王漢封，徐勝金

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075;2.中南大學(xué)高速鐵路建造技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙 410075;3.清華大學(xué)航空航天學(xué)院，北京 100871)

0 引言

一端固定于壁面，另一端為自由端的有限長(zhǎng)柱體結(jié)構(gòu)在工程中廣泛存在，如超高層建筑、冷卻塔、懸索橋或斜拉橋橋塔等等。由于自由端后下掃流的影響，有限長(zhǎng)柱體的尾流和氣動(dòng)力特性都與二維柱體的對(duì)應(yīng)情況有顯著區(qū)別［1］。在下掃流的作用下，有限長(zhǎng)柱體的尾流中會(huì)出現(xiàn)一對(duì)對(duì)稱(chēng)的尾流渦［2-3］，使得有限長(zhǎng)柱體尾流呈現(xiàn)出顯著的三維性。下掃流具有將柱體兩側(cè)脫落的展向渦向外側(cè)分開(kāi)的趨勢(shì)，這使得有限長(zhǎng)柱體尾流中的卡門(mén)渦街比二維柱體尾流更寬，而渦脫離頻率即St數(shù)較?。?-4］。

壁面邊界層條件對(duì)有限長(zhǎng)柱體尾流也有顯著的影響，當(dāng)邊界層厚度相對(duì)較小時(shí)，其影響可忽略，尾流中的三維性主要由下掃流所控制;而當(dāng)邊界層厚度較大時(shí)，柱體尾流中會(huì)出現(xiàn)一個(gè)與下掃流相反的“上升流”［3，5］。伴隨該上升流，在尾流底部會(huì)出現(xiàn)一對(duì)與尾流渦旋向相反的底部渦［5］。隨著尾流向下游的發(fā)展，底部渦的衰減速率快于頂部渦［3，5］。

眾多的試驗(yàn)結(jié)果顯示，有限長(zhǎng)柱體的高寬比或長(zhǎng)徑比(H/d，其中H為柱體高度，d為柱體特征寬度)對(duì)柱體所受氣動(dòng)力和尾流結(jié)構(gòu)有很大的影響［1，3，6］。部分學(xué)者［6-7］認(rèn)為，當(dāng)H/d大于某一臨界值時(shí)，柱體尾流中除靠近自由端附近的區(qū)域外，大部分區(qū)域仍被交替脫落的展向渦所控制，類(lèi)似于二維柱體尾流中的Karman渦街;而當(dāng)H/d小于該臨界值時(shí)，交替脫離的展向渦會(huì)消失，整個(gè)尾流被下掃流所控制，并呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)狀態(tài)。對(duì)于圓形柱體，這一臨界值為3～4左右;而對(duì)于方形截面柱體，該臨界值則略小［6-7］。通過(guò)系統(tǒng)的研究 H/d=3～11的方形柱體尾流，Wang和Zhou［1］發(fā)現(xiàn)對(duì)該高寬比范圍內(nèi)的柱體，自由端上剪切流都會(huì)將柱體兩側(cè)剪切流連接在一起，構(gòu)成一個(gè)封閉的整體渦結(jié)構(gòu)。尾流渦和可能出現(xiàn)的底部渦都是該渦結(jié)構(gòu)在流向平面內(nèi)的投影。最近，日本學(xué)者Kawai等［8］通過(guò)高頻3D-PIV試驗(yàn)驗(yàn)證了這一結(jié)論的正確性。此外，當(dāng)H/d=5和7時(shí)，柱體尾流中都可以觀察到Karman渦街和對(duì)稱(chēng)渦結(jié)構(gòu)兩種典型流動(dòng)狀態(tài)［1，5］。顯然，當(dāng)尾流中出現(xiàn)上述兩種不同的流動(dòng)狀態(tài)時(shí)，柱體所受的氣動(dòng)力特性將有顯著的差異。當(dāng)Karman渦街出現(xiàn)時(shí)，柱體的阻力系數(shù)(CD)較大，相應(yīng)的脈動(dòng)升力系數(shù)()也較大;而當(dāng)尾流結(jié)構(gòu)呈對(duì)稱(chēng)形態(tài)時(shí)，CD和均較?。?］。通過(guò)測(cè)量 H/d=5的柱體側(cè)面中間高度上的壓力系數(shù)(Cp)隨時(shí)間的變化規(guī)律，Sattari［9］觀察到了類(lèi)似的現(xiàn)象，即 Cp隨時(shí)間的變化規(guī)律有兩種典型的狀態(tài)。某些時(shí)候，Cp會(huì)出現(xiàn)周期性顯著的大幅波動(dòng);而另一些時(shí)候，Cp的波動(dòng)幅度很小且沒(méi)有明顯的周期。

