強(qiáng)，因此，信號(hào)的非高斯性正是盲源分離模型中估計(jì)分離矩陣的關(guān)鍵。將峭度作為對(duì)比函數(shù)，是衡量信號(hào)的非高斯性簡(jiǎn)單合理的指標(biāo)［6］。

隨機(jī)變量y經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化處理后，E｛y2｝＝1，（1）式可簡(jiǎn)化為：

峭度還具有線(xiàn)性和比例兩個(gè)簡(jiǎn)化特性。設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)變量y1和y2，參數(shù)a，則峭度滿(mǎn)足：

峭度的主要優(yōu)點(diǎn)在于，當(dāng)無(wú)噪聲觀(guān)測(cè)模型實(shí)現(xiàn)后，采樣量無(wú)限大也不會(huì)出現(xiàn)偽局部極值。這個(gè)特點(diǎn)引出了全局收斂源提取算法。通過(guò)這種算法，即使在卷積多輸入多輸出（MIMO）情況下，使用某種形式的降階步驟，也可以進(jìn)行完整的源分離。雖然峭度作為對(duì)比函數(shù)在統(tǒng)計(jì)效率和對(duì)抗野值的魯棒性這兩點(diǎn)的基礎(chǔ)上的缺點(diǎn)不能忽視，但由于它數(shù)學(xué)上易于處理、計(jì)算方便和有限采樣時(shí)具有魯棒性等優(yōu)點(diǎn)，而得到了廣泛的應(yīng)用。

2 FastICA和RobustICA簡(jiǎn)介

2.1 基于峭度的FastICA算法

其中，E｛·｝表示數(shù)學(xué)期望。易看出，這個(gè)定義對(duì)尺度不敏感，即，k（λw）＝k（w），?λ≠0。由于這種尺度的不確定性通常并不重要，在不失一般性的前提下，可以令歸一化，從而簡(jiǎn)化數(shù)值。這個(gè)基于對(duì)比度的峭度最大化（KM）定義使用普遍，因?yàn)樗灰髮?duì)觀(guān)測(cè)信號(hào)預(yù)白化，并且不做修改就能在實(shí)值和復(fù)值信號(hào)應(yīng)用。

為了簡(jiǎn)化源提取，基于峭度的FastICA算法首先要進(jìn)行預(yù)白化處理，利用單位化協(xié)方差矩陣變換觀(guān)測(cè)信號(hào)［7］，I。在實(shí)值的情況下，公式（1）中的對(duì)比函數(shù)就相當(dāng)于四階距定義：

其中λ是拉格朗日乘數(shù)。在實(shí)值情況下，（w）的Hessian矩陣近似為：

因此，基于峰度FastICA的迭代減少為［8］：

由▽M（w）＝4E｛x（wTx）3｝，式（7）基本是梯度下降的更新規(guī)定：

在基于峭度的FastICA算法復(fù)值情況擴(kuò)展中，由式（1）中的y可得更新規(guī)定［9］：

2.2 基于峭度的RobustICA算法

近年來(lái)出現(xiàn)了一種比FastICA更簡(jiǎn)明自然的替代算法RobustICA，它不需要簡(jiǎn)化假設(shè)，進(jìn)行絕對(duì)峭度對(duì)比函數(shù)式（1）的精確線(xiàn)性搜索［10］：

搜索方向g通常是梯度，由g＝▽wK（w）得：

在每次迭代中，RobustICA執(zhí)行最優(yōu)步長(zhǎng)（OS），包括步驟［11-12］：

（1）計(jì)算OS多項(xiàng)式系數(shù)。對(duì)于峭度對(duì)比函數(shù)，OS多項(xiàng)式為：

（3）沿搜索方向使對(duì)比函數(shù)絕對(duì)最大化的根：μopt＝，式（8）。

（5）進(jìn)行正交化。

對(duì)比函數(shù)式（1）的一般性保證了RobustICA能夠分離沒(méi)有經(jīng)過(guò)處理的實(shí)值和復(fù)值信號(hào)。利用特定的峭度符號(hào)ε鎖定信號(hào)，RobustICA就可以很容易被改動(dòng)用于處理只需要提取小部分源信號(hào)的情況。計(jì)算步長(zhǎng)多項(xiàng)式的根后，式（8）可以簡(jiǎn)化為：

