孫維瑾， 費?？?/p>

(裝甲兵工程學院基礎部，北京 100072)

無論是衛(wèi)星導航，還是現(xiàn)在正在研究中的X射線脈沖星導航(X-ray pulsar-based NAVigation, XNAV)，都是測量光波從導航星座(衛(wèi)星或脈沖星)到達觀測者的傳播時間，即光子到達時間(Time Of Arrive,TOA)。由于光速不變性，TOA等價于導航星座到觀測者的距離, 姑且將這種導航方法稱作TOA定位法。從純粹廣義相對論的觀點來看，TOA定位法中測量的系統(tǒng)時間(如BDT或GPST)屬于坐標時間。在考慮引力作用的情況下，坐標時間并不滿足光速不變性，于是將引力對測量時間的影響(相對論效應)作為一種修正加進去，因此TOA定位法實際上是一種半經典理論，是經典力學與相對論的混合體。

原則上說，直接在相對論框架內建立導航理論是完全可行的，有不少學者在這方面作了深入探討。2002年，Rovelli[1]在深入研究衛(wèi)星導航理論過程中，首先將相對論測量理論引入導航系統(tǒng)，提出GPS中的可觀測量是指固有量而并非坐標量，認為應該借鑒相對論天體物理的研究方法，在4維零標架中討論光傳播問題，因為零標架的一個明顯特性是與坐標變換無關；Blagojevic等[2]隨后建立了一種共軛零標架，將對應坐標稱為GPS典型坐標；Coll等[3-5]將這一方法系統(tǒng)化，提出4個發(fā)射體的固有時間構成4維時空的光坐標或發(fā)射坐標，可以為任意觀測者定位導航；文獻[6-8]進一步完善了這一理論。由此建立起來的理論體系稱之為相對論定位系統(tǒng)(Relativistic Positioning System, RPS)，它是以相對論測量理論為基礎的一種全新的導航方法。

RPS相對于TOA定位法有一個明顯的優(yōu)點，就是測量的不是坐標時間而是發(fā)射體的固有時間，在脈沖星導航等深空導航領域得到實際應用是有可能的，這里就此作一些探討。

1 相對論定位系統(tǒng)基本原理

〈xa,xa〉-2〈xa,x〉+〈x,x〉。

(1)

圖1 發(fā)射體的世界線與觀測者的過去光錐

以下取c=1的自然單位制。假設發(fā)射體的3維速度va為常量，則4維閔氏速度也是常量，即

(2)

積分得

(3)

(4)

時空間隔變?yōu)?/p>

(τa)2-2τa〈ua,(x-xa(0))〉+〈(x-xa(0)),(x-xa(0))〉=0。

(5)

令觀測者4維位置矢量與發(fā)射體初始位置矢量的差值為

za(x)=x-xa(0)，

(6)

則有

(τa)2-2τa〈ua,za〉+〈za,za〉=0。

(7)

由此解出

(8)

式(8)表明發(fā)射體的固有時間是觀測者坐標的函數(shù)，即

τa=τa(zμ)，a=1,2,3,4。

進一步將其視為一種坐標變換，只要變換矩陣的行列式不為0，則

zμ=zμ(τa)，μ=0,1,2,3。

即觀測者坐標也唯一地由τa所確定。因此可以將4個發(fā)射體的固有時間(τa|a=1,2,3,4)當成觀測者坐標，稱之為光坐標(light coordinates)或發(fā)射坐標(emission coordinates)。

既然光坐標構成坐標系，就應該有相應的標架和度規(guī)。對式(8)求微分，可得到

(9)

(10)

不難求出度規(guī)張量的對角元素

(11)

因此光坐標{τa}構成零標架。

2 脈沖星導航的相對論定位法

上面的討論是假設發(fā)射體的3維速度va為常量，由此可見：應用RPS的前提條件是導航星座應該具有常速度，而X射線脈沖星正好具備這一條件，它在太陽系質心參考系(Bary Centric Reference System, BCRS)中的速度(自行)具有確定值(在短時間內甚至可以視為靜止)。以BCRS為基準對XNAV的相對論定位法進行探討，以下在2維時空得到的結論可以很方便地推廣到4維時空。

在BCRS中引入2維Newman-Penrose標架{ω1,ω2}及其坐標{X1,X2}={U,V}，與2維正交標架{e0,e1}及其坐標{t,x}的關系分別為

(12)

(13)

根據式(12)和(13)，可知新標架下的度規(guī)和線元分別是

(14)

dτ2=gabdXadXb=2dUdV。

(15)

由于度規(guī)的對角分量g11=g22=0，故{ω1,ω2}是零標架。

設脈沖星a(a=1,2)在BCRS中的速度va=const，根據式(2)和(13)，可知脈沖星的閔氏速度矢量在零標架下的分量也為常量，即

(16)

式中：

是va對應的閔氏時空雙曲角[9]。設脈沖星的初始坐標分別為(Ua(0),Va(0))，對式(16)進行積分，得到它們的坐標為

(17)

