關(guān)曉輝，宋筆鋒，李占科

（西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072）

0 引 言

外形參數(shù)化是氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)和優(yōu)化的第一步，并且對(duì)優(yōu)化過程有著十分重要的影響。由于搜索設(shè)計(jì)空間的計(jì)算量隨著設(shè)計(jì)參數(shù)的增加而呈指數(shù)增長(zhǎng)，參數(shù)化過程應(yīng)使用盡可能少的設(shè)計(jì)參數(shù)來表示幾何外形，以降低優(yōu)化過程的計(jì)算量［1－3］。

Kufan和Bussoletti提出用類別形狀函數(shù)變換（Class Shape Transformation，CST）來表示飛行器的幾何外形。這種參數(shù)化表示方法使用一個(gè)類別函數(shù)（Class Function）和一個(gè)形狀函數(shù)（Shape Function）表示飛行器的幾何外形，具有參數(shù)少和精度高的優(yōu)點(diǎn)，并且在處理一些重要的設(shè)計(jì)參數(shù)（如翼型前緣半徑、尾錐角和后緣厚度等）時(shí)十分直觀方便［4－6］。但是在對(duì)CST參數(shù)化方法進(jìn)行研究的過程中，人們發(fā)現(xiàn)這種參數(shù)化方法由于使用Bernstein多項(xiàng)式進(jìn)行形狀函數(shù)的定義，不具有局部特性，任何一部分局部外形的改變都會(huì)造成其它部位的外形變化。另外，表示復(fù)雜幾何外形時(shí)需要使用高階的Bernstein多項(xiàng)式定義形狀函數(shù)，但是過高階的Bernstein多項(xiàng)式會(huì)造成CST參數(shù)化過程的病態(tài)化，從而明顯降低表示精度［7］。

Straathof等提出使用具有局部支撐性的B樣條基函數(shù)對(duì)經(jīng)典的CST參數(shù)化方法進(jìn)行改進(jìn)，增加了一個(gè)由B樣條基函數(shù)加權(quán)和表示的修正函數(shù)（Refinement Function），從而得到類別形狀修正函數(shù)變換法（Class Shape Refinement Transformation，CSRT），并指出這種新型的參數(shù)化方法可以用于二級(jí)優(yōu)化過程中。和CST參數(shù)化方法相比，CSRT參數(shù)化方法具備了幾何外形的局部修改能力，但同時(shí)也增加了參數(shù)數(shù)量和相應(yīng)的計(jì)算量［8－9］。

本文對(duì)以上兩種參數(shù)化方法進(jìn)行對(duì)比研究，并使用CSRT方法對(duì)超聲速機(jī)翼進(jìn)行外形參數(shù)化，以此為基礎(chǔ)進(jìn)行以激波阻力最小為目標(biāo)的有約束二級(jí)優(yōu)化。本文的研究對(duì)全面認(rèn)識(shí)CSRT參數(shù)化方法和優(yōu)化超聲速客機(jī)的外形設(shè)計(jì)具有一定的參考價(jià)值。

1 基本原理

在進(jìn)行任何氣動(dòng)外形優(yōu)化計(jì)算之前，需要將相關(guān)的幾何外形使用有限數(shù)量的參數(shù)表示出來。CSRT參數(shù)化方法是由CST參數(shù)化方法發(fā)展而來的。CST參數(shù)化方法使用公式（1）表示后緣封閉的二維翼型：

式（1）中，ζ＝z／c，ψ＝x／c，x和z分別為翼型的x軸和z軸的坐標(biāo)值，c為翼型弦長(zhǎng)。（ψ）＝ψN1（1－ψ）N2是類別函數(shù)，確定CST參數(shù)化方法所表示的幾何形狀的種類。隨著N1和N2的取值不同，類別函數(shù)所表示的外形類別是不同的，如N1和N2都為1.0時(shí)，類別函數(shù)表示雙圓弧翼型；當(dāng)N1＝0.5而N2＝1.0時(shí)，類別函數(shù)表示類似NACA系列的圓頭尖尾翼型；當(dāng)N1和N2都是0.75時(shí)，類別函數(shù)表示Sears－Haack旋成體的半徑分布。（ψ）是由n階Bernstein多項(xiàng)式）加權(quán)和定義的形狀函數(shù)，如式（2）所示，它可以將翼型分解為n＋1個(gè)分翼型ζi（ψ）加權(quán)和的形式。通過調(diào)整各個(gè)分翼型的權(quán)重值bi，可以得到不同的參數(shù)向量b，CST參數(shù)化方法可以表示不同形狀的翼型。如圖1所示，定義的圓頭尖尾翼型使用3階Bernstein多項(xiàng)式進(jìn)行CST參數(shù)化分解，可以表示為4個(gè)分翼型之和的形式。

