，

(1.西安理工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院,陜西 西安 710048；2.西安交通大學(xué)應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)博士后流動站，陜西 西安710061)

1 引言

雖然開放式基金占據(jù)了中國基金市場的大部分份額，但由于市場對于“封轉(zhuǎn)開”形勢的普遍看好，封閉式基金已成為諸多機構(gòu)投資者建倉的重點品種。2005年4月31日，保險資金投資基金的規(guī)模達到890.29億元，一舉創(chuàng)出歷史新高，而這次保險資金增資的主要對象為封閉式基金。由于LOF(上市型開放式基金)的推出為封閉式基金逐步轉(zhuǎn)為開放式基金提供了有力的技術(shù)手段，在封閉式基金高折價的現(xiàn)狀條件下，如果某一封閉式基金一旦“封轉(zhuǎn)開”，巨大的套利機會將隨之降臨[1]。特別是在牛市的背景下，“封轉(zhuǎn)開”將使基金持有人獲得兩大收益：一是基金凈值的增加，二是“封轉(zhuǎn)開”帶來價格回歸價值的套利。截止目前市場共有20多支封閉式基金已成功進行了“封轉(zhuǎn)開”，僅2007年就有18支，目前還有28支封閉式基金未到期，而最終選擇“封轉(zhuǎn)開”也是這些基金到期之后的必然選擇。

由于封閉式基金的交易在二級市場進行，它的價格在一定程度上由供求關(guān)系決定，然而在我國金融市場制度建設(shè)尚不完善的情況下，特別是在“封轉(zhuǎn)開”巨大套利機會的驅(qū)使下，資金巨大的投資者一方面可能籍此大量進行封閉式基金建倉，另一方面也可能借助市場對于封閉式基金的熱炒，進一步通過在二級市場對封閉式基金價格進行控制來獲得巨額利潤。然而，對于基金價格問題的研究已有文獻多是從基金價格與資產(chǎn)凈值之間的關(guān)系來進行分析，F(xiàn)lynn[2]討論了噪聲交易，套利與資產(chǎn)價格對于美國封閉式基金折價的影響。實證研究認(rèn)為無法確定基金套利行為、管理費用對封閉式基金折價造成影響，但是噪聲交易對于基金折價的有顯著影響。Shane[3]討論了信號傳遞、差異化策略與基金折價的關(guān)系，研究結(jié)果表明高質(zhì)量的基金再結(jié)合差異化策略可很好的降低基金折價。張世英、王東[4]研究了投資基金的價格監(jiān)管和風(fēng)險控制問題，基于模糊隨機理論，從基金凈值角度定義了投資基金價格風(fēng)險的測度。宋頌興[5]基于折現(xiàn)法從基金凈值和基金現(xiàn)值的視角分析了封閉式基金定價問題。肖國榮[6]認(rèn)為基金價格變化規(guī)律相當(dāng)復(fù)雜，影響因素間非線性程度相當(dāng)?shù)母?，傳統(tǒng)預(yù)測方法不能很好反映非線性規(guī)律，導(dǎo)致基金價格預(yù)測精度不高。趙秀娟等[7]運用CGARCH模型、Granger因果檢驗分析了深市基金指數(shù)(封閉式基金價格指數(shù))與開放式基金、A股、B股、仿真股指期貨以及債券市場的主要指數(shù)在波動上的關(guān)聯(lián)性，同時分析了極端風(fēng)險對條件波動的溢出效應(yīng)。王良、馮濤[8]在高頻數(shù)據(jù)條件下，研究了中國ETF基金價格"已實現(xiàn)"波動率與跟蹤誤差之間是否存在著因果關(guān)系并存在著信息的先導(dǎo)效應(yīng)。