上述結(jié)果均是通過(guò)觀察有限長(zhǎng)柱體尾流或表面壓力的瞬態(tài)測(cè)量結(jié)果而得到的，尾流中上述兩種典型狀態(tài)的內(nèi)在關(guān)系以及他們與二維柱體尾流的區(qū)別仍不清楚。針對(duì)這些問(wèn)題，本文對(duì)H/d=7的正方形棱柱中間高度展向平面內(nèi)流場(chǎng)進(jìn)行了PIV測(cè)量及POD分析。為方便對(duì)比，在相同實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)二維方柱尾流也進(jìn)行了測(cè)量。POD分析為進(jìn)一步了解有限長(zhǎng)柱體尾流特性，特別是上述兩種典型狀態(tài)的關(guān)系提供了新的角度。

1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)是在一閉式循環(huán)風(fēng)洞中進(jìn)行的，實(shí)驗(yàn)段寬0.6m，高0.6m，長(zhǎng)2.4m，實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1 所示。有限長(zhǎng)正方形棱柱一端固定在平板上，柱體寬度 d=20mm，高寬比 H/d=7。平板距離風(fēng)洞底面約0.15m，以避免風(fēng)洞壁面邊界層的影響。為防止流動(dòng)分離，平板前緣加工成光滑弧形。柱體中心距離平板前緣0.3m。實(shí)驗(yàn)中，自由來(lái)流速度(U∞)為7m/s，對(duì)應(yīng)的Red=9300。實(shí)驗(yàn)裝置所帶來(lái)的風(fēng)洞阻塞度約為3%，阻塞效應(yīng)可忽略不計(jì)。柱體所在位置上的平板邊界層厚度為27mm，即1.35d。坐標(biāo)系的定義如圖1所示，其中x為流動(dòng)方向，y為寬度方向，z為高度方向。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置與PIV測(cè)量平面示意圖Fig.1 Schematic diagram of the experimental setup and the PIV measurement plane

一熱線探針固定在有限長(zhǎng)棱柱尾流中x*=3，y*≈1.5，z*=3.5的位置上，以檢測(cè)尾流中的渦脫落頻率。本文中上標(biāo)“*”表示以U∞或d進(jìn)行無(wú)量綱化。探針連接在恒溫?zé)峋€風(fēng)速儀上，過(guò)熱系數(shù)為1.6。熱線信號(hào)經(jīng)1.5kHz低通慮波后，以3kHz的頻率進(jìn)行采樣，采樣時(shí)間為20s。對(duì)熱線信號(hào)進(jìn)行FFT變換后，可依據(jù)能譜峰值對(duì)應(yīng)的頻率確定尾流中的渦脫落頻率。本文中以上述方法所確定的渦脫落頻率的誤差為±0.86Hz，對(duì)應(yīng)St數(shù)的相對(duì)誤差為±2.3%。