圖1 翼型的CST參數(shù)化分解Fig.1 CST parametric decomposition of the airfoil

當(dāng)b＝1時(shí)，由Bernstein多項(xiàng)式的性質(zhì)可以得到S（ψ）＝1，稱為單位形狀函數(shù)，相應(yīng)的翼型為單位翼型，即類別函數(shù)表示的基本翼型。研究表明，由于Bernstein基函數(shù)的整體性，如式（1）的這種類似Bezier曲線形式的形狀函數(shù)定義使得CST參數(shù)化方法不具有局部性質(zhì)，且設(shè)計(jì)參數(shù)的增加必然導(dǎo)致Bernstein多項(xiàng)式階數(shù)的增加，從而導(dǎo)致病態(tài)的CST參數(shù)化過程，降低表示精度。

CSRT參數(shù)化方法利用了B樣條基函數(shù)局部支撐性的特點(diǎn)，在CST方法的式（1）基礎(chǔ)上增加了一個(gè)由m＋1個(gè)k次B樣條基函數(shù)加權(quán)和定義的修正函數(shù)來克服以上缺點(diǎn)［10］。

式（3）中修正函數(shù)定義為：

其中，pj（j＝0，1，2，…，m）為引進(jìn)的修正函數(shù)權(quán)重因子，組成m＋1階參數(shù)向量p。k次B樣條基函數(shù)（ψ）是定義在節(jié)點(diǎn)向量T＝（t0，t1，…，tm＋k＋1）上的分段多項(xiàng)式，其值可使用de Boor－Cox遞推定義公式進(jìn)行確定［11］：

2 表示精度

使用CSRT方法進(jìn)行幾何外形參數(shù)化時(shí)，需要先確定n＋1個(gè)Bernstein多項(xiàng)式的參數(shù)向量b，即先進(jìn)行CST參數(shù)化；再確定m＋1個(gè)B樣條基函數(shù)的參數(shù)向量p。如圖2所示，是使用CSRT方法對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行表示的過程中得到的形狀對(duì)比。

圖2 CSRT方法對(duì)RAE2822翼型的參數(shù)化表示Fig.2 CSRT parametric representation of RAE2822airfoil

圖2中的CST參數(shù)化使用的Bernstein多項(xiàng)式階數(shù)（Bernstein Polynomial Order，BPO）為3，修正函數(shù)為5個(gè)2次B樣條基函數(shù)的加權(quán)和R42（ψ）。從圖2可以看出，3階CST方法使用4個(gè)參數(shù)，對(duì)翼型上表面的表示十分精確，但是對(duì)更為復(fù)雜的下表面曲線有較大的表示誤差。修正函數(shù)使用5個(gè)參數(shù)主要對(duì)下表面的曲線進(jìn)行了修形，使其更加接近目標(biāo)翼型曲線。

如圖3所示，是上下表面都使用9個(gè)參數(shù)的CSRT方法兩步計(jì)算過程的誤差與相同參數(shù)數(shù)量的8階CST方法的誤差對(duì)比。從圖中可以看出，CSRT方法通過修正函數(shù)獲得了局部外形修改能力，但是由于其同時(shí)使用了Bernstein多項(xiàng)式和B樣條基函數(shù)進(jìn)行參數(shù)化計(jì)算，有限的參數(shù)需要在兩步計(jì)算過程中進(jìn)行分配，導(dǎo)致每一步計(jì)算未達(dá)到其最佳的精度水平。所以在參數(shù)數(shù)量較少時(shí)，CSRT參數(shù)化方法的表示精度卻不及使用相同參數(shù)數(shù)量CST方法。

