要俊杰, 姚志軍, 潘高田, 張 昌, 黃一斌

(1. 裝甲兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部， 北京 100072； 2. 63863部隊， 吉林 白城 137001; 3. 裝甲兵工程學(xué)院裝備指揮與管理系， 北京 100072)

在導(dǎo)彈對空中目標(biāo)的命中精度試驗中，采用的是飛行的動態(tài)靶標(biāo)。對每個不同空域僅打1發(fā)導(dǎo)彈的制導(dǎo)命中精度檢驗方案的設(shè)計問題，實際是復(fù)雜總體下檢驗方案的設(shè)計問題[1]。僅以命中次數(shù)和總的射擊次數(shù)之比作為定數(shù)試驗中的命中率是不夠精確的，因為命中情況不僅與武器性能以及空域的高度、距離有關(guān)，也與目標(biāo)的大小有關(guān)。目標(biāo)尺寸越大，命中率就越高，因此描述武器命中精度應(yīng)與武器各個方向[2]命中誤差的分布有關(guān)。不同空域的命中誤差分布是不同的，試驗前給定對各個空域的命中精度要求，通常命中精度高的空域靶標(biāo)半徑應(yīng)小一些，命中精度低的空域靶標(biāo)半徑應(yīng)大一些。但實際中為了減少試驗的復(fù)雜性，通常各空域會采用半徑相同的圓柱形靶標(biāo)。因此，如何設(shè)計適當(dāng)?shù)陌袠?biāo)半徑，以體現(xiàn)武器的命中精度，以及在導(dǎo)彈未命中目標(biāo)時，如何根據(jù)導(dǎo)彈與目標(biāo)最近時刻的相對位置及空域特征對命中精度進行評判，解決基地和研制方關(guān)于檢驗結(jié)論的爭議是本文研究的重點。

1 導(dǎo)彈命中概率計算的簡化

在對目標(biāo)進行打擊時，導(dǎo)彈和目標(biāo)同時在空中飛行，通過采集導(dǎo)彈和目標(biāo)交匯前后的數(shù)據(jù)，分析擊中目標(biāo)情況。在彈體坐標(biāo)系下，以導(dǎo)彈為坐標(biāo)原點，將其視為靜止，目標(biāo)在相對運動，對測試數(shù)據(jù)進行相對坐標(biāo)系變換時，需同時變換導(dǎo)彈命中誤差服從的分布。變換后導(dǎo)彈命中誤差服從正態(tài)分布，其徑向誤差均方差為σx，橫向誤差均方差分別為σy、σz。定量描述武器命中精度就是在彈體坐標(biāo)系下，在目標(biāo)所占空間區(qū)域內(nèi)時命中誤差的概率密度函數(shù)進行三重積分，求出的概率即為命中概率[3]。不同空域的命中誤差分布的方差(與命中精度要求有關(guān))不同。顯然，這個命中概率既能反映導(dǎo)彈的命中精度，也能反映目標(biāo)形狀及體積，因此能更真實地反映導(dǎo)彈的命中精度。但由于命中概率的三重積分難以實現(xiàn)[3]，因此應(yīng)將其合理轉(zhuǎn)化為以二維正態(tài)分布進行二重積分來計算概率。

1.1 三維正態(tài)分布向二維正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化

1.2 以彈著點為中心的坐標(biāo)系變換

在導(dǎo)彈與目標(biāo)距離較近時，測得導(dǎo)彈坐標(biāo)點列和運動目標(biāo)的坐標(biāo)點列，選取導(dǎo)彈與目標(biāo)距離最近的時刻進行相對坐標(biāo)系變換，視導(dǎo)彈為靜止，目標(biāo)在相對運動，導(dǎo)彈中心點為相對坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點oi，n個不同空域的目標(biāo)中心相對于各個坐標(biāo)原點的坐標(biāo)為(xi,yi,zi)，i=1,2,…,n。這里(xi,yi,zi)是目標(biāo)中心與彈道中心距離最近時刻的相對坐標(biāo)。

