孟 憲 吉

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

基于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)環(huán)境下的數(shù)學(xué)分析教學(xué)研究

孟 憲 吉

(沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034)

數(shù)學(xué)分析課程是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)一門最重要的基礎(chǔ)課程,學(xué)生對此門課程的學(xué)習(xí)效果直接影響對后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。所以如何上好數(shù)學(xué)分析這門課程,是任課教師應(yīng)該積極思考,認(rèn)真反思的問題。對計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)應(yīng)用到教學(xué)中的情況進(jìn)行分析討論。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中是一種重要的認(rèn)知工具,對教師和學(xué)生都有很大的影響,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)不僅是有效的運(yùn)算、作圖工具,并且為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)及其他數(shù)學(xué)實(shí)踐教學(xué)提供了的強(qiáng)有力保障,對數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有很大作用。數(shù)學(xué)分析教學(xué)利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)不但可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識,而且可以提高學(xué)生的創(chuàng)造力及應(yīng)用能力。

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng); 數(shù)學(xué)分析教學(xué); 整合

0 引 言

計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),使學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方式都發(fā)生了很大的轉(zhuǎn)變,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的研究加速了數(shù)學(xué)分析課程教材改革步伐。通過師生對計(jì)算機(jī)在符號,算法,數(shù)值計(jì)算等方面的操作,使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)分析的人機(jī)互動。本文從辯證的思想探討了計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)的關(guān)系,并且重點(diǎn)討論了計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)環(huán)境下數(shù)學(xué)分析的教學(xué)論。尋求教材和計(jì)算機(jī)結(jié)合的數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)改革途徑。

1 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的二元性

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)的關(guān)系是非常密切的,可以說沒有數(shù)學(xué),就沒有計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)。一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)知識的積累產(chǎn)生了第一臺電子計(jì)算機(jī)。數(shù)學(xué)知識的發(fā)展導(dǎo)致了計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生,同時(shí)數(shù)學(xué)也為計(jì)算機(jī)的發(fā)展提供了理論上的保證。隨著計(jì)算機(jī)更深的發(fā)展,它對數(shù)學(xué)知識,思想和方法的要求越來越高。

反之,數(shù)學(xué)分析教學(xué)中的很多知識可以通過計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)來實(shí)現(xiàn),包括數(shù)據(jù)的處理,邏輯運(yùn)算,圖形的形象展示等,并且可以多次重復(fù)的演示,模擬。不僅可以利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)解決大量人工無法實(shí)現(xiàn)的巨量計(jì)算問題,還可以利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)完成類似四色問題等許多困難定理的證明。

計(jì)算機(jī)的發(fā)展,一方面是硬件的發(fā)展,但是最重要的是讓計(jì)算機(jī)正確工作的程序發(fā)展,沒有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論做支撐,就不會產(chǎn)生現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)程序,就不可能產(chǎn)生現(xiàn)代的信息技術(shù)。反過來,現(xiàn)代的信息技術(shù)又能很好的促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展,同時(shí),數(shù)學(xué)也有了更加廣泛的用武之地。

2 基于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)環(huán)境下數(shù)學(xué)分析的教學(xué)論

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)的智能化,可以根據(jù)學(xué)習(xí)者的情況自動生成相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)進(jìn)度,同時(shí)實(shí)現(xiàn)了人機(jī)互動模式,到目前為止,由于歷史條件的限制,教育的多種功能,教育的主要功能被一個(gè)次要功能----傳授知識的功能掩蓋了,教育的真諦在于:將知識轉(zhuǎn)化為智慧,使文明積淀成人格,在數(shù)學(xué)上,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)使這一追求成為真正的可能。

2.1計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)能提供豐富、形象生動的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)分析知識具有抽象性的特點(diǎn),基于計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)環(huán)境下教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、主動性和發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知能力,使學(xué)生對抽象、復(fù)雜的概念直觀化,問題就會變得簡單,容易,從而使學(xué)生更易接受,達(dá)到事半功倍的效果。并且使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)關(guān)系有更加深刻的認(rèn)識,改變傳統(tǒng)的重知識,輕過程的教學(xué)做法。

