王昆鵬， 夏 禾， 郭薇薇， 曹艷梅

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院， 北京 100044)

引 言

1 分析模型

1.1 問題描述

假定簡(jiǎn)支梁為等截面(EI為常數(shù))，恒載質(zhì)量均

δ(x-Vt)P(t)

(1)

式中y(x,t)為梁體的豎向位移；δ為Dirac函數(shù)。

圖1 移動(dòng)集中力作用下的簡(jiǎn)支梁模型

1.2 問題求解

式(1)可以采用振型疊加法進(jìn)行求解。對(duì)于一維的連續(xù)體，有變換表達(dá)式

(2)

式中qi(t)為振型的廣義坐標(biāo)，φi(x)為結(jié)構(gòu)振型，對(duì)理想簡(jiǎn)支梁有φi(x)=sin(iπx/L)[4]。

將式(2)帶入式(1)，同時(shí)式(1)兩邊都乘上φn(x)并沿梁長(zhǎng)進(jìn)行積分，利用振型的正交性，整理可以得到第n階振型的廣義坐標(biāo)qn(t)的運(yùn)動(dòng)方程

(3)

通過Duhamel積分方法求解式(3)，在低阻尼及臨界阻尼情況下，第n階振型廣義坐標(biāo)qn(t)的特解為

(4)

根據(jù)求得的廣義坐標(biāo)qn(t)，利用振型疊加法得到移動(dòng)荷載作用下簡(jiǎn)支梁振動(dòng)位移特解的表達(dá)式

(5)

為了便于討論各種因素對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的影響，現(xiàn)引入2個(gè)無量綱參數(shù)α，β，以分別考慮荷載移動(dòng)速度及橋梁阻尼的影響

(6)

2 特殊情況求解及討論

2.1 P(t)為移動(dòng)恒定荷載 (P(t)=P)

當(dāng)荷載P(t)為移動(dòng)恒定荷載P時(shí)，利用三角函數(shù)積化和差公式和分部積分方法求解式(4)得到qn(t)的精確解，再利用振型疊加法得到移動(dòng)荷載P作用下簡(jiǎn)支梁振動(dòng)位移特解的表達(dá)式，整理得到

{n2(n2-α2)sinnωt-

(7)

式(7)是單個(gè)移動(dòng)荷載時(shí)的橋梁響應(yīng)。一般將列車荷載簡(jiǎn)化為N個(gè)等間距為車輛全長(zhǎng)lv的移動(dòng)集中力荷載列，見圖2。由于假定梁體變形為小變形，此時(shí)移動(dòng)荷載列作用下梁體振動(dòng)位移特解可表示為

(8)

式中yi(x,t)通過式(7)進(jìn)行計(jì)算。

圖2 通過橋跨的車輛荷載列

根據(jù)式(7)再詳細(xì)地討論幾種特殊情況：

2.1.1 無阻尼情況及消振、共振分析(β=0)

a)α不為整數(shù)，β=0

如果讓?duì)?0，則式(7)可化為

(9)

實(shí)際工程中，一般有α?1，根據(jù)式(10)可知此時(shí)梁體第一階振型對(duì)位移的貢獻(xiàn)最大。因此，在求解動(dòng)力作用下梁體的位移響應(yīng)時(shí)，僅使用第一階振型即可以達(dá)到很高的求解精度[5]。

對(duì)式(9)中括號(hào)內(nèi)的部分進(jìn)行分析，如果令此項(xiàng)在荷載出橋時(shí)刻為零(t=L/V)，則有

(10)

通過式(10)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=n2/k的時(shí)候，梁體第n階振型的位移分量會(huì)在荷載出橋時(shí)刻歸零，本文稱式(10)中的速度VD= 2n2f1L/k為消振速度。在實(shí)際工程中，第一階振型的位移分量占梁體位移的大部分，如果令n=1，此時(shí)梁體的位移會(huì)在荷載出橋時(shí)刻趨近于零。