定理1：在目標(biāo)中心與導(dǎo)彈中心距離最近的時刻，導(dǎo)彈中心B與目標(biāo)中心A一定在與直線彈道軌跡[6]垂直的平面上。

證明：如圖1所示，在目標(biāo)中心與導(dǎo)彈中心距離最近的時刻，設(shè)目標(biāo)中心在A點，過A點垂直于彈道的平面為π，導(dǎo)彈軌跡距離目標(biāo)最近的點為B，若B點不在平面π上，由直角三角形勾股玄定理可知B點不是距離A點最近的點，那么一定有另外一個點B′距離A最近，且B′在平面π上。

經(jīng)過坐標(biāo)系變換后，就可以只利用橫向誤差(yi,zi)來進行命中精度檢驗。

圖1 目標(biāo)中心與彈道軌跡位置關(guān)系

1.3 目標(biāo)圓柱體在彈體坐標(biāo)系的位置

為計算對目標(biāo)的命中概率，應(yīng)分析圓柱體目標(biāo)在彈體坐標(biāo)系中會以哪些形式出現(xiàn)。假定目標(biāo)中心和導(dǎo)彈中心重合，圖2、4、6為目標(biāo)圓柱在彈體坐標(biāo)系中的典型位置情況，圖3、5、7為目標(biāo)圓柱體在彈體坐標(biāo)系oyz坐標(biāo)面上的投影，即計算命中概率時進行二重積分的區(qū)域。

圖2、4是目標(biāo)圓柱體在彈體坐標(biāo)系中的2種極限位置情況，圖6是目標(biāo)圓柱體在彈體坐標(biāo)系中的一般位置情況。采用圖6對目標(biāo)命中概率進行計算的結(jié)果介于圖2、4對目標(biāo)命中概率進行計算的結(jié)果之間。由于正態(tài)分布經(jīng)過正交變換后仍服從正態(tài)分布[1]，因此可通過正交變換將對命中概率的三重積分轉(zhuǎn)化為二重積分。此時，圖6的積分區(qū)域就可以轉(zhuǎn)化為二維區(qū)域，即圖3或圖5的形式，只是σy和σz發(fā)生了變化[7]。

圖2 目標(biāo)圓柱軸與橫向軸oz重合

圖3 投影區(qū)域為長方形

圖4 目標(biāo)圓柱軸與徑向軸ox重合

圖5 投影區(qū)域為圓形

圖6 目標(biāo)圓柱軸與坐標(biāo)軸均不重合

圖7 投影區(qū)域為兩邊平行兩邊弧線

通過這種方法可以進行定型試驗中防空導(dǎo)彈對一般空域的制導(dǎo)精度計算和落入概率評定。在圖3、5、7中，以坐標(biāo)原點為圓心，可以做一個圓(圖中用虛線表示，圖5中與投影圓重合)。這個圓的半徑就是靶標(biāo)的半徑，對目標(biāo)的命中精度問題就是對這個圓的命中概率問題，而計算這個概率與導(dǎo)彈的橫向偏差σy、σz有極大關(guān)系。

2 檢驗方案的設(shè)計

在試驗時，會出現(xiàn)這樣的情況:雖然導(dǎo)彈沒有擊中目標(biāo)，但分析實際測試數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)彈飛過目標(biāo)的瞬間彼此間距離非常近。此時,由于采用固定尺寸靶標(biāo)，基地和研制方參試人員對這種情況就很容易產(chǎn)生爭議，難以說清是否算作擊中。因此，希望設(shè)計一個臨界值L，當(dāng)靶標(biāo)和導(dǎo)彈接近的最短距離≤L時，算作擊中；否則算作沒擊中。

2.1 命中誤差分布的方差檢驗效率函數(shù)

通過坐標(biāo)變換得到坐標(biāo)yi～N(0,σyi0),zi～N(0,σzi0),i=1,2,…,n，對命中精度的檢驗就是對不同空域的復(fù)合總體的橫向偏差(σyi0,σzi0)進行檢驗。類似于文獻[3]的討論,筆者只考慮7發(fā)1不中檢驗問題的效率函數(shù)，首先提出檢驗的假設(shè)問題。

H0:σi≤σi0。

H1:σi≥σi1。

對于每個空域目標(biāo)相對彈著點中心的偏差坐標(biāo)(yi,zi)，有

(1)

由于各空域的獨立性，所有yi和zi(i=1,2,…,7)間均相互獨立。

(2)

