邢明明， 董世民

(燕山大學機械工程學院，河北 秦皇島 066004)

引 言

游梁式抽油機皮帶傳動系統(tǒng)具有如下特點：負載扭矩波動大、雙向交變；電動機轉(zhuǎn)速存在波動，特別是超高轉(zhuǎn)差電動機驅(qū)動的游梁式抽油系統(tǒng)，電動機轉(zhuǎn)速波動率可達到20%以上。負載扭矩以及電動機轉(zhuǎn)速的大范圍波動導致皮帶縱向振動加劇，增大了皮帶的摩擦功率損失，降低了皮帶傳動效率[1]。

皮帶傳動在大、中、小型機械中都有著廣泛的應用。皮帶在運轉(zhuǎn)過程中，由于受離心力、帶輪轉(zhuǎn)速波動及負載扭矩波動等的綜合影響，導致皮帶彈性體存在振動。皮帶傳動系統(tǒng)的特性決定了皮帶彈性體的振動受到帶輪慣性質(zhì)量的影響。皮帶的振動不僅降低了皮帶的傳動精度和使用壽命，而且降低了帶的傳動效率[2～7]。為此關(guān)于皮帶振動的研究引起了國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注，并提出了大量的有關(guān)帶振動問題的模型[8～18]。文獻[8～10]建立了帶橫向振動以及帶的縱向振動模型，給出了帶的滑移率與帶振動的固有頻率，分析了各結(jié)構(gòu)參數(shù)對滑移因子的影響。文獻[11～15]建立了帶的動力學模型，提出了帶振動及滑移率的測試方法，并分析了預緊力、阻尼等參數(shù)對帶振動的影響。對于皮帶縱向振動的研究文獻[9,16]廣泛采用以兩個帶輪轉(zhuǎn)角為廣義坐標的兩自由度扭轉(zhuǎn)振動力學模型，該模型將皮帶簡化為無質(zhì)量的彈簧，兩個帶輪簡化為兩個具有轉(zhuǎn)動慣量的圓盤；文獻[14,17,18]將皮帶簡化為質(zhì)量分布均勻的彈性體，建立了皮帶縱向振動的數(shù)學模型，但沒有考慮帶輪轉(zhuǎn)動慣量對皮帶縱向振動的影響。鑒于目前皮帶縱向振動模型的不足以及皮帶縱向振動對游梁式抽油系統(tǒng)動力特性具有顯著影響，本文進一步研究了游梁式抽油機皮帶縱向振動特性仿真的力學與數(shù)學模型。該分析方法對以帶傳動為基礎(chǔ)的機械系統(tǒng)動態(tài)特性的設(shè)計具有參考價值。

1 皮帶縱向振動的力學模型

圖1(a)為皮帶傳動裝置示意圖。

圖1 皮帶傳動系統(tǒng)力學模型

S1為小帶輪包角所對應圓弧的長度(m)；S2為大帶輪包角所對應圓弧的長度(m)；R1為小帶輪半徑(m)；R2為大帶輪半徑(m)；Lt為皮帶切線段長度(m)；L為皮帶節(jié)線長度(m)；Je1為簡化到小帶輪處的等效轉(zhuǎn)動慣量(kg·m2)；Je2為簡化到大帶輪處的等效轉(zhuǎn)動慣量(kg·m2)；me1為簡化到皮帶上切點A1的等效質(zhì)量(kg)；me2為簡化到皮帶上切點C1的等效質(zhì)量(kg)；E為皮帶材料彈性摸量(Pa)；ρ為皮帶材料密度(kg/m3)；Med為簡化到小皮帶輪處的等效驅(qū)動力矩(N·m)；Mbf為簡化到大皮帶輪處的等效阻力矩，即負載扭矩(N·m)；Fed為簡化到小皮帶輪處的等效驅(qū)動力(N)；Fef為簡化到大皮帶輪處的等效阻力(N)。

其中等效轉(zhuǎn)動慣量和等效質(zhì)量之間的關(guān)系，等效力矩與等效力之間的關(guān)系如下：

(1)

(2)

2 皮帶縱向振動的數(shù)學仿真模型

(3)

其中

(4)

式中a為聲音在皮帶中的傳播速度(m/s)；ω1為小帶輪的角速度(rad/s)；f(y,t)為皮帶截面y在時刻t所受的分布激振力(N)；ρ為皮帶線密度(kg/m)；A為皮帶橫截面面積(m2)；u*為皮帶基礎(chǔ)運動(m/s)；Sx為任意時刻t皮帶截面X在運動曲線坐標系中的幾何位置(m)。

由圖1(b)所示的靜止坐標系可見，分布力f(y,t)只在等效質(zhì)點處作用有集中力Fed、Fef，其它截面分布力為零。根據(jù)動坐標與靜坐標的變換關(guān)系，分布激勵力f(y,t)為

(5)

Sx為任意時刻t皮帶截面X′在靜坐標系中的幾何位置。由于皮帶沿節(jié)線做周期性循環(huán)運動，而坐標x的取值范圍為0≤x≤L，故Sx由下式計算

(6)

集中力Fed取決于小皮帶輪處的等效驅(qū)動力矩Med；Fef取決于大皮帶輪處的等效阻力矩Mef。限于篇幅，等效驅(qū)動力矩Med、等效阻力矩Mef的計算方法見文獻[1]，本文不再贅述。鑒于本文重點是研究皮帶的縱向振動特性，同時根據(jù)實際油井等效驅(qū)動力矩Med與等效阻力矩Mef的變化規(guī)律，將Med和Mef簡化為[18]