圖3 CSRT方法與CST方法的表示誤差Fig.3 Residual comparisons of CSRT and CST methods

在參數(shù)數(shù)量較少時(shí)，CSRT方法的表示精度不如CST方法那樣高，但是由于其在一定程度上繼承了CST方法參數(shù)少精度高的特點(diǎn)，所以和其它參數(shù)化方法相比，CSRT方法還是有較為明顯的精度優(yōu)勢(shì)。如圖4所示，為保持翼型上下表面都使用9個(gè)參數(shù)，共18個(gè)參數(shù)，使用CSRT方法、B樣條方法和Hicks－Henne方法對(duì)RAE2822翼型進(jìn)行最小二乘逼近的表示誤差對(duì)比。在使用B樣條方法對(duì)翼型進(jìn)行最小二乘逼近時(shí)，計(jì)算得到的誤差定義為同一參數(shù)坐標(biāo)下原翼型點(diǎn)與樣條曲線上點(diǎn)的直線距離，故圖4所示的B樣條曲線表示誤差為非負(fù)值。從圖4可以看出，在上下表面都使用9個(gè)參數(shù)的情況下，只有CSRT方法在翼型各個(gè)區(qū)域的表示精度都能夠滿足風(fēng)洞模型的精度要求。B樣條方法在其它翼型區(qū)域的表示精度很高，但是未能精確表示翼型的前緣形狀；Hicks－Henne方法對(duì)曲線較為復(fù)雜的翼型下表面后緣的表示精度較差。

圖4 不同參數(shù)化方法對(duì)RAE2822翼型的表示誤差Fig.4 Residual comparisons of different parametric methods

3 單值性

CSRT方法的參數(shù)化過程是先確定Bernstein多項(xiàng)式的參數(shù)向量b，即進(jìn)行CST參數(shù)化，在此基礎(chǔ)上計(jì)算B樣條基函數(shù)的參數(shù)向量p。關(guān)曉輝等［12］對(duì)CST參數(shù)化方法的研究表明，過高階的CST參數(shù)化過程系數(shù)矩陣是趨于病態(tài)的，相應(yīng)的表示精度也降低了，所以Bernstein多項(xiàng)式應(yīng)不高于10階。本文對(duì)CSRT參數(shù)化方法的單值性研究主要集中在B樣條基函數(shù)參數(shù)向量p的確定過程中。

線性系統(tǒng)（6）的系數(shù)矩陣記為M，其條件數(shù)直接影響線性方程組的性態(tài)。取ψj在［0.05，0.95］上平均分布，令N1＝0.5，N2＝1.0，k＝2，如圖5所示，為式（6）的系數(shù)矩陣M的條件數(shù)與CST參數(shù)化方法系數(shù)矩陣條件數(shù)隨參數(shù)數(shù)量增加而變化的對(duì)比。從圖中可以看出隨著參數(shù)數(shù)量的增加，雖然CSRT方法系數(shù)矩陣的譜條件數(shù)也在增長(zhǎng)，但遠(yuǎn)小于CST方法系數(shù)矩陣的條件數(shù)的增長(zhǎng)速率。故在一定范圍內(nèi)增加CSRT方法中B樣條基函數(shù)的參數(shù)數(shù)量，不僅增強(qiáng)了參數(shù)化方法的局部外形修改能力，且不會(huì)引起如高階CST方法那樣嚴(yán)重的病態(tài)問題。其它ψi分布情況的計(jì)算也能得到相同的結(jié)論。

圖5 參數(shù)化矩陣的條件數(shù)Fig.5 Condition number of parameterization matrix

圖6 單位翼型的三組參數(shù)Fig.6 Three sets of parameters of unit airfoil

從圖6中可以看出，由于高階CST方法的病態(tài)化，其單值性變差，計(jì)算得到參數(shù)向量與單位參數(shù)向量差別很大，這就導(dǎo)致兩組截然不同的參數(shù)確定的幾何外形卻十分相似（擬合的均方根誤差只有6.66×10－5）。在這種情況下任何基于梯度的優(yōu)化算法性能都會(huì)大大降低。CSRT方法得到的B樣條基函數(shù)參數(shù)向量十分接近單位參數(shù)向量，沒有單值性變差的問題。