這里

β(σ)=β(σy1,σy2,…,σy7;σz1,σz2,…,σz7),

β(σ0)=β(σy10,σy20,…,σy70;σz10,σz20,…,σz70),

β(σ1)=β(σy11,σy21,…,σy71;σz11,σz21,…,σz71)。

第i發(fā)導(dǎo)彈的命中概率[9]為

(3)

未命中目標(biāo)的概率為

(4)

在檢驗過程中，當(dāng)H0成立時，β(σ0)為導(dǎo)彈精度達到要求(產(chǎn)品為合格事件)的概率。

定理2:對于概率函數(shù)β(σ)變量的任一分量σyi或σzi，當(dāng)只有一個σyi→∞(σzi→∞)時，β(σ)是σyi(σzi)的單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)7組變量中至少有2組的變量σyi→∞,且σyj→∞(σzj→∞),i≠j時，β(σ)單調(diào)減且趨于0。

由于k→∞，則此式必趨向于0?？紤]第2項中

由于k→∞，則此式也必趨向于0。

由鑒別比k與σi的關(guān)系可知：當(dāng)k增大時，σi增大，從而β(σ)也是k的單調(diào)減函數(shù)。因此β(σ)可作為檢驗問題的效率函數(shù)[8]。

2.2 檢驗方法

為了研究檢驗方案的拒真風(fēng)險α和納偽風(fēng)險β，考慮求解下列問題。

H0:σyi=σyi0;σzi=σzi0。

H1:σyi=σyi1;σzi=σzi1。

β(σ0)≥1-α，

(5)

β(σ1)≤β，

(6)

σ1=kσ0。

當(dāng)H0成立時，式(5)變?yōu)?/p>

(7)

當(dāng)H1成立時,式(6)變?yōu)?/p>

(8)

求解非線性不等式(7)、(8)，可以得到a和k。

2.3 檢驗的臨界值

采用搜索求根的方法，對于n(n=4,5,6,7,8)發(fā)1不中試驗,計算試驗方案真實的拒真風(fēng)險α′、納偽風(fēng)險β′及臨界值參數(shù)，如表1-5所示。

表1 4發(fā)1不中

表2 5發(fā)1不中

表3 6發(fā)1不中

表4 7發(fā)1不中

表5 8發(fā)1不中

3 靶標(biāo)半徑的確定

為使試驗操作簡單易行，可以把目標(biāo)圓柱的半徑設(shè)置為

(9)

4 結(jié)論

本文具體給出了導(dǎo)彈命中精度檢驗中靶標(biāo)半徑的確定方法，同時給出了對檢驗過程中測試數(shù)據(jù)科學(xué)評定的理論依據(jù)和方法，為基地命中精度試驗的定量定性分析提供了依據(jù)，對導(dǎo)彈命中精度的檢驗問題具有重要意義。研究結(jié)果還有助于設(shè)計使用檢驗功效高、2類風(fēng)險小的定型試驗方案。

參考文獻：

[1] 閆章更,濮曉龍.現(xiàn)代軍事抽樣檢驗方法及應(yīng)用[M].北京:國防工業(yè)出版社,2008:48-51.

[2] 李新國,方群.有翼導(dǎo)彈飛行動力學(xué)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2005:30.

[3] 楊雷,潘高田,王勇杰.小樣本三維正態(tài)分布整體檢驗射擊精度方法研究[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報,2005, 19(1): 26-28.

[4] 汪榮鑫.數(shù)理統(tǒng)計[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1986:176-192.

[5] 張堯庭,方開泰.多元統(tǒng)計分析引論[M].北京:科學(xué)出版社,1997:66.

[6] 潘高田,梁帆,張昌.基于單發(fā)地空導(dǎo)彈測試數(shù)據(jù)的武器精度檢驗[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報, 2011, 25(6): 50-52,92.

[7] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1978:240-243.

[8] 陳家鼎,鄭忠國.概率統(tǒng)計[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007:339.

[9] 王勇杰,潘高田,楊雷.二維正態(tài)分布不同方差小樣本檢驗射擊精度方法研究[J].裝甲兵工程學(xué)院學(xué)報,2004, 18(4):19-21.