本實(shí)驗(yàn)所使用的PIV激光器最大脈沖能量為120mJ，CCD 分辨率為 1280×1024pixel2，系統(tǒng)的測(cè)量頻率為3.75Hz。實(shí)驗(yàn)中采用石蠟油產(chǎn)生的煙霧作為示蹤粒子，油滴粒徑在1～5μm范圍內(nèi)，具有良好的跟隨性。運(yùn)用該P(yáng)IV對(duì)z*=3.5的展向平面內(nèi)流動(dòng)進(jìn)行了測(cè)量，如圖1所示。測(cè)量中，圖像的空間分辨率為 153μm/pixel，對(duì)應(yīng)實(shí)際測(cè)量范圍約為 196×156mm2?；ハ嚓P(guān)算法所用查問(wèn)區(qū)間為32×32pixel2，兩個(gè)方向上重疊率均為50%。在相同Red的條件下對(duì)二維方柱尾流也進(jìn)行了類(lèi)似的PIV測(cè)量，以提供對(duì)比參照。通常認(rèn)為PIV測(cè)量得到的瞬態(tài)速度包含有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。經(jīng)認(rèn)真標(biāo)定，系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì);而隨機(jī)誤差的影響因素眾多，如顆粒濃度、顆粒尺寸、空間分辨率等［10］。對(duì)于本實(shí)驗(yàn)所研究的湍流鈍體尾流場(chǎng)，瞬時(shí)場(chǎng)采樣數(shù)為1500幀，以確保統(tǒng)計(jì)量和POD分析的可靠性。以上述的1500個(gè)瞬態(tài)樣本計(jì)算時(shí)均速度、雷諾應(yīng)力和速度rms值的統(tǒng)計(jì)誤差分別為2%、9%和6%左右［11］。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.1 時(shí)均結(jié)果

圖2所示為二維方柱尾流中x*=2處時(shí)均流向速度、雷諾應(yīng)力，以及流向與側(cè)向脈動(dòng)速度的rms值和的分布情況。文中“-”表示時(shí)間平均量。圖2中同時(shí)給出了二維方柱尾流中的LDV測(cè)量結(jié)果［12］作為對(duì)比。可看出，本文PIV結(jié)果與文獻(xiàn)中的LDV測(cè)試結(jié)果吻合的較好，這驗(yàn)證了本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性。

圖3給出的是二維棱柱和有限長(zhǎng)棱柱尾流中u方向脈動(dòng)速度的能譜。在二維方柱尾流中，能譜峰值出現(xiàn)在=0.13處，這與文獻(xiàn)［12-13］所報(bào)道的結(jié)果是一致的。而對(duì)于H/d=7的柱體，St數(shù)為0.11，略小于二維棱柱的對(duì)應(yīng)值。這是因?yàn)橛邢揲L(zhǎng)柱體尾流中的下掃流具有將柱體兩側(cè)脫落的展向渦向外側(cè)分開(kāi)的趨勢(shì)，從而延長(zhǎng)了展向渦的脫落時(shí)間，所以降低了有限長(zhǎng)柱體尾流中的渦脫離頻率［4］。此外，如圖3所示，有限長(zhǎng)棱柱尾流中能譜的尖峰要明顯弱于二維棱柱，且尖峰的寬度也相對(duì)較大。這說(shuō)明，盡管H/d=7的柱體尾流中有周期性的渦脫落現(xiàn)象，但其渦強(qiáng)度要弱于二維鈍體尾流，這一特性將在下面尾流的POD分析中進(jìn)一步討論。

圖2 二維方柱尾流中的時(shí)間平均結(jié)果，x*=2Fig.2 Time averaged results in 2D square cylinder wake，x*=2