由以上結(jié)果可以看出，在使用CSRT參數(shù)化方法進(jìn)行參數(shù)化表示時(shí)，應(yīng)該合理的分配Bernstein多項(xiàng)式和B樣條基函數(shù)的參數(shù)數(shù)量，使參數(shù)化過程既具有滿意的表示精度，又有靈活的局部外形修改能力。如果要增加參數(shù)數(shù)量以表示較為復(fù)雜的外形，或提高表示精度，在Bernstein多項(xiàng)式的階數(shù)已經(jīng)較高的情況下，可以適當(dāng)增加B樣條基函數(shù)的參數(shù)數(shù)量，而不必?fù)?dān)心參數(shù)化過程的病態(tài)化。

三維的CSRT和CST參數(shù)化方法對(duì)幾何外形的表示與二維外形的表示過程相似，只是需要增加一個(gè)方向上的分解與計(jì)算［13］，本文二維的條件下所得到的結(jié)論推廣到三維的條件下仍然有效。

與CST參數(shù)化方法相比，CSRT方法由于增加了額外的修正函數(shù)，如果以相同的精度表示幾何外形，需要使用更多的參數(shù)，這樣也增加了設(shè)計(jì)問題的計(jì)算量。但是修正函數(shù)使參數(shù)化方法具有了處理局部外形的能力，相應(yīng)的可以在CSRT方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行二級(jí)外形優(yōu)化，即第一級(jí)整體優(yōu)化確定Bernstein多項(xiàng)式的參數(shù)向量，第二級(jí)局部?jī)?yōu)化確定B樣條基函數(shù)的參數(shù)向量，對(duì)整體優(yōu)化所得到的外形形狀進(jìn)行局部修形［14］。

4 超聲速機(jī)翼外形二級(jí)優(yōu)化

本文使用CSRT和CST參數(shù)化方法對(duì)超聲速客機(jī)機(jī)翼進(jìn)行參數(shù)化表示，并使用遠(yuǎn)場(chǎng)組元激波阻力優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行零升激波阻力優(yōu)化［15－16］。超聲速客機(jī)翼身組合體平面形狀如圖7所示。機(jī)翼采用中等展弦比的原始機(jī)翼與前伸的很小展弦比的邊條組合而成的雙后掠機(jī)翼，這種平面形狀的機(jī)翼既可能在超聲速也在亞聲速時(shí)獲得良好的氣動(dòng)特性［17］。

圖7 翼身組合體模型平面形狀Fig.7 Planform of the supersonic transport wing－body model

機(jī)翼零升激波阻力優(yōu)化過程中，機(jī)身形狀固定不變，所以機(jī)身采用長(zhǎng)度43m，最大半徑1.3m 的Sears－Haack旋成體，使其激波阻力盡可能的小。

三維CST參數(shù)化分解通過將機(jī)翼的展向和弦向的外形變量分別表示為ni階與nj階Bernstein多項(xiàng)式加權(quán)和的方法，把整個(gè)機(jī)翼分解為若干個(gè)分機(jī)翼外形的加權(quán)和的形式。CST參數(shù)化分解形式的機(jī)翼表面坐標(biāo)如式（7）所示：

其中η＝2y／b，b為機(jī)翼翼展；方括號(hào)內(nèi)表達(dá)式為分機(jī)翼厚度分布公式；bi，j為弦向第i個(gè)Bernstein多項(xiàng)式（ψ）和展向第j個(gè)Bernstein多項(xiàng)式（η）所確定的分機(jī)翼的權(quán)重值。將式（7）中方括號(hào)中的分機(jī)翼外形表達(dá)式單獨(dú)寫出來：