2.2計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)能夠使教學(xué)突出重點(diǎn)、難點(diǎn),優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)分析的本質(zhì)是研究函數(shù),基礎(chǔ)是“變量”。研究“量”與“量”之間相互的關(guān)系,是一個(gè)動態(tài)的過程。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)可以對重要的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行回放,一些重要的教學(xué)內(nèi)容不僅要學(xué)生記憶還要理解,因此可以采用“放大”“回放”等方法強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)內(nèi)容,幫助學(xué)生理解記憶。數(shù)學(xué)分析中某些教學(xué)環(huán)節(jié)可以利用計(jì)算機(jī)的演示,讓學(xué)生形象的感受變量之間的關(guān)系,從而有利于掌握知識的重點(diǎn)、難點(diǎn)。另外,在數(shù)學(xué)分析中還有很多地方需要借助圖形解決,但是教師在黑板上用手畫圖形,既浪費(fèi)了時(shí)間,又有很大的誤差,所以借助于計(jì)算機(jī),可以很好的優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu),同時(shí)也能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.3計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)具有很好的交互性、集成性

目前開發(fā)了許多數(shù)學(xué)方面的數(shù)學(xué)軟件,這些軟件都具有相當(dāng)強(qiáng)大的繪圖功能和計(jì)算功能,并且可以進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)據(jù)計(jì)算和人機(jī)互動能力。教師如果能熟練的將之用到教學(xué)中,可以把教學(xué)和練習(xí)融為一體,使學(xué)生和計(jì)算機(jī)始終處在一系列交替詢問和回答中。個(gè)性化教學(xué)特性把以“教師為中心“轉(zhuǎn)向以”學(xué)生為中心“。學(xué)生可以選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容,適合自己學(xué)習(xí)進(jìn)度的學(xué)習(xí)環(huán)境。計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)可以轉(zhuǎn)變以往課堂學(xué)生只能被動接受教師的講解的思維模式,學(xué)生可以自己探究數(shù)學(xué)規(guī)律,挖掘數(shù)學(xué)知識本質(zhì)。必將提高學(xué)生數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)效果。

2.4計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)能夠創(chuàng)設(shè)新穎的教學(xué)環(huán)境提供數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)和其他數(shù)學(xué)實(shí)踐活動

不斷提高學(xué)生創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力的培養(yǎng),加強(qiáng)實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)是當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的核心內(nèi)容,也是21世紀(jì)數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革的亮點(diǎn)。當(dāng)前飛速發(fā)展的計(jì)算機(jī)技術(shù)和不斷研發(fā)的計(jì)算軟件為學(xué)生將課堂上所學(xué)的數(shù)學(xué)理論知識應(yīng)用于實(shí)踐提供了實(shí)驗(yàn)平臺。借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng),學(xué)生可以完成數(shù)學(xué)知識的假設(shè)、實(shí)驗(yàn)、驗(yàn)證、修正、證明等一整套學(xué)習(xí)過程。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí),當(dāng)學(xué)到新知識并且和舊知識相類似的時(shí)候,學(xué)生可以先進(jìn)行類比猜想,然后通過計(jì)算機(jī)仿真處理,驗(yàn)證自己猜想的正確性,如果驗(yàn)證不通過,則重新提出猜想。如果驗(yàn)證通過,則期望用數(shù)學(xué)邏輯語言給予證明。這樣學(xué)生通過自我學(xué)習(xí),既鍛煉了學(xué)生的觀察能力,思考能力,又能鍛煉學(xué)生熟悉操作計(jì)算機(jī)能力,同時(shí)也能提高學(xué)生的邏輯推理能力。實(shí)現(xiàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)知識的目的,能夠在思考中學(xué)習(xí),在學(xué)習(xí)中創(chuàng)新。

3 計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)與數(shù)學(xué)分析課程整合的問題論

3.1從呈現(xiàn)方式上來講,在對數(shù)學(xué)知識的深入理解方面,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)有一定的局限