荷載出橋以后(t>L/V)，梁體處于自由振動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)梁體的運(yùn)動(dòng)方程為

yn(x,L/V)cosωnt]

(11)

式中yn(x,L/V)=

當(dāng)荷載以消振速度VD出橋時(shí)，梁體的速度卻不一定為零。荷載出橋時(shí)，梁體的振動(dòng)速度如下所示

(12)

從式(12)中可以看出，當(dāng)n，k同奇偶時(shí)，式(12)等于零，即荷載出橋時(shí)刻，梁體第n階振型的位移分量與速度分量同時(shí)為零；當(dāng)n，k非同奇偶時(shí)，荷載出橋時(shí)刻僅有梁體第n階振型的位移分量為零，因此在荷載出橋以后梁體第n階振型對(duì)橋梁的后續(xù)振動(dòng)依然有貢獻(xiàn)。對(duì)于式(10)中給出的速度VD=2n2f1L/k，當(dāng)n，k奇偶性相同時(shí)定義為全消振速度；當(dāng)n，k奇偶性不同時(shí)定義為位移消振速度。

在線彈性階段，梁體的位移等于各個(gè)荷載產(chǎn)生位移的線性疊加，當(dāng)荷載列以全消振速度移動(dòng)時(shí)，即α=1/k(k為奇數(shù))，梁體的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)在荷載列移出梁體以后趨近于零。

b)α為整數(shù)，β=0

如果讓?duì)?k，β=0，此時(shí)式(7)的第n=k項(xiàng)為0/0型表達(dá)式，通過對(duì)該項(xiàng)求極限，可以得到簡(jiǎn)支梁振動(dòng)位移特解的表達(dá)式

(13)

根據(jù)式(13)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)α=k，β=0時(shí)，梁體上任意點(diǎn)x處的位移是隨著時(shí)間t的增大而增大的，并在t=L/V時(shí)位移達(dá)到最大值，但不會(huì)達(dá)到無窮大。這種情況相當(dāng)于移動(dòng)荷載P與橋梁發(fā)生了共振，說明不但移動(dòng)荷載列以某個(gè)特殊速度通過橋梁時(shí)會(huì)引起橋梁共振[1,2]，單個(gè)移動(dòng)荷載以特殊的速度通過橋梁時(shí)也會(huì)使橋梁產(chǎn)生共振。

當(dāng)k=n時(shí)，即荷載的加載頻率是第一階自振頻率的n倍，有sin(nπVt/L)=sinn2ω1t，相當(dāng)于移動(dòng)荷載與簡(jiǎn)支梁的第n階振型產(chǎn)生了共振，在此稱速度VR=2kf1L為共振速度，對(duì)于k=1的情況，位移的共振放大系數(shù)最大，這種共振速度在文獻(xiàn)[1,6,7]中也有介紹。

2.1.2 低阻尼情況(β?1)

a)α≠k，β?1

當(dāng)梁體的阻尼很小時(shí)，可以忽略式(7)中包含β及β2的項(xiàng)，這時(shí)式(13)可以化為下面的形式，其與式(9)是極其類似的

(14)

雖然當(dāng)α→k時(shí)，式(14)計(jì)算誤差較大不再適用，但由于列車的實(shí)際行駛速度很難達(dá)到α=k的情況(即V=kVcr)，同時(shí)實(shí)際橋梁結(jié)構(gòu)的阻尼一般很小，因此，式(14)在工程實(shí)際中具有很高的實(shí)用性。

當(dāng)荷載移動(dòng)速度較低時(shí)(α?1 )，且僅取橋梁的一階振型來簡(jiǎn)化求解車輛在橋梁上行走時(shí)橋梁的位移響應(yīng)，此時(shí)式(14)可簡(jiǎn)化為如下形式

(15)

b)α=k，β?1

此種情況的推導(dǎo)與α=k，β=0的情況是類似的，下面直接給出梁體位移表達(dá)式

(16)