與以上研究思路不同，本文考慮了一種交易狀況：在某一交易時間段內(nèi)，二級市場上某支封閉式基金的交易者只有一個可對基金價格進行控制的基金投資者(例如保險公司、持有巨額資金的內(nèi)幕交易者等，類似莊家)和無窮多單個散戶基金投資者，在此我們稱前一類型的基金投資者為“莊家”型基金投資者?！扒f家”型基金投資者可控制封閉式基金的價格(如不特別說明，以下的基金全部指封閉式基金)。此外，該基金投資者期初持有的投入資金額度有限(在該交易時間段內(nèi)全部投入)。為了更好地使得資金效用發(fā)揮到最大，在交易時間段的期初，“莊家”型基金投資者須考慮初始持有資金的額度限制，依據(jù)基金在各個時刻的期望收益率及其收益風(fēng)險來求得對應(yīng)時刻的最優(yōu)投資值(其中正值表示投入，負(fù)值表示收回)，然后再來確定基金價格控制的最優(yōu)策略。因此，本文認(rèn)為“莊家”型基金投資者的決策可分為兩個階段：第一階段基于各時刻的期望收益率及收益離差來確定該基金投資者在給定交易時段中各個時刻的最優(yōu)投資值，第二階段以第一階段得到的各時刻的最優(yōu)投資值為約束來確定基金價格的最優(yōu)控制序列。

對于第一階段可建立使“莊家”型基金投資者期望收益最大、收益平均絕對離差最小(風(fēng)險最小)的雙目標(biāo)模型，變換為一個單目標(biāo)模型后利用庫恩-塔克條件進行求解；對于第二階段則以第一階段求得的各時刻最優(yōu)投資值為約束，以“莊家”型基金投資者在該交易時間段內(nèi)的現(xiàn)金支付為極小值(現(xiàn)金收益的極大值)來建立目標(biāo)函數(shù)，而其為一個帶約束的非線性規(guī)劃問題。由于求解此類問題常采用懲罰函數(shù)法來將帶約束的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為無約束問題，但是隨著懲罰因子趨于無窮大或零，目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代點向最優(yōu)點靠近而逐漸變壞，使一般無約束優(yōu)化方法失效。因此本文采用了一種改進的遺傳算法，利用該方法不但能夠收斂到最優(yōu)解的鄰域，而且具有避免陷入局部最優(yōu)解的能力。

2 初始持有資金有限條件下基于兩階段決策的基金價格控制模型及其求解

2.1 基本假設(shè)

為了研究方便，給出以下假設(shè)：

A1 :在某一交易時間段內(nèi)，某一基金的交易者只有一個“莊家”型基金投資者和無窮多單個散戶基金投資者；

A2 :基金的買賣均在離散的時刻進行，在每一時刻，“莊家”型基金投資者和個體投資者只能進行一次買或賣；

A3 :所有個體投資者在基金交易過程中的整體行為服從正態(tài)分布；

A4 :資本市場是完全的，不考慮基金交易中的交易費用和稅收，投資者都是理性的；

A5:個體投資者賣出僅根據(jù)持有基金的收益率的大小，買入僅根據(jù)基金價格上漲速率的大??；

A6:在交易時間段的初始時刻“莊家”型基金投資者持有該基金的金額為零；

2.2 基于兩階段決策的基金價格控制模型

前已述及，我們可將“莊家”型基金投資者的基金價格控制決策分為兩個階段: 第一階段為在給定各時刻基金期望收益率及收益離差的條件下, 確定“莊家”型基金投資者在某一交易時段內(nèi)各個時刻的最優(yōu)投資值；第二階段則以第一階段得到的各時刻的最優(yōu)投資值為約束, 以現(xiàn)金收益的最大化來確定最優(yōu)基金價格控制序列。

2.2.1 “莊家”型基金投資者第i時刻的最優(yōu)投資值

(1)

在該交易時間段的收益函數(shù)為：

(2)

假設(shè)投資者期望最小化風(fēng)險的同時使得自己的收益最大，因此建立如下使“莊家”型基金投資者期望收益最大、收益平均絕對離差最小的雙目標(biāo)模型[9-11]：

(3)

取0<λ<1，它表示投資者的風(fēng)險偏好系數(shù)，λ越大表示投資者越厭惡風(fēng)險，式(3)可變換為如下的單目標(biāo)模型Γ1:

(4)

對此有如下的定理

定理1：對于任意的λ∈(0,1)，模型Γ1的最優(yōu)解為：

(5)

(6)

其中Θ(λ)滿足如下條件：

(a)如果存在一個整數(shù)η∈[0,K-2]，

當(dāng)k=1,2,…,η，有：

(7)

當(dāng)k=η+1，有：

(8)