步驟（4）后，更新的提取矢量被限制于之前發(fā)現(xiàn)的提取矢量正交子空間中。在降階式（10）的線(xiàn)性回歸方法中，搜索算法收斂后，估計(jì)信號(hào)＾s與觀(guān)測(cè)信號(hào)的誤差可以通過(guò)線(xiàn)性回歸問(wèn)題x＝＾h＾s的最小均方誤差求得［13］。在搜索下一個(gè)源信號(hào)重新初始化算法前，由x＝＾h＾s得到x，從而將觀(guān)測(cè)信號(hào)降階。

3 RobustICA的進(jìn)步點(diǎn)

相對(duì)于基于峭度的FastICA和它的變形，RobustICA在實(shí)際應(yīng)用中有很多顯著優(yōu)點(diǎn)［14］：

（1）實(shí)值和復(fù)值的信號(hào)由完全相同的算法處理。二者可以在給定的混合信號(hào)中同時(shí)出現(xiàn)。復(fù)值源信號(hào)不需要循環(huán)。無(wú)論什么類(lèi)型的源信號(hào)，混合矩陣系數(shù)可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。

（2）因?yàn)椴恍枰A(yù)白化，所有能避免強(qiáng)加的性能限制。在實(shí)際中，由于跳過(guò)預(yù)白化這一步，從而提高了漸近性能。在這種情況下，可以通過(guò)線(xiàn)性回歸進(jìn)行順序提?。ń惦A）。

（3）根據(jù)用戶(hù)提供的峭度符號(hào)向量定義的順序，RobustICA可以以亞高斯和超高斯源信號(hào)為分離目標(biāo)。如果提前知曉想要得到的源信號(hào)的高斯特性，就能避免全部分離和隨之增加的復(fù)雜度與估計(jì)誤差。

（4）在對(duì)比函數(shù)中，當(dāng)處理短數(shù)據(jù)量時(shí)，容易出現(xiàn)鞍點(diǎn)和偽局部極值，而最優(yōu)步長(zhǎng)技術(shù)可以增強(qiáng)RobustICA的魯棒性。

（5）綜合考慮源信號(hào)提取質(zhì)量和運(yùn)算操作數(shù)量，RobustICA顯示出了非常高效的收斂速度。

4 仿真分析

仿真實(shí)驗(yàn)以Matlab為平臺(tái)，隨機(jī)產(chǎn)生四類(lèi)循環(huán)和非循環(huán)源信號(hào)S，如圖2所示，采樣頻率為1000，采樣長(zhǎng)度為100：

產(chǎn)生隨即混合矩陣，將仿真出的源信號(hào)混合，得到觀(guān)測(cè)信號(hào)X，如圖3所示。

用FastICA對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行分離，得到的估計(jì)信號(hào)SF與源信號(hào)S進(jìn)行對(duì)比，如圖4所示。

用RobustICA對(duì)混合信號(hào)進(jìn)行分離，得到的估計(jì)信號(hào)SR與源信號(hào)S進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。

圖5可以直觀(guān)看出，RobustICA分離得到的估計(jì)信號(hào)與源信號(hào)重疊較好，顯現(xiàn)的藍(lán)色較少。采用信號(hào)均方誤差衡量?jī)煞N算法的分離效果，SMSE越小，效果越好。本次實(shí)驗(yàn)采用兩種算法提取每條信號(hào)所產(chǎn)生的SMSE，如圖6所示。從6中可看出，8次提取中，藍(lán)色的FastICA在2、3、4、6、7、8六次的提取中SMSE都小于紅色的RobustICA。FastICA的平均SMSEF＝－23.3582 dB，RobustICA的平均SMSER＝－24.609 dB。由SMSEF＞SMSER可知，RobustICA的整體分離效果比FastICA好。