低阻尼情況和無阻尼情況具有很多類似的性質(zhì)，比如無阻尼情況下得到的消振速度VD和共振速度VR在低阻尼情況下同樣適用。

2.1.3 臨界阻尼情況(β=βcr=k2)

當(dāng)阻尼比ξk= 1時(shí)，說明此時(shí)橋梁的阻尼對(duì)于第k階振型為臨界阻尼，此時(shí)有

(17)

當(dāng)n=k時(shí)，振型廣義坐標(biāo)qn(t)的積分變換形式可進(jìn)行簡(jiǎn)化，此時(shí)簡(jiǎn)支梁第k階振型對(duì)位移的貢獻(xiàn)為

{(k2-α2) sinkωt-2kαcoskωt+

(18)

當(dāng)β=βcr=k2時(shí)，并非對(duì)橋梁所有振型都是臨界阻尼。對(duì)于橋梁的第n階振型，如果n>k，此時(shí)橋梁的阻尼為低阻尼情況，可以按照式(7)求解第n階振型的廣義坐標(biāo)qn(t)；如果n

2.1.4 超阻尼情況(β>βcr=k2)

(19)

同理，可得簡(jiǎn)支梁第n階振型對(duì)位移的貢獻(xiàn)為

(20)

2.2 P(t)為簡(jiǎn)諧荷載

(21)

(22)

(23)

βsinωt]

(24)

3 數(shù)值計(jì)算分析

3.1 模型參數(shù)

根據(jù)上面的理論，編制計(jì)算程序，研究移動(dòng)荷載通過簡(jiǎn)支梁時(shí)橋梁位移響應(yīng)的振動(dòng)特性。

列車荷載列參數(shù)：列車荷載列按照(3動(dòng)+1拖)×2編組的德國(guó)ICE3高速列車的輪對(duì)位置布置，即選取荷載個(gè)數(shù)N=4×8=32；德國(guó)ICE3高速列車的動(dòng)車和拖車軸距相同，具體如圖3所示。

圖3 德國(guó)ICE3列車的軸距 (單位：m)

3.2 移動(dòng)恒定荷載作用下橋梁的位移響應(yīng)

對(duì)于簡(jiǎn)支梁跨中位移而言，梁第二階振型的貢獻(xiàn)量為零，因此以梁體1/4跨處的位移為例，研究荷載以不同速度過橋時(shí)簡(jiǎn)支梁各階振型對(duì)梁體位移的貢獻(xiàn)量。圖4是利用不同橋梁振型階數(shù)計(jì)算得到的梁體位移響應(yīng)(相對(duì)值，以下同)，圖中實(shí)線及點(diǎn)線分別表示僅取簡(jiǎn)支梁的第一階振型及前兩階振型計(jì)算得到的梁體位移。這里也計(jì)算了利用橋梁前3階及3階以上振型得到的梁體位移，它們與僅取前2階振型得到結(jié)果幾乎完全一致，說明其貢獻(xiàn)很小，為簡(jiǎn)化分析，在此不再給出相應(yīng)曲線。

圖4 跨中位移與振型階數(shù)關(guān)系圖(β=0)

從圖4中可以看出，當(dāng)荷載移動(dòng)速度較低時(shí)，梁體位移主要由橋梁的第一階振型貢獻(xiàn)，隨著移動(dòng)速度的提高，橋梁第二階振型的位移貢獻(xiàn)量逐漸增大，如當(dāng)α=2時(shí)，點(diǎn)線最大位移響應(yīng)僅為實(shí)線最大位移響應(yīng)的一半。由于簡(jiǎn)支梁的第二階振型對(duì)跨中位移的貢獻(xiàn)量為零，在速度系數(shù)α=0～2的情況下，僅選取簡(jiǎn)支梁的第一階振型計(jì)算梁體的跨中位移即可達(dá)到非常高的求解精度。

