王迎佳，魏 濤，岑少起，秦東晨

（1.鄭州大學機械工程學院，河南鄭州450002；2.河南工程學院計算機學院，河南鄭州451191）

0 引言

流體徑向滑動軸承具有承載能力強、回轉精度高、壽命長等突出優(yōu)點，在航空航天和高速精密加工機床主軸支承系統(tǒng)等高速、超高速旋轉機械上有著廣泛應用。

高速軸承油膜內復雜的流態(tài)是決定軸承靜、動態(tài)性能的重要因素。對于工業(yè)上實際應用的軸承，由于結構要求，在同一軸承油膜中雷諾數相差較大，導致層流和紊流很可能同時存在于同一軸承油膜中，即出現了兩種流態(tài)的混合狀態(tài)［1］。雖然從20世紀60年代以來，高速滑動軸承的潤滑理論研究（包括層流理論和完全紊流理論）取得了突飛猛進的發(fā)展［2－4］，各國學者對此進行了大量深入的研究［5－12］。但目前的軸承潤滑研究中大多忽略雷諾數的變化而假定油膜處于單一流態(tài)下，即要么層流，要么紊流，并依據層流或紊流潤滑理論來計算軸承靜、動態(tài)特性。顯然，這很可能與實際情況不符，計算出來的油膜特性也會存在誤差。而作為轉子支承系統(tǒng)中的關鍵部件，滑動軸承的承載能力、摩擦功耗以及溫升情況是影響軸承潤滑效果、運轉精度、穩(wěn)定性的重要因素。因此，準確判定軸承內油膜流態(tài)分布是正確分析軸承特性的重要前提。

本文以高速動壓徑向滑動軸承為研究對象，基于層流、紊流潤滑理論，將雷諾方程、能量方程和溫黏關系方程有機結合，從而推導出油膜中多流態(tài)共存時的控制方程組，建立了層流、紊流同時存在于同一軸承油膜時的滑動軸承靜態(tài)特性二維模型；并基于差分法編程求解方程組，分析主軸轉速、偏心率等參數對油膜雷諾數、壓力、溫度分布以及承載力、摩擦力等靜態(tài)特性的影響，形成了混合流態(tài)下動壓滑動軸承靜態(tài)特性的分析方法。

1 流態(tài)判據、控制方程及邊界條件

1.1 油膜流態(tài)判據

雷諾數Re用來表征黏性流體的流動特性，Re＝Uρh／μ，其中，U、ρ、h、μ分別為潤滑油的流動速度、密度、厚度和動力黏度。通過比較其與臨界雷諾數Rec（Rec＝41.1（r／c）0.5，其中，r為軸頸半徑；c為半徑間隙）的相對大小來判定流體的流態(tài)是層流還是紊流。當油膜實際雷諾數Re小于Rec時為層流；當Re大于或等于Rec時為紊流。

在某些工況下，主軸轉速較高，楔形油膜厚度相差較大，而且隨著潤滑油溫度的升高，油黏度持續(xù)變小，會使流體各點雷諾數是個變量。則流體內非?？赡軙霈F這樣的情況：某些區(qū)域內油膜雷諾數Re小于Rec，為層流，而某些區(qū)域內Re大于或等于Rec，出現了紊流，也即在油膜中出現了層流、紊流共存的混合流態(tài)。

1.2 雷諾方程

設潤滑油為不可壓縮牛頓流體，忽略慣性力影響。假設軸承運轉過程中，軸頸軸線始終與軸承軸線平行，即油膜厚度h不隨軸向坐標變化。則由文獻［4］可知：可導出層流和紊流流態(tài)下的二維無量綱雷諾方程：

層流流態(tài)下，

紊流流態(tài)下，

1.3 能量方程

本文對滑動軸承的熱分析基于以下基本假設：（Ⅰ）絕熱流動；（Ⅱ）潤滑油在進油處的溫度最低；（Ⅲ）潤滑油密度和熱容恒定不變，黏度只是溫度的函數。引入T＝T0，T、T0為潤滑油溫度和初始溫度，可得到層流和紊流流態(tài)下二維無量綱能量方程如下：

層流流態(tài)下，

紊流流態(tài)下，

其中，A1＝2μ0Ur／（ρcvT0c2），cv為潤滑油比熱；A2＝A1／4。

1.4 溫黏方程

黏度隨溫度的變化是潤滑油十分重要的特性。常用的黏度與溫度的關系式有Reynolds溫黏關系式、Slotte溫黏關系式、Vogel公式等，本文使用Reynolds溫黏關系式，化為無量綱形式為：