公式（7）可以表示成更加簡(jiǎn)潔的形式：

式（9）中，nt為分機(jī)翼的總數(shù)量，其值為nt＝（ni＋1）（nj＋1）。為方便書寫和表示，分機(jī)翼的雙下標(biāo)（i，j）可以轉(zhuǎn)換為單下標(biāo)t，二者之間轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

如圖8所示，在展向和弦向都使用3階Bernstein多項(xiàng)式對(duì)機(jī)翼進(jìn)行三維CST參數(shù)化分解，整個(gè)機(jī)翼可以表示成16個(gè)具有不同厚度分布的分機(jī)翼之和的形式。

為了進(jìn)行第二級(jí)優(yōu)化，還需要使用B樣條基函數(shù)對(duì)機(jī)翼進(jìn)行參數(shù)化分解。CSRT對(duì)機(jī)翼的第二步參數(shù)化計(jì)算過程與第一步CST參數(shù)化類似，所不同的是把Bernstein多項(xiàng)式換成了B樣條基函數(shù)。

圖8 機(jī)翼的CST參數(shù)化分解Fig.8 CST parametric decomposition of the wing

表1 優(yōu)化結(jié)果Table 1 Optimized results

從表1可以看出，使用36個(gè)參數(shù)的CST方法結(jié)合FCE算法進(jìn)行的單級(jí)整體優(yōu)化計(jì)算可以使超聲速翼身組合體零升激波阻力系數(shù)從0.00721降低到0.00486，降低32.6%。使用相同參數(shù)數(shù)量的CSRT方法結(jié)合FCE算法進(jìn)行兩級(jí)優(yōu)化計(jì)算時(shí)，第一級(jí)整體優(yōu)化使翼身組合體的零升激波阻力系數(shù)降低到0.00504，在此基礎(chǔ)上的第二級(jí)局部?jī)?yōu)化使零升激波阻力系數(shù)進(jìn)一步降低到0.00471，與原外形相比，優(yōu)化外形零升激波阻力系數(shù)共降低34.7%，優(yōu)化效果略好于使用CST方法的單級(jí)整體優(yōu)化。

基于CSRT方法優(yōu)化后的機(jī)翼各個(gè)展向位置上的翼型與原機(jī)翼的初始翼型對(duì)比如圖9所示。

圖9 優(yōu)化翼型與原翼型對(duì)比Fig.9 Comparisons of the optimized and the baseline airfoils

機(jī)翼的內(nèi)翼部分（從翼根到機(jī)翼轉(zhuǎn)折處），其翼型的厚度增加，展向位置η＝0.1處翼型相對(duì)厚度達(dá)到了5.7%，并且最大厚度位置從初始翼型的50%弦長(zhǎng)處提前到30%弦長(zhǎng)附近。內(nèi)翼翼型的前緣厚度有很大幅度的增加，由于機(jī)翼的內(nèi)翼邊條在Ma＝2.0時(shí)是亞聲速前緣，這種前緣附近厚度的大幅增加不會(huì)導(dǎo)致激波阻力的劇增，并且有效的增加了翼根部分的容積，從而補(bǔ)充了超聲速前緣部分翼型變薄以后所減少的容積。翼型的后緣附近的厚度和后緣角有一定程度的增加，從而也加大了機(jī)翼根部的容積，但也使翼根后緣的膨脹波強(qiáng)度增大。

機(jī)翼的外翼部分（從機(jī)翼轉(zhuǎn)折處到翼梢）為超聲速前緣，從圖9中可以看出，外翼優(yōu)化翼型不僅相對(duì)厚度降低，而且翼型的前后緣附近厚度和閉合角也有很大的減小，這樣都有利于減小前緣壓縮激波和后緣膨脹波的強(qiáng)度和范圍。

在FCE激波阻力優(yōu)化過程中，只使用超聲速面積率對(duì)翼身組合體的零升激波阻力進(jìn)行計(jì)算［18］，沒有考慮升力和升至阻力，所以本文使用計(jì)算流體力學(xué)（CFD）中求解無粘性歐拉方程的方法對(duì)優(yōu)化前后翼身組合體的升力和阻力變化進(jìn)行綜合對(duì)比，同時(shí)對(duì)基于CSRT方法的FCE算法的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)。設(shè)定超聲速巡航的海拔16km，在Ma＝2.0來流條件下，優(yōu)化前后翼身組合體極曲線對(duì)比如圖10所示。其中升力不為零時(shí)的阻力為壓差阻力，由激波阻力和升至渦阻力構(gòu)成，沒有考慮摩擦阻力。