那么Θ(λ)={K,K-1,…,K-η}；

(b)如果任意一個整數(shù)η∈[0,K-2]不能滿足條件(7)、(8)，那么Θ(λ)={K,K-1,…,2,1}。

證明：對模型Γ1應(yīng)用庫恩-塔克條件。首先引入拉格郎日函數(shù)

(9)

進一步由庫恩-塔克條件可得以下各式：

(10)

(11)

(12)

μk(qkx(k)-y)=0

(13)

ξkx(k)=0

(14)

μk≥0

(15)

ξk≥0

(16)

k=1,2,…,K

(17)

定義Θ(λ)={k|μk>0}，對任意的k?Θ(λ)，令x(k)=0。由式(13)知，如果k∈Θ(λ)，那么有x(k)=y/qk。因此，結(jié)合式(12)得到：

(18)

(19)

由式(14)知，當(dāng)x(k)>0時，那么ξk=0。對于k∈Θ(λ)，由式(11)可以得到：

(20)

結(jié)合式(10)得到

λ=∑l∈Θ(λ)(1/ql)[(1-λ)Rk-λ0)]，因此

(21)

對于k∈Θ(λ)，由式(20)得到:

(22)

對于任意的k?Θ(λ):

ξk=-(1-λ)Rk+μkqk+λ0=-(1-λ)Rk+λ0

(23)

如果集合Θ(λ)中元素能使得式(22)和式(23)表示的μk、ξk非負(fù)，那么由式(18)、(19)得到的解將滿足庫恩-塔克條件(10)～(16)。

首先證明定理1中的(a), 由式(22)變形得到：

(24)

另一方面，對于k=1,2,…,K-η-1，類似于由式(24)得到μk≥0的證明方法，進一步由式(21)和式(23)得：

(25)

根據(jù)式(24)、(25)可以得到μk≥0，ξk≥0，這表明模型Γ1中的庫恩-塔克條件(15)、(16)可以滿足，同時結(jié)合式(18)、(19)可知Γ1的庫恩-塔克(10)～(14)也可滿足，因此(a)得證。

運用同樣的方法，可以證明定理1中的(b)。如果任意一個整數(shù)η∈[0,K-2]不能滿足式(7)、(8)，那么可證明由式(18)、(19)及集合Θ(λ)={K,K-1,…,2,1}得到的解將滿足模型Γ1的庫恩-塔克條件，限于篇幅，從略。

2.2.2 基金價格控制模型

在第k時刻“莊家”型基金投資者的凈交易量?(k)為散戶基金投資者的賣出量s(k)與買入量b(k)之差，即：

?(k)=s(k)-b(k)

(26)

其中：

(27)

(28)

(29)

為散戶基金投資者在第k時刻買入的百分比。

(30)

(31)

(32)

初始條件：p(0)=ζ

(33)

2.3 模型Γ3的求解

依據(jù)式(26)、(27)、(28)、(29)可知，?(k)為p(k)的非線性函數(shù)，因此模型Γ3為一個帶約束條件的非線性規(guī)劃問題，由于所建方程的復(fù)雜性，很難得到解析解。一般狀況下對于此類問題可采用懲罰函數(shù)法進行求解，從而將帶約束的非線性規(guī)劃問題的求解，轉(zhuǎn)化為求解一系列無約束極值問題，進而得到原問題的最優(yōu)解或近優(yōu)解。但是隨著懲罰因子趨于無窮大或零，目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代點向最優(yōu)點靠近而逐漸變壞[13-15]，使一般無約束優(yōu)化方法失效。文獻[16]提出了一種改進的遺傳算法來求解帶約束的非線性規(guī)劃問題，利用該方法不但能夠收斂到最優(yōu)解的鄰域，而且具有避免陷入局部最優(yōu)解的能力，而且該方法采取全方位搜索方式，避免陷入局部最優(yōu)；步長的選取具有隨機性，且均值衰減。由于唐加福等[16]已驗證了該改進遺傳算法的優(yōu)點，對此不再贅述，下面說明該算法的具體求解過程。