計(jì)算復(fù)雜度由總的迭代次數(shù)和每次迭代的計(jì)算量決定。本次實(shí)驗(yàn)得到的兩種算法的迭代次數(shù)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。

由表1知，雖然在每次迭代中，基于峭度的RobustICA每次迭代的計(jì)算復(fù)雜度要大于基于峭度的FastICA，如表2所示，其中L為源信號(hào)個(gè)數(shù)，T為采樣長(zhǎng)度。但由于RobustICA每次的迭代方案都更有效，在同樣的提取精度要求下，迭代次數(shù)減小，最終整體收斂速度和計(jì)算復(fù)雜度都要優(yōu)于FastICA。此外，在某些情況下，比如超高斯源信號(hào)或者采樣點(diǎn)數(shù)較少時(shí)，F(xiàn)astICA還達(dá)不到RobustICA所能達(dá)到的精度［15］。

5 結(jié)束語(yǔ)

無(wú)論是源信號(hào)是實(shí)值還是復(fù)值、循環(huán)或者非循環(huán)、亞高斯或者超高斯，又或者是否已經(jīng)預(yù)白化處理，峭度一直被認(rèn)為是在瞬時(shí)和卷積線(xiàn)性混合信號(hào)中提取獨(dú)立源的有效對(duì)比函數(shù)。該對(duì)比函數(shù)在整個(gè)搜索方向的全局最大化，可以用代數(shù)方法在每次提取濾波更新迭代時(shí)獲得，這也提升本文所研究的RobustICA的性能。由于基于峭度函數(shù)，RobustICA可以不需要預(yù)白化，就能處理實(shí)值和復(fù)值源信號(hào)。其結(jié)果就是，在對(duì)待常在短數(shù)據(jù)量出現(xiàn)的這類(lèi)殘留源相關(guān)性，RobustICA比基于白化的算法容忍度更大。除此之外，最優(yōu)步長(zhǎng)法加強(qiáng)了RobustICA在初始化和鞍點(diǎn)方面的魯棒性，特別是在小觀(guān)測(cè)窗口時(shí)。達(dá)到給定源提取質(zhì)量的計(jì)算復(fù)雜度是衡量BSS／ICA最自然最客觀(guān)的手段。由于沒(méi)有二階預(yù)處理（白化）所帶來(lái)的性能限制，與流行的、具有漸近立方全局收斂性的FastICA和它的一些最新變形比較后，RobustICA被證明計(jì)算速度更快，更效率。

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Research on Performance Analysis of Independent Component Algorithm Based on Kurtosis

ZHONG Lili，XIONG Xingzhong
（School of Automation and Electronic Information，Sichuan University of Science＆Engineering，Zigong 643000，China）

Independent component analysis algorithm is a widely used algorithm for blind signal processing.As an important signal analysis tool，kurtosis can be effective for optimization and analysis.However，there is little introduction to the comparison and analysis for various types of algorithms currently.Therefore，it is necessary to research and analyze the comparison between FastICA and RobustICA based on kurtosis.The theoretical analysis and the simulation results indicate that the robustness，convergence and complexity of RobustICA are better than that of FastICA on the whole.Thus it provides the reference for practical applications.

kurtosis；FastICA；RobustICA；robustness；convergence；complexity

TN911.72

A

1673-1549（2014）04-0043-05

10.11863／j.suse.2014.04.11

2014-02-11

四川省杰出青年基金項(xiàng)目（2011JQ0034）；四川省省屬高?？蒲袆?chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃基金項(xiàng)目（13TD0017）；人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金項(xiàng)目（2012RYJ05）

鐘麗莉（1989-），女，四川自貢人，碩士生，主要從事信號(hào)盲分離方面的研究，（E-mail）381340169＠qq.com

圖1峭度與分布的關(guān)系