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)雖然可以使答案更快的得到,不用通過很長時(shí)間的計(jì)算就能得到結(jié)果,使得計(jì)算、作圖等變得非常容易。但是因?yàn)榻Y(jié)果的呈現(xiàn)太完美,所以學(xué)生可能不會進(jìn)行深入思考,這樣教師就無法了解學(xué)生的實(shí)際情況,并作出相應(yīng)的教學(xué)引導(dǎo)。另外,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)雖然可以得到結(jié)果,但是中間有一些重要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)技巧并不能在計(jì)算機(jī)上體現(xiàn)出來。類似于一道選擇題,學(xué)生可以給出正確答案,但是不代表學(xué)生一定會做。例如,用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)計(jì)算積分問題時(shí),計(jì)算機(jī)可以快速給出答案,但是如何得到的這個(gè)答案,并沒有給出,而計(jì)算方法,計(jì)算技巧等恰恰是要求學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析所必須掌握的,所以在具體教學(xué)中不能忽視對學(xué)生基本計(jì)算能力和基本邏輯思維能力的培養(yǎng)。

3.2從結(jié)果的處理來看,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)有著自身固有的缺點(diǎn)

計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)雖然功能強(qiáng)大,但是并不是非常完善,很多時(shí)候它能夠表示的數(shù)值的大小是有限的。因此信息技術(shù)在使用中又會給教師和學(xué)生帶來新的困惑,例如用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)解決有理函數(shù)的部分分式展開時(shí),如果分子是一個(gè)無限小數(shù)時(shí),計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)給出的答案只能是一個(gè)近似量。因此學(xué)生應(yīng)該明確理解數(shù)學(xué)分析中題目的本質(zhì)要求,方便用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)時(shí)才能用,不能所有問題都用計(jì)算機(jī)來解決。

3.3從教學(xué)知識容量上看,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)教學(xué)課堂容量大,學(xué)生注意力容易分散

有資料顯示,一節(jié)50 min計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)教學(xué)課的容量可以相當(dāng)于一節(jié)普通課的60～65 min,課堂容量增加接近三分之一,教師在課堂上講授的內(nèi)容也就相應(yīng)增加。因?yàn)樾畔⒌拇罅坑咳?會使學(xué)生失去思考和消化的時(shí)間,這樣容易使學(xué)生注意力容易分散,精神不集中。反之,如果人為放慢講課速度,減少知識容量,整個(gè)課堂就會顯得松散、脫節(jié)。怎樣克服這個(gè)矛盾,是教師應(yīng)該思考的問題。數(shù)學(xué)分析課堂上,教師可以多采用啟發(fā)式,問答式教學(xué),讓學(xué)生更多的參與到教學(xué)中去,這樣既能避免學(xué)生注意力分散,又能使整個(gè)課堂內(nèi)容充實(shí)、飽滿。

3.4從交流方式而言,單純使用計(jì)算機(jī)教學(xué),會使教師和學(xué)生的感情交流出現(xiàn)障礙

如果一名教師只是在課堂上按照自己的理解和邏輯思維講授知識,而沒有照顧到學(xué)生的反映,那么這一定是失敗的課堂。因?yàn)閷W(xué)生的認(rèn)知水平和教師的知識水平有很大的差距。如果學(xué)生的注意力全集中在電腦屏幕上,機(jī)械地觀賞顯示來的畫面和文字,而教師只是一個(gè)電腦操作員,這樣必然造成沒有師生之間情感上的交流,心靈上的溝通。學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣是學(xué)習(xí)的首要因素。如果學(xué)生某一個(gè)知識點(diǎn)沒有理解到位,而教師又沒有注意到,這樣學(xué)生就有知識脫節(jié)的現(xiàn)象發(fā)生。特別是數(shù)學(xué)分析課程,邏輯推理要求非常嚴(yán)格,學(xué)生在其中任何一個(gè)環(huán)節(jié)出現(xiàn)不理解,將會導(dǎo)致學(xué)生失去興趣,并且這種情緒帶有延續(xù)性,后果非常嚴(yán)重。另外作為一名合格的教師,并不應(yīng)該把傳授知識當(dāng)成是唯一目標(biāo),和學(xué)生的感情交流,幫助學(xué)生樹立正確的人生觀和價(jià)值觀也是非常重要的。所以,教師應(yīng)該在應(yīng)用計(jì)算機(jī)教學(xué)時(shí),必須關(guān)注學(xué)生的反映,做到緩急得當(dāng),控制計(jì)算機(jī)的使用節(jié)奏。