記Γ3中的元素Pk∈Q={Pk∈EK|gk(Pk)0,k=1,2,…,K}，其中g(shù)k(Pk)0為約束函數(shù)。而基于懲罰函數(shù)提出的改進遺傳算法的基本思想是：首先隨機產(chǎn)生種群(假設(shè)種群大小為NP)，對于每個個體Pk，如果Pk?Q，置一個很小的適應(yīng)性值與之對應(yīng)(相當(dāng)于懲罰)；每個個體在迭代中按滾動輪策略被選取,且沿權(quán)重梯度方向經(jīng)變異產(chǎn)生子個體。隨著迭代步數(shù)的增加，具有較小適應(yīng)性值的子個體逐漸被淘汰,而留下來的則是適應(yīng)性值較大的子個體。對于個體Pk,如果Pk∈Q,則沿目標(biāo)函數(shù)的梯度方向J(Pk)搜索,可使目標(biāo)函數(shù)得到改進。如果Pk?Q,說明Pk不在可行域內(nèi),令:

Λ={k|gk(Pk)0,Pk∈EK}

(34)

對于k∈Λ，如果Pk沿負(fù)梯度方向-gk(Pk)移動,可使子個體Pk滿足gk(Pk)0。構(gòu)造權(quán)重梯度方向[11]，用D(Pk)表示:

(35)

其中ωk是梯度方向權(quán)重，定義為：

(36)

(37)

gmax(Pk)=max{gk(Pk),k=1,2,…,K}

(38)

其中，δ是一個很小的整數(shù)。

p(k,s)沿權(quán)重梯度方向D(Pk)變異產(chǎn)生子個體p(k,s+1)可以描述為

p(k,s+1)=p(k,s)+β(s)D(p(k,s))

(39)

其中,β(s)是均勻分布隨機數(shù)步長，由隨機數(shù)發(fā)生器產(chǎn)生。

從gmax(Pk)=max{gk(Pk),k=1,2,…,K}可以看出，gmax(Pk)反映了點Pk與可行域Q的關(guān)系信息。如果gmax(Pk)0，表明Pk∈Q;否則,gmax(Pk)>0，且gmax(Pk)越大，表明Pk∈Q的性能越差，即Pk越遠離可行域。目標(biāo)函數(shù)按如下計算：

(40)

其中，L是預(yù)先給定的很大的正數(shù)。

從上式還可以看出,如果gmax(Pk)>0，則重新賦給一個很小的目標(biāo)函數(shù)值，但非零，以便在以后的迭代中有很小的概率被選取作為母體產(chǎn)生子個體。此外，可以發(fā)現(xiàn)，如果Pk∈Q，則D(Pk)=J(Pk)，沿D(Pk)方向搜索,目標(biāo)函數(shù)不斷得到改進,進而達到最優(yōu)解的附近；如果Pk?Q,gk(Pk)越大，偏離可行域越遠，得到的權(quán)重越大，使得子個體向可行域方向搜索，從而達到可行域的邊界。

基于以上的分析，該算法的計算復(fù)雜性為O(NP*NG*K3)，基本步驟為：

(1)確定基因表達式。用決策變量Pk的k維實向量表示子個體,即Pk=(p(1),p(2),…,p(k))。

(2)確定適應(yīng)性函數(shù)與選擇策略。選取適應(yīng)性函數(shù)ψ(Pk)=J(Pk)+θ，其中,θ是一個小的正數(shù)，用滾動輪策略選擇個體。

(4)停止規(guī)則。根據(jù)計算精度的要求，確定最大的迭代步驟NG。

3 算法釋例

在此給出模型的基本求解過程。首先確定初始持有資金限制條件下“莊家”型基金投資者第i時刻的最優(yōu)投資值。取K=10，令A(yù)=1，“莊家”型基金投資者在該交易時段前持有的基金額為零，期初持有的投入資金I=0.25，λ=0.8，為節(jié)省篇幅(第一階段具體求取從略)，依據(jù)定理1求得

(x(0)*,x(1)*,x(2)*,x(3)*,x(4)*,x(5)*,x(6)*,x(7)*,x(8)*,x(9)*)=

(0.0893,0.0357,0.0298,0.0198,0.0179,0.0149,

0.0128,0.0112,0.0099,0.0089)

圖1 遺傳算法迭代次數(shù)及進化圖

對于第二階段所建立的模型則采取MATLAB7.0軟件進行遺傳算法編程來求解。不失一般性，首先給定參數(shù)r*=0.32，σ1=0.21，υ*=0.45，σ2=0.35，ε=3，ζ=1，M=0。進一步使用文中所給的遺傳算法，取L=106,δ=θ=10-6，最大迭代次數(shù)為200次，種群為100個，將第一階段求得的(x(0)*,x(1)*,x(2)*,x(3)*,x(4)*,x(5)*,x(6)*,x(7)*,x(8)*,x(9)*)作為相應(yīng)的約束，解得價格序列為