圖3 流向脈動(dòng)速度能譜Fig.3 Power spectral density function of u

2.2 POD模態(tài)與能量分布

本征正交分解(POD)法是基于主元分析(PCA)思想，依據(jù) Karhumen-Loève展開(kāi)，將流場(chǎng)進(jìn)行分解，并按照能量比計(jì)算出各階模態(tài)，識(shí)別出流動(dòng)中大尺度的擬序結(jié)構(gòu)［14］。本文中用于PIV數(shù)據(jù)分析的POD方法是由Sirovich提出的快照POD(Snapshot POD)算法［15］。首先，將瞬時(shí)流場(chǎng)分解為時(shí)均速度場(chǎng)和脈動(dòng)速度場(chǎng)，即，然后對(duì)脈動(dòng)速度場(chǎng)進(jìn)行POD分解。最終，全部流場(chǎng)信息可分解為時(shí)均流場(chǎng)(0階模態(tài))和脈動(dòng)流場(chǎng)(已分解為1，2，3…階模態(tài))。任意瞬時(shí)流場(chǎng)可視為各階模態(tài)的線性組合。POD方法已經(jīng)成功的用于多種湍流速度場(chǎng)、渦量場(chǎng)以及壓力場(chǎng)的研究中［14，16-19］。

圖4給出了二維方柱尾流場(chǎng)的1-3階模態(tài)對(duì)應(yīng)的以無(wú)量綱渦量為背景的速度矢量圖。這一結(jié)果與van Oudheusden等［20］所報(bào)道的二維方柱尾流中的結(jié)果是一致的。在1、2階模態(tài)中可清晰的看到正負(fù)交替的Karman渦街。1、2階模態(tài)是完全相似的，僅相位上相差1/4個(gè)渦脫離周期。3階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的正負(fù)渦量呈現(xiàn)出關(guān)于中心線對(duì)稱(chēng)的形態(tài)，這與1、2階模態(tài)是截然不同的。此外，3階模態(tài)的渦強(qiáng)度也顯著小于1、2階模態(tài)對(duì)應(yīng)值，這說(shuō)明在二維方柱尾流中3階及以上模態(tài)對(duì)湍流脈動(dòng)帶來(lái)的貢獻(xiàn)是非常有限的，這一點(diǎn)將在各階模態(tài)對(duì)應(yīng)的能量分布中進(jìn)一步討論。

圖4 二維方柱尾流中的1-3階模態(tài)對(duì)應(yīng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)Fig.4 Flow structures of 1-3 POD modes in 2D square cylinder wake

圖5給出了H/d=7的棱柱尾流中間高度(z*=3.5)截面內(nèi)1-3階模態(tài)的矢量與渦量圖。與二維方柱對(duì)應(yīng)結(jié)果(如圖4所示)有很多定性的相似之處:首先，1、2階模態(tài)的渦量呈現(xiàn)出類(lèi)似Karman渦街的正負(fù)交替的形態(tài)，且兩者空間上也是相差1/4周期;其次，1，2階模態(tài)對(duì)應(yīng)的渦量強(qiáng)度明顯大于3階模態(tài)的對(duì)應(yīng)值;此外，3階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的渦量與速度矢量圖也呈現(xiàn)出關(guān)于中心線對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)。除上述定性上的相似點(diǎn)外，圖4與圖5存在著顯著的差異。H/d=7棱柱尾流中1、2階模態(tài)的渦量值要明顯小于二維柱體尾流中的對(duì)應(yīng)結(jié)果，這說(shuō)明在有限長(zhǎng)棱柱尾流中正負(fù)交替的渦街結(jié)構(gòu)相對(duì)較弱。相對(duì)于二維柱體尾流結(jié)果，圖5中1、2階模態(tài)的渦結(jié)構(gòu)在y方向明顯更寬，表明有限長(zhǎng)棱柱尾流要寬于對(duì)應(yīng)的二維柱體尾流，這與文獻(xiàn)［1］的結(jié)果是吻合的。造成這一現(xiàn)象的原因是有限長(zhǎng)柱體自由端產(chǎn)生的下掃流，具有將柱體側(cè)面剪切流向外側(cè)排開(kāi)的趨勢(shì)［1，4］。

圖5 H/d=7柱體尾流z*=3.5截面內(nèi)1-3階模態(tài)對(duì)應(yīng)的流動(dòng)結(jié)構(gòu)Fig.5 Flow structures of 1-3 POD modes at z*=3.5 in the finite-length prism with H/d=7