圖5是無阻尼情況下，單個(gè)荷載以不同的速度過橋時(shí)梁體的位移響應(yīng)?？梢钥闯觯涸诘退偾闆r下，梁體跨中最大位移出現(xiàn)在荷載移動(dòng)到跨中附近時(shí)，與文獻(xiàn)[9]通過計(jì)算簧上質(zhì)量過橋給出的結(jié)論一致；隨著移動(dòng)速度的增大，跨中最大位移出現(xiàn)時(shí)，荷載在橋上的位置逐漸向出橋方向移動(dòng)；達(dá)到一定速度以后，跨中位移在荷載出橋時(shí)刻達(dá)到最大。

圖5 跨中位移與時(shí)間及荷載速度關(guān)系圖(β=0)

圖6是無阻尼情況下，等間距移動(dòng)荷載列以不同的荷載間距及速度過橋時(shí)梁跨中的最大位移響應(yīng)，其中荷載間距l(xiāng)v= 0.1L～1.5L。

圖6 跨中位移與荷載間距及荷載速度關(guān)系圖(β=0)

從圖6(a)中可以看出，當(dāng)荷載列以某些特定速度過橋時(shí)，簡(jiǎn)支梁會(huì)出現(xiàn)共振響應(yīng)。其中，共振速度與荷載間距l(xiāng)v的關(guān)系如下式所示

(25)

當(dāng)i=1時(shí)，橋梁的位移響應(yīng)最大。

從圖6(b)中可以看出，沿式(25)所示的關(guān)系曲線，隨著荷載移動(dòng)速度的增大，梁體跨中的最大位移響應(yīng)并非呈現(xiàn)單調(diào)增大趨勢(shì)，而是在某些速度點(diǎn)處(即α=1/k，k為奇數(shù))出現(xiàn)極小值，該速度即為本文定義的全消振速度。當(dāng)荷載列以式(25)所示的速度通過簡(jiǎn)支梁時(shí)，兩個(gè)相鄰荷載的上橋時(shí)間間隔為iT1(T1為簡(jiǎn)支梁第一階自振周期)，說明移動(dòng)荷載列引起的橋梁共振實(shí)質(zhì)上是荷載列中單個(gè)荷載引起的橋梁余振響應(yīng)的最大疊加。由于荷載以全消振速度通過簡(jiǎn)支梁時(shí)，橋梁的動(dòng)力響應(yīng)會(huì)在荷載出橋時(shí)刻趨近于零，因此，當(dāng)由式(25)計(jì)算得到的共振速度同時(shí)為橋梁的全消振速度時(shí)，橋梁的共振響應(yīng)將會(huì)被抑制。

圖7是不同的橋梁阻尼情況下，荷載以不同速度通過簡(jiǎn)支梁時(shí)，梁體跨中的最大位移響應(yīng)。可以看出：?jiǎn)蝹€(gè)移動(dòng)荷載通過橋梁時(shí)，橋梁最大位移響應(yīng)并非隨著速度的增大而單調(diào)增大，而是表現(xiàn)出一種類似正弦但波幅逐漸增大的形式，此趨勢(shì)與文獻(xiàn)[6,9,10]中通過計(jì)算簧上質(zhì)量過橋得到的規(guī)律相同；列車荷載列過橋時(shí)，梁體的動(dòng)力響應(yīng)可視為由4個(gè)等間距移動(dòng)荷載列引起動(dòng)力響應(yīng)的疊加，此時(shí)在某些速度點(diǎn)處橋梁出現(xiàn)共振[1]，表現(xiàn)出一種完全不同的響應(yīng)規(guī)律；阻尼的存在會(huì)減小梁體的最大位移響應(yīng)，其對(duì)共振時(shí)橋梁的動(dòng)力響應(yīng)抑制更為明顯。