從圖10中優(yōu)化前后翼身組合體的極曲線對(duì)比可以看出，雖然FCE算法只對(duì)零升激波阻力進(jìn)行優(yōu)化，但是在升力不為零時(shí)其優(yōu)化效果仍然存在，只是隨著升力系數(shù)增大，阻力的優(yōu)化效果在逐漸減弱。對(duì)比優(yōu)化前后升力系數(shù)可以看出，優(yōu)化過程對(duì)升力影響較小，升力的變化不大。同時(shí)可以看出，F(xiàn)CE算法得到的零升激波阻力系數(shù)略大于CFD的計(jì)算結(jié)果，初始構(gòu)型零升激波阻力系數(shù)比CFD的結(jié)果大9.8%，優(yōu)化構(gòu)型零升激波阻力系數(shù)比CFD的結(jié)果大5.1%。這樣的結(jié)果與超聲速面積率只使用馬赫數(shù)進(jìn)行零升激波阻力系數(shù)計(jì)算的局限性以及本文進(jìn)行FCE優(yōu)化過程中對(duì)翼身組合體進(jìn)行截面分析和數(shù)值計(jì)算時(shí)的誤差都有關(guān)系。

圖10 優(yōu)化翼身組合體與初始構(gòu)型的極曲線對(duì)比Fig.10 Drag polar comparisons of optimized wingbody and baseline configuration

零升力的情況下，優(yōu)化翼身組合體與原翼身組合體的表面壓強(qiáng)分布對(duì)比如圖11所示。從圖中可以看出，翼身組合體的機(jī)翼經(jīng)過優(yōu)化后，其前緣激波的強(qiáng)度有了很明顯的降低，并且后緣膨脹波的強(qiáng)度和范圍也有較大的減小。

圖11 優(yōu)化翼身組合體與初始構(gòu)型的壓強(qiáng)分布對(duì)比Fig.11 Pressure comparisons of optimized wingbody and baseline configurations

5 結(jié) 論

（1）與CST方法相比，CSRT參數(shù)化方法由于增加了修正函數(shù)，達(dá)到一定的表示精度所需要的參數(shù)數(shù)量也有所增加。即便如此，和其它的參數(shù)化方法，如B樣條方法和Hicks－Henne方法相比，仍然具有參數(shù)少，精度高的明顯優(yōu)勢(shì)。

（2）隨著參數(shù)數(shù)量的增加，CSRT方法的病態(tài)化程度遠(yuǎn)低于相同參數(shù)數(shù)量的CST方法。當(dāng)CSRT方法第一步中的Bernstein多項(xiàng)式階數(shù)由于病態(tài)化問題不能再增加時(shí)，可以將更多的參數(shù)數(shù)量分配給第二步中的B樣條基函數(shù)，提高表示精度和外形局部處理能力，并且不必?fù)?dān)心參數(shù)化過程的病態(tài)化。

（3）由于使用兩步法進(jìn)行外形表示，CSRT參數(shù)化方法可以很方便的進(jìn)行兩級(jí)外形優(yōu)化計(jì)算。本文的優(yōu)化算例中，CSRT參數(shù)化方法結(jié)合FCE超聲速翼身組合體激波阻力優(yōu)化算法大幅降低了超聲速客機(jī)翼身組合體的激波阻力，其優(yōu)化效果優(yōu)于使用相同參數(shù)數(shù)量的CST參數(shù)化方法進(jìn)行的單級(jí)整體優(yōu)化。CSRT方法在二級(jí)外形優(yōu)化中的應(yīng)用并不局限于FCE優(yōu)化算法，使用其它優(yōu)化算法結(jié)合CSRT參數(shù)化方法可以進(jìn)行相似的二級(jí)優(yōu)化計(jì)算。

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