圖6給出了各階模態(tài)對(duì)湍動(dòng)能的貢獻(xiàn)率(不含0階模態(tài))。對(duì)于二維方柱尾流，總湍動(dòng)能的73.6%(37.2%+36.4%)來(lái)自于 1、2 階模態(tài)，說(shuō)明 Karman渦街在二維方柱尾流中占據(jù)了支配地位。而3階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量約占3.8%，僅相當(dāng)于1、2階模態(tài)對(duì)應(yīng)能量的1/10左右。在H/d=7的有限長(zhǎng)棱柱尾流中，各階模態(tài)的能量分布與二維方柱尾流對(duì)應(yīng)結(jié)果有著顯著的區(qū)別?？傮w而言，相對(duì)于二維方柱，有限長(zhǎng)棱柱尾流的脈動(dòng)能量在較高階模態(tài)中的比重明顯增強(qiáng)。代表準(zhǔn) Karman渦街的1、2階模態(tài)(如圖5所示)所對(duì)應(yīng)的能量分別為26.7%和19.2%，遠(yuǎn)小于二維柱體尾流的對(duì)應(yīng)值。而代表著對(duì)稱(chēng)尾流結(jié)構(gòu)的3階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的能量卻達(dá)到了9.8%。這說(shuō)明，在有限長(zhǎng)棱柱尾流中類(lèi)似Karman渦街結(jié)構(gòu)的1、2階模態(tài)對(duì)總脈動(dòng)能量的貢獻(xiàn)要顯著小于二維柱體尾流，而來(lái)自于對(duì)稱(chēng)形態(tài)的3階模態(tài)和更高階模態(tài)的脈動(dòng)能量則更多。由此可知，即使H/d=7棱柱的高寬比遠(yuǎn)大于已有文獻(xiàn)所報(bào)道的臨界值2～3［6-7］，它的尾流結(jié)構(gòu)與二維棱柱尾流也有著顯著的差別。

圖6 POD各模態(tài)能量分布Fig.6 Energy distribution of POD modes

2.3 瞬態(tài)流場(chǎng)的雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

POD方法不僅能識(shí)別出流場(chǎng)中各階模態(tài)及其對(duì)總脈動(dòng)能量的貢獻(xiàn)，而且可用各模態(tài)的線性組合對(duì)瞬態(tài)流場(chǎng)進(jìn)行重建，如式(1)所示。其中，u為重建的某一時(shí)刻瞬態(tài)速度場(chǎng)，ˉU為時(shí)均速度場(chǎng)，φi和ai為第i階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)和該模態(tài)的系數(shù)［15，21］。對(duì)于二維柱體尾流，其1、2階模態(tài)對(duì)湍動(dòng)能的貢獻(xiàn)占據(jù)了主導(dǎo)地位，如圖6所示。因此，可近似的只用0階模態(tài)(時(shí)均場(chǎng))和1、2階模態(tài)對(duì)瞬態(tài)流場(chǎng)進(jìn)行重建，即“低階模型法”(Low Dimensional Model，LDM)［22-23］，如式(2，3)所示。

式(3)中 λ1，λ2是1、2階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的特征值，θ是各瞬態(tài)流場(chǎng)對(duì)應(yīng)對(duì)的渦脫落相位角［24］。系數(shù)a1、a2并非相互獨(dú)立，若用和分別對(duì)其歸一化，各瞬態(tài)流場(chǎng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)()將構(gòu)成一個(gè)圓形［20，22］。圖7分別給出了二維方柱和有限長(zhǎng)棱柱尾流中點(diǎn)()的分布。顯然，即使是二維方柱尾流，)各點(diǎn)也并非嚴(yán)格的落在標(biāo)準(zhǔn)圓形上，而是分散于其兩側(cè)。這是由于在Re=9300時(shí)，盡管大尺度的Karman渦街在尾流中占了支配地位，但仍有各種小尺度渦甚至隨機(jī)脈動(dòng)會(huì)對(duì)尾流結(jié)構(gòu)帶來(lái)影響［20］。