大多數潤滑油的動力黏度隨溫度的升高很快降低，而黏度直接影響雷諾數的大小，進而影響流態(tài)的判定。因此，在高速軸承潤滑特性分析中，不能忽略溫黏關系。

1.5 油膜厚度方程

圖1為軸承結構示意圖，如圖1所示，由于軸頸軸線與軸承軸線平行，半徑間隙c遠小于軸頸半徑r，則油膜厚度表達式為：

1.6 邊界條件

圖1 軸承結構示意圖

雷諾邊界條件（亦可稱為自然破裂邊界條件）與實際測量結果比較接近，是應用更廣而又比較合理的邊界條件［4］。在進油邊界上，即φ＝0時，取為最大油膜間隙處，因動壓滑動軸承中供油壓力通常較小，可取壓力為零，即＝0；軸承兩端邊界和外界直接接觸，壓力也取為零；而油膜的終止邊是油膜自然破裂的位置，位于最小油膜間隙之后發(fā)散區(qū)域內的某點，令此處φ＝φt＝0，且＝0。本文采用雷諾邊界條件，但油膜終止位置必須通過迭代計算得到，從而增加了求解的難度。

2 求解方法

本文采用有限差分法求解由前述控制方程所組成的方程組。圖2為油膜差分網格劃分示意圖，如圖2所示，將油膜劃分為適當數量的網格，油膜周向用i編號，軸向用j編號，每個節(jié)點的位置用下標（i，j）二維編號表示。在周向共均勻劃分為N格，i的編號就從1到（N＋1），每一小格的寬度為△1＝ 2π／N；在軸向共均勻劃分為M格，j的編號就從1到（M＋1），每一小格的寬度為△2＝2／M。則i，j即為節(jié)點（i，j）壓力值i，j即為節(jié)點（i，j）溫度值。

圖2 油膜差分網格劃分示意圖

為節(jié)省篇幅，本文僅列出采用五點差分格式離散紊流流態(tài)下的雷諾方程的方法，層流流態(tài)下的雷諾方程和兩種流態(tài)下的能量方程的離散方法基本相同，不再贅述。經系列推導，化簡得紊流雷諾方程為：

式（7）適用于所有內節(jié)點（i＝2，…，N；j＝2，…，M），所以各節(jié)點的式（7）構成（N－1）（M－1）個關于j的線性非齊次代數方程，由此方程組可以解出各內節(jié)點的壓力值。

基于Matlab軟件采用超松弛迭代法編程求解由離散后的雷諾方程、能量方程及計入溫黏關系、邊界條件所得到的控制方程組。先依據Reynolds邊界條件將壓力、溫度和黏度初值賦予各邊界節(jié)點，所有內節(jié)點壓力取為零，作為首次迭代的初值；然后按照j＝2，…，M的次序逐行計算，而每一行又按i＝1，…，N逐點計算壓力值。每算出一個壓力新值，即取代該點的壓力舊值。并將壓力值為負數的節(jié)點壓力值改為零。然后，將這些壓力值代入能量方程以及溫黏方程中求得各點溫度、黏度的近似值，從而得到第2次迭代的近似結果。一直迭代下去，直至滿足收斂條件，停止迭代，輸出結果。

3 數值計算結果及分析

3.1 軸承的基本尺寸和計算參數

本文以普通圓柱動壓徑向滑動軸承為研究對象，軸承結構如圖1所示?；窘Y構尺寸為：軸頸半徑r＝50 mm，半徑間隙c＝0.15 mm，寬徑比l／d＝1。潤滑參數為：供油溫度T0＝40℃，溫黏系數α＝0.032 K－1，潤滑油初始黏度μ0＝0.038 4 Pas，密度ρ＝860 kg／m3，熱容cv＝1 600 J／（kgK）。工作參數為：軸頸轉速n＝25 000 r／min，偏心率ε＝0.1～0.8，臨界雷諾數Rec＝750。

3.2 雷諾數分布

圖3a為不同偏心率條件下軸向中間平面內（λ＝0）雷諾數沿周向的分布。由前所述，通過對比各點實際雷諾數和臨界雷諾數的相對大小，可判斷此處的流態(tài)。由圖3a可見：各偏心率下油膜內基本處于層流、紊流共存的情況，特別在大偏心（ε＝0.6～0.9）情況下，沿周向流態(tài)會發(fā)生多次轉變。