4 思考:結(jié)合計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)教學(xué),恰當(dāng)選擇教學(xué)內(nèi)容,探索新的教學(xué)模式

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中,結(jié)合計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng),只要應(yīng)用得當(dāng),一定會取得良好的效果的。這就需要任課教師認(rèn)真梳理教學(xué)內(nèi)容,決定哪些知識可以結(jié)合計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)輔助教學(xué),哪些知識只能通過傳統(tǒng)教學(xué)來完成。教師應(yīng)該結(jié)合目前學(xué)生的特點(diǎn),把自己和學(xué)生擺在平等的位置,讓學(xué)生對學(xué)習(xí)進(jìn)行個(gè)性化管理。教師和學(xué)生應(yīng)該做到教學(xué)相長,改變以前的一言堂教學(xué)模式,可以在合適的知識內(nèi)容上充分調(diào)動學(xué)生的積極性,做到師生共同學(xué)習(xí)這樣一種學(xué)習(xí)模式。但是目前倡導(dǎo)的“生本教育”并不適用于數(shù)學(xué)分析課程的學(xué)習(xí)。隨著科技的不斷進(jìn)步,計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展完善,計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)會越來越多的融入到數(shù)學(xué)分析教學(xué)課堂中來,效果也會越來越好。理論和實(shí)踐相結(jié)合的教學(xué)模式,一定會促進(jìn)數(shù)學(xué)分析教育的研究和發(fā)展。

5 實(shí) 例

求函數(shù)y=sinx在x=0處前10項(xiàng)的麥克勞林級數(shù)展開式。

傳統(tǒng)做法是必須計(jì)算sinx的1到10階導(dǎo)數(shù),并且還需要計(jì)算1到10的階乘,再代入已有公式,非常浪費(fèi)時(shí)間。應(yīng)用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng),則可以節(jié)省大量時(shí)間。

命令如下:

Symsx;

f=sin(x);

taylor(f,x,10,0)

運(yùn)行結(jié)果為:

ans=

x-1/6*x3+1/120*x5-1/5040*x7+1/362880*x9

6 數(shù)學(xué)分析教學(xué)中建議結(jié)合計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)教學(xué)的內(nèi)容

數(shù)列極限概念;函數(shù)極限概念;導(dǎo)數(shù)的幾何意義;羅爾定理與拉格朗日定理;一元函數(shù)泰勒公式的有限項(xiàng)展開;函數(shù)圖像的討論;定積分的概念;定積分的計(jì)算;平面圖形的面積;由平行截面面積求體積;平面曲線的弧長與曲率;旋轉(zhuǎn)曲面的面積;定積分在物理中的某些應(yīng)用;定積分的近似計(jì)算;無窮積分的計(jì)算;瑕積分的計(jì)算;函數(shù)的冪級數(shù)展開;傅里葉級數(shù);多元函數(shù)的方向?qū)?shù)與梯度;多元函數(shù)的泰勒公式與極值問題;第一型曲線積分的概念;第二型曲線積分的概念;二重積分的概念;三重積分的概念;曲面的面積;質(zhì)心;轉(zhuǎn)動慣量;第一型曲面積分的概念;第二型曲面積分的概念;高斯公式。

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IntegratingcomputeralgebrasystemintoMathematicalAnalysisteaching

MENGXianji

(School of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China)

Mathematical analysis, an essential course for math majors in college, has a great effect on the learning of other courses of further study. Therefore teachers need to think deeply and creatively about how to conduct the course effectively. This paper discusses how to integrate computer algebra system into mathematical analysis teaching. As an important cognitive tool in mathematical analysis teaching, computer algebra system has a great impact on both teachers and students. It not only works as an efficient computational and graphing tool but also serves as a strong guarantee for mathematical experiments and other practice teaching, which contributes a great deal to cultivating students’ mathematical thinking. Applying computer algebra system to mathematical analysis teaching enables students to acquire mathematical knowledge and at the same time inspire their innovation and improve practical ability.

computer algebra system; mathematical analysis teaching; integration

2014-06-06。

遼寧省普通高等學(xué)校本科教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目(UPRP20140526)。

孟憲吉(1973-),男,遼寧沈陽人,沈陽師范大學(xué)副教授,碩士。

1673-5862(2014)04-0545-04

G642

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.019