圖7 各瞬態(tài)流場(chǎng)中1、2階模態(tài)對(duì)應(yīng)系數(shù)Fig.7 Coefficients of the first two modes in the LDM for each instantaneous flow field

由POD模態(tài)重建瞬態(tài)流場(chǎng)的方法(如式1所示)可知，a1、a2代表著在瞬態(tài)流場(chǎng)重建中1、2階模態(tài)的貢獻(xiàn)。因此，圖 7中各點(diǎn)距原點(diǎn)的距離 R(=的大小與1、2階模態(tài)的貢獻(xiàn)是成正比的。也就是說(shuō)，當(dāng)點(diǎn)P()距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)時(shí)，1、2階模態(tài)的貢獻(xiàn)相對(duì)較大;而當(dāng)點(diǎn)P距離原點(diǎn)較近時(shí)，1、2階模態(tài)的貢獻(xiàn)則較小。對(duì)于二維方柱尾流，沒(méi)有瞬態(tài)點(diǎn)P分布于原點(diǎn)附近(如圖7a所示)。這意味著在二維方柱尾流中1、2階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的Karman渦街結(jié)構(gòu)始終占據(jù)主導(dǎo)著地位。而在H/d=7的棱柱尾流中，各瞬態(tài)點(diǎn)P幾乎均勻的分布于平面內(nèi)，與二維柱體尾流所對(duì)應(yīng)的環(huán)形分布有顯著的區(qū)別。遠(yuǎn)離原點(diǎn)的點(diǎn)P，其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)尾流是由代表著類(lèi)似Karman渦街的1、2階模態(tài)所支配，這與二維柱體尾流是類(lèi)似的;而原點(diǎn)附近的點(diǎn)P，其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)尾流場(chǎng)中1、2階模態(tài)的貢獻(xiàn)可以忽略，此時(shí)的瞬態(tài)尾流場(chǎng)是由呈對(duì)稱(chēng)形態(tài)的3階模態(tài)(如圖5所示)或更高階模態(tài)所控制。圖8給出了上述兩種典型的尾流狀態(tài)，其對(duì)應(yīng)P點(diǎn)的位置已在圖7(b)中標(biāo)出。

圖8 H/d=7柱體尾流中間高度截面內(nèi)兩種典型流動(dòng)狀態(tài)Fig.8 Two typical instantaneous flow status in the wake of prism with H/d=7

由上述分析可知，有限長(zhǎng)柱體尾流會(huì)出現(xiàn)兩種典型的瞬態(tài)流動(dòng)結(jié)構(gòu):第一種是由1、2階模態(tài)所控制的類(lèi)似Karman渦街的形態(tài)，另一種是由3階或更高階模態(tài)控制的對(duì)稱(chēng)形態(tài)。而在二維方柱尾流中，第二種形態(tài)是不會(huì)出現(xiàn)的。對(duì)于有限長(zhǎng)棱柱體，當(dāng)Karman渦街形態(tài)的尾流出現(xiàn)時(shí)，柱體側(cè)面壓力和柱體升力都會(huì)呈現(xiàn)出周期性顯著的大幅波動(dòng);而當(dāng)出現(xiàn)對(duì)稱(chēng)的尾流結(jié)構(gòu)形態(tài)時(shí)，柱體側(cè)面壓力以及升力的脈動(dòng)均較小，且無(wú)明顯的周期性［1，9，25］。

3 結(jié)論

(1)代表著Karman渦街結(jié)構(gòu)的1、2階模態(tài)在H/d=7的有限場(chǎng)棱柱尾流中對(duì)湍動(dòng)能的貢獻(xiàn)為45.9%，遠(yuǎn)小于其在二維柱體尾流中對(duì)湍動(dòng)能的貢獻(xiàn)73.6%;而代表著對(duì)稱(chēng)形態(tài)的3階模態(tài)對(duì)前者的貢獻(xiàn)達(dá)到9.8%，是后者對(duì)應(yīng)值的2倍多。

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