根據發(fā)射點(Ua,Va)與接收點(U,V)的時空間隔

2(U-Ua)(V-Va)=0，

(18)

解出U=Ua或V=Va。如果航天器位于2顆脈沖星之間，則接收點的坐標為

(19)

式(19)也可以根據式(8)求出。將

代入式(8)，求出脈沖星a的固有時，即

τa=γa[(Δta-vaΔxa)-|vaΔta-Δxa|]，

(20)

于是得到

(21)

在式(21)中分別取a=1,2，就得到式(19)。

2維時空的相對論定位法如圖2所示，下面通過圖2作具體說明。

圖2中：{t,x}和{U,V}分別為正交標架和零標架；γ、γ1、γ2分別為航天器和2顆脈沖星的世界線。由于脈沖星做勻速運動，脈沖星世界線是2維時空的斜直線，與時間軸的夾角θ=arctanv(取c=1)反映了脈沖星在BCRS中的速度，圖中顯示的是

圖2 2維時空的相對論定位法

脈沖星1和2分別沿x軸正向和負向運動。設初始時刻t=0時，τ1=τ2=0，2顆脈沖星的空間坐標分別為x1(0)和x2(0)，則變換到零標架為

脈沖星不斷沿自身的光錐發(fā)射光波，這些波矢量構成坐標系{U,V}的坐標網格(grid)，每一條波矢量就是一條坐標線，對應于一顆脈沖星的固有時間。例如：設2顆脈沖星的固有周期分別是T1、T2，它們每隔一個周期發(fā)射一個脈沖，則圖中過P1、P2點的波矢量對應的固有時分別為τ1=5.0T1，τ2=4.0T2。如果航天器位于這2條波矢量的交點，則它對應的光坐標就是(τ1,τ2)。

3 RPS定位法與TOA定位法的比較

利用坐標變換式(13), 將式(19)變換到通常的正交系{t,x}，則有

(22)

在2顆脈沖星的速度(v1,v2)和初始位置(x1(0),x2(0))已知的情況下，航天器的時空坐標(t,x)由光坐標(τ1,τ2)來確定，這是相對論定位方法。

(23)

(24)

與式(22)比較，航天器的時空坐標可表示為

(25)

如果航天器攜帶高精度原子鐘可以確定光子到達航天器的時間t，則只需測量一顆脈沖星的光子到達SSB的時間tB1或tB2，即可確定航天器的位置，即

x=tB1-t=t-tB2。

(26)

這就是不考慮引力作用情況下的TOA定位方法。

由于式(25)和(26)可從式(22)導出，因此在理論上RPS與TOA定位法是統(tǒng)一的；但由于測量對象不同，其在實踐中是有區(qū)別的。

TOA定位法需要已知tB，它們是指航天器接收到光脈沖的同時假想SSB接收同一脈沖的坐標時間。在實際測量中，設航天器在某一時刻測得特定脈沖星觀測輪廓的相位是φ(t)，因為SSB接收的脈沖星標準輪廓的固有頻率fP和初始相位φ(0)是已知量，根據Taylor級數(shù)展開式可以推算出SSB的標準輪廓在任意時刻的相位，當相位與φ(t)相同時的時間即為tB，由下式確定[10-11]：

(27)

式中：fP(k)為頻率的k階時間導數(shù)。由此可見：光子到達SSB的時間并非直接測量值，而是由某一參考時刻的標準輪廓推算出來的。

在RPS中，tB只是中間變量(或者根本不需要)。由式(24)可知：它們可由脈沖星的固有時及其初始位置來確定。而脈沖星的固有時乃是直接測量值，可以根據航天器接收的脈沖星觀測輪廓的相位φ(t)(包含整波數(shù))以及脈沖星固有周期TP直接得到，即

τ(t)=φ(t)·TP，φ(0)=0。

(28)

這就是RPS的優(yōu)越性。

4 結論

1) 相對于TOA定位法，RPS使得時間測量較為簡單可靠，它只需測量觀測輪廓的相位，實際上就是計算對應于脈沖星固有時的波數(shù)，不必以標準輪廓的周期為標準進行轉換，并與標準輪廓進行比較。

2) 因為RPS測量的不是坐標時間，在工程上不必建立嚴格的時間系統(tǒng)，但仍需建立空間系統(tǒng)，如太陽系質心系或地心系的空間坐標系。

3) 在TOA定位法中，脈沖星的方向數(shù)據必須精確，而脈沖星的速度和初始距離對導航的影響不大。但采用RPS必須精確給出這2種參量，而天文觀測數(shù)據難以達到導航所需的精度，這可以通過實驗的方法來解決：如果精確測量2組數(shù)據(t,x,τ1,τ2)，根據式(22)可得到4個方程，由此即可解出2個脈沖星的速度和初始位置(v1,v2,x1(0),x2(0))。

以上討論沒有涉及引力場的影響，下一步將對此進行研究。

參考文獻：

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