4 研究結(jié)果分析

已有的文獻對于封閉式基金價格的研究多是從基金價格的形成過程如何受市場因素的影響來探討[2-8]，例如Flynn[2]討論了噪聲交易、套利與資產(chǎn)價格對于美國封閉式基金折價的影響，Shane[3]討論了信號傳遞、差異化策略與基金折價的關(guān)系，張世英、王東[4]研究了投資基金的價格監(jiān)管和風(fēng)險控制問題，趙秀娟等[7]分析了深市基金指數(shù)(封閉式基金價格指數(shù))與其它證券市場產(chǎn)品開在波動上的關(guān)聯(lián)性問題。中國基金市場透明度不高、疏于監(jiān)管、相關(guān)法律法規(guī)欠缺使得封閉式基金的價格也必然存在如同股票市場一樣的價格操縱現(xiàn)象，即大資金投資者控制基金價格的“莊家”現(xiàn)象，那么在此種情況下“莊家”型基金投資者采取何種策略控制封閉式基金的價格，從而達到盈利目的是一個值得研究的課題，而國內(nèi)外文獻對于此方面幾乎沒有涉及，所以這正是本文選題的獨特之處。

俞雪飛等[12]提出了一種單一證券的莊家控制模型，區(qū)別于前者，在本研究中我們考慮了“莊家”型基金投資者初始資金有限的狀況，另外我們將莊家控制基金價格的決策過程分為兩個階段：第一階段為在給定各時刻基金期望收益率及收益離差的條件下, 確定“莊家”型基金投資者在某一交易時段內(nèi)各個時刻的最優(yōu)投資值；第二階段則以第一階段得到的各時刻的最優(yōu)投資值為約束，以現(xiàn)金收益的最大化來確定最優(yōu)基金價格控制序列。這樣的階段劃分使得價格控制更符合實際的決策過程，因為無論是散戶還是機構(gòu)投資者，各階段的持有資金額度及投資收益期望值是不同的，那么這也成為實際投資決策中的約束條件。另外，俞雪飛等[12]沒有給出所建模型的具體求解方法，由于本文所建的模型是帶約束條件的非線性規(guī)劃問題，很難得到解析解。一般狀況下對于此類問題采用懲罰函數(shù)法進行求解，但隨著懲罰因子趨于無窮大或零，目標(biāo)函數(shù)值隨著迭代點向最優(yōu)點靠近而失效。有鑒于此，本文引進了遺傳算法進行求解，有效的避免陷入局部最優(yōu)。另外，從具體計算結(jié)果的仿真圖形來看，較符合“莊家”投資者“高拋低吸”的實際投資過程。

5 結(jié)語

在中國目前這種基金交易市場條件下，尤其在國家“封轉(zhuǎn)開”政策的逐漸推行下，如何監(jiān)管并有效抑制封閉式基金交易過程中的投機行為是一個非常值得研究的課題。在初始持有資金有限的狀況下，文中所給的兩階段模型基本上與基金交易過程中“莊家”型基金投資者控制基金價格行為非常吻合，該類型的基金交易者可能在確定某一交易時間段內(nèi)各時刻基金期望收益率及收益離差的前提下，合理地分配各時刻的資金投入值；然后再以各時刻最優(yōu)投資值為約束，以“莊家”型基金投資者在該交易時間段內(nèi)的現(xiàn)金支付為極小值建立目標(biāo)函數(shù)，最后獲得價格控制最優(yōu)策略。此外，如果進行歷史數(shù)據(jù)模擬可掌握參數(shù)r*，σ1，υ*，σ2，結(jié)合基金交易中的實際市場規(guī)律，就可以發(fā)現(xiàn)實際交易中的基金買賣是否存在“莊家”型基金投資者操縱基金價格的行為，預(yù)計“莊家”型基金投資者控制基金價格將采取的未來價格走勢等。這對于金融部門加強封閉式基金的市場監(jiān)管，防止封閉式基金交易中的過分操縱基金價格走勢行為的發(fā)生是極其具有實用價值的。

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