由圖3a可知：雷諾數曲線在某點附近數值非常接近，取其對應的周向角度為φz，則在區(qū)間［0，φz］內各點偏心率越小雷諾數越小，在區(qū)間［φz，φt］內各點偏心率越小雷諾數越大，大偏心時越過最小油膜厚度處后，黏度減小較多而使雷諾數快速增大。本工況下φz≈77.9°。

3.3 壓力分布

圖3b和圖3c分別為不同偏心率下中間平面內沿周向的壓力分布曲線和壓力峰值所在軸向平面上的壓力分布曲線。在各流態(tài)轉換處，壓力連續(xù)但壓力梯度不連續(xù)，但由圖3a可看出：雷諾數變化幅度不大，且油膜厚度連續(xù)，所以圖3b和圖3c中這種梯度不連續(xù)現象實際存在但并不明顯。隨偏心率的增大油膜壓力峰值增大，如偏心率ε＝0.8比ε＝0.1時壓力峰值高近21倍，壓力峰值出現的位置處于油膜收斂區(qū)并逐漸向最小油膜厚度處移動。壓力從零增大到峰值的過程中變化較為平緩，越過峰值后即迅速減小到零，這與楔形油膜壓力的實際變化規(guī)律一致［4］。偏心率越大，油膜在越過最小油膜厚度處后越早破裂，油膜完整區(qū)域越小。由圖3c可看出：沿軸向壓力呈拋物線形分布，隨偏心率的增大，軸承端部壓力梯度逐漸增大。

圖3 雷諾數、壓力、溫度和黏度沿軸向和周向的分布

3.4 油膜溫度、黏度分布

圖3d和圖3e分別為不同偏心率下中間平面上沿周向各點溫度分布曲線和φ＝π處軸向平面上的溫度分布曲線，圖3 f為中間平面周向黏度分布曲線。由圖3d～圖3 f可以看出：相同條件下油膜沿周向溫度逐漸升高，前半段各偏心下溫升值比較接近，大約在20℃左右，而后半段偏心越大升溫越快，如ε＝ 0.1時升溫近12℃，ε＝0.8時迅速升溫近52℃；而溫度沿軸向變化則平緩的多，中間平面溫度稍低，接近軸承兩端的位置溫度稍高，但相差不大，如ε＝0.8時，中間比兩端溫度低2.1%，即2.29℃，隨著偏心率的減小，這種溫度差異越來越小，當ε＝0.1時溫差為0.04℃。這說明油膜沿軸向溫度變化與偏心率、主軸轉速有關，但與絕對油溫相比數值較小，在近似計算中也可認為溫度沿軸向不變，這與文獻［4］中的結論相似。沿圓周方向，黏度隨溫度的升高而持續(xù)減小，兩者滿足Reynolds溫黏關系。小偏心時溫升較低，黏度減小較少，而大偏心時溫升較高，黏度減小也較多。

3.5 無量綱承載力和摩擦力

將前述求出的油膜壓力進行相應積分，即可得到無量綱承載力和摩擦力。圖4即為混合流態(tài)下油膜無量綱承載力和摩擦力隨偏心率變化的曲線，并與無視實際流態(tài)變化而僅按單一層流和單一紊流計算的特性值［4］作對比。由圖4可知：僅按單一層流和紊流計算的靜態(tài)特性參數均和混合流態(tài)計算的結果有偏差。若按單一層流計算，承載力和摩擦力被低估最高可達15.3%和48.4%；若按單一紊流計算，承載力和摩擦力被高估最大可達28.2%和124.6%。由此可見，準確判斷油膜內流態(tài)是正確得到軸承相應特性結果的重要前提。

圖4 混合流態(tài)與單一流態(tài)下承載力、摩擦力的對比

4 結論

基于層流、紊流熱流體潤滑理論，采用有限差分法對處于混合流態(tài)下的高速動壓滑動軸承進行了數值計算。通過改變偏心率得到油膜內雷諾數、壓力、溫度、黏度及承載力、摩擦力等靜態(tài)特性參數變化曲線。研究結果表明：高速時油膜內流態(tài)變化復雜；僅按單一流態(tài)計算的靜特性參數和實際情況差別較大。因此，流態(tài)的改變和熱效應對高速軸承靜態(tài)特性有著不可忽略的影響，在對軸承進行熱流體潤滑分析前，必須準確判定油膜流態(tài)分布，進而采用不同的潤滑方程組，而且不能忽略溫黏效應，才不會造成大的誤差。

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