圖7 最大跨中位移與荷載速度及阻尼關(guān)系圖

圖8是在荷載出橋時(shí)刻(t=L/V)，不同速度系數(shù)α所對(duì)應(yīng)的梁體跨中位移。正如前面的討論，單個(gè)移動(dòng)荷載過橋時(shí)，在某些特殊速度下，梁體位移在荷載出橋時(shí)刻歸零，低阻尼情況和無阻尼情況有著相同的變化規(guī)律。列車荷載列過橋時(shí)，在共振速度點(diǎn)處，橋梁位移響應(yīng)出現(xiàn)峰值，表現(xiàn)出一種完全不同的響應(yīng)規(guī)律。

圖8 荷載出橋時(shí)跨中位移與荷載速度關(guān)系圖

圖9是不同的橋梁阻尼情況下，列車荷載列以不同速度過橋時(shí)，梁體跨中的位移時(shí)程。

圖9 跨中位移時(shí)程曲線

從圖9可以看出，低阻尼情況和無阻尼情況比較類似；隨著速度的提高，跨中振動(dòng)幅值增大；無阻尼情況下，當(dāng)列車速度系數(shù)α=0.1，0.2時(shí)，梁體跨中位移在荷載列出橋時(shí)刻歸零。

3.3 移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下橋梁的位移響應(yīng)

圖10 動(dòng)力放大系數(shù)與荷載頻率及速度關(guān)系圖(β=0.05)

可以看出，當(dāng)速度系數(shù)很低時(shí)，有荷載移動(dòng)產(chǎn)生的加載頻率ω對(duì)橋梁位移的響應(yīng)影響很小，位移響應(yīng)表現(xiàn)出類似靜力作用下的響應(yīng)，即在速度系數(shù)α相同的條件下，當(dāng)γ=1時(shí)橋梁位移響應(yīng)最大；隨著速度系數(shù)α的增大，由荷載移動(dòng)產(chǎn)生的加載頻率ω對(duì)梁體位移響應(yīng)的影響逐漸加大，梁體在γ=1時(shí)的最大位移呈現(xiàn)逐漸減小趨勢(shì)，而且在速度系數(shù)α相同的條件下，橋梁位移響應(yīng)達(dá)到最大時(shí)，γ不再等于1。

4 結(jié) 論

1) 荷載移動(dòng)速度較低時(shí)，簡(jiǎn)支梁的跨中位移主要由其第一階振型貢獻(xiàn)，隨著移動(dòng)速度的提高，高階振型的位移貢獻(xiàn)量逐漸增大。但在工程計(jì)算中，僅選取簡(jiǎn)支梁的第一階振型計(jì)算梁體跨中位移即可達(dá)到非常高的求解精度；

2) 無阻尼情況下，橋梁跨中出現(xiàn)最大位移響應(yīng)時(shí)的荷載位置隨著速度的增大逐漸由跨中向出橋方向移動(dòng)；橋梁最大位移響應(yīng)隨速度的增大呈現(xiàn)出一個(gè)類正弦波的形式。

3) 移動(dòng)恒定荷載通過簡(jiǎn)支梁上時(shí)，在一定速度下會(huì)引起共振或消振現(xiàn)象。共振速度與移動(dòng)荷載列的間距有直接關(guān)系，共振時(shí)橋梁的動(dòng)力響應(yīng)被放大；消振速度下，所引起的橋梁余振會(huì)在荷載出橋的時(shí)刻趨近于零。當(dāng)共振速度同時(shí)又是消振速度時(shí)，共振現(xiàn)象會(huì)被抑制。

4) 移動(dòng)簡(jiǎn)諧荷載作用下橋梁的位移響應(yīng)同時(shí)受到加載頻率及荷載速度的影響：當(dāng)速度系數(shù)很低時(shí)，梁體位移在γ=1時(shí)達(dá)到最大響應(yīng)；隨著速度系數(shù)的增大，梁體在γ=1時(shí)的最大位移呈現(xiàn)降低趨勢(shì)，且梁體位移響應(yīng)達(dá)到最大時(shí)，γ不再等于1。

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