(7)

式中M0，M1和M2為系數(shù)；ω為大皮帶輪轉(zhuǎn)動的平均角速度(rad/s)。ω與抽油機懸點沖程次數(shù)n之間的關(guān)系為

(8)

式中iBox減速箱傳動比。

游梁式抽油機工作時，曲柄軸凈扭矩周期性波動，即電動機負載扭矩周期性波動，從而導致電動機轉(zhuǎn)速周期性波動，即小皮帶輪轉(zhuǎn)速周期性波動。由公式(3)可見，小皮帶輪角速度波動是皮帶縱向振動的激勵，相當于振動理論中基礎(chǔ)運動所導致的系統(tǒng)受迫振動。小皮帶輪角速度可以展開為傅式級數(shù)，為便于討論小皮帶輪角速度波動對皮帶縱向振動特性的影響，將小皮帶輪角速度簡化為

ω1=ω0+K0cos(ωt)

(9)

式中ω0為小帶輪平均角速度(rad/s)；K0為小皮帶輪角速度波動幅值(rad/s)。

3 自由振動的固有頻率與振型函數(shù)

系統(tǒng)自由振動方程為

(10)

系統(tǒng)自由振動的通解

u(x,t)=U(x)sin(ωnt+φ)

(11)

式中ωn為系統(tǒng)自由振動的固有頻率(rad/s)；φ為任意常數(shù)，由系統(tǒng)初始條件決定。

振型函數(shù)U(x)為

(12)

式中b=ωn/a；B1，B2，D1和D2為由邊界條件決定的待定系數(shù)。

皮帶縱向振動在兩個質(zhì)點me1和me2處滿足連續(xù)性條件

(13)

將式(11)和(12)代入上式可得固有頻率方程

A1A2-A3+A4=0

(14)

式中 參數(shù)A1，A2，A3和A4由下式計算

(15)

式中 參數(shù)C1，C2和C3和C4表示為

(16)

方程(14)是關(guān)于未知數(shù)b的超越代數(shù)方程，應用數(shù)值法可求得前n個根b1，b2，…，bn以及皮帶縱向振動的前n階固有頻率為ωni=abi(i=1，2，…，n)。與ωni對應的第i階振型函數(shù)為：

(17)

式中 系數(shù)λ1i，λ2i和λ3i為

(18)

式中 系數(shù)ψ1i，ψ2i，ψ3i和ψ4i的表達式為

(19)

式中E1i，E2i，E3i和E4i的表達式為

(20)

4 受迫振動的穩(wěn)態(tài)響應

根據(jù)主振型對質(zhì)量的正交性，可得正則振型函數(shù)

(21)

(22)

式中

(23)

式中 參數(shù)QNi表達式為

(24)

正則激振力為

pi(t)=Fed(t)UNi(x)|x=0-Fef(t)·UNi(x)|x=L1-

(25)

正則坐標下的運動微分方程

(26)

通過運用振型疊加原理，將皮帶彈性體的縱向振動偏微分方程(3)簡化為式(26)所示的n個相互獨立的無阻尼單自由度系統(tǒng)的受迫振動微分方程。應用四階龍格庫塔法并采用零初始條件分別求正則坐標qi(i=1，2，…，n)的穩(wěn)態(tài)響應。

系統(tǒng)受迫振動的動態(tài)響應

(27)

要得到運動坐標下系統(tǒng)受迫振動的動態(tài)響應，需通過變換公式。UNi(x)與UNi(y)變換關(guān)系如下：

當0≤Sx

(28)

當L1≤Sx

(29)

系統(tǒng)在運動坐標系下受迫振動的動態(tài)響應

(30)

式中UNi(y)為陣型函數(shù)；qi(t)為模態(tài)坐標。

5 仿真實例與結(jié)果分析

以下仿真計算的基本參數(shù)為：傳動帶長度L=4 m；帶切線段長度Lt=0.97 m；單根皮帶線密度ρ=0.37 kg/m；皮帶根數(shù)z=4；單根皮帶橫截面積A=1.55×10-4m2；摩擦系數(shù)μ=0.6；小帶輪半徑R1=0.15 m；大帶輪半徑R2=0.45 m；皮帶彈性模量E=2×108Pa；沖次n=6 min-1；減速箱傳動比iBox=35；減速箱傳動效率ηBox=95%；大皮帶輪平均角速度ω=21.99 rad/s。

5.1 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)速波動的響應

當ω0=65.97 rad/s，k0=150 rad/s；M0=1 200 N·m；M1=0；M2=0；時，圖2和3給出了皮帶傳動系統(tǒng)對轉(zhuǎn)速波動的動態(tài)響應曲線。

圖2 皮帶某點縱向振動的瞬時位移隨時間變化曲線

圖3 皮帶某點瞬時速度隨時間變化曲線

5.2 系統(tǒng)對載荷激勵的響應

當M0=-400 N·m；M1=400 N·m；M2=1 500 N·m；ω0=65.97 rad/s，k0=0時，圖4～5給出了皮帶傳動系統(tǒng)對載荷激勵的穩(wěn)態(tài)響應曲線。

圖4 皮帶某點縱向振動的瞬時位移隨時間變化曲線

圖5 皮帶某點的瞬時速度隨時間變化曲線

由圖2～5可得以下結(jié)論：

(1) 系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波動加劇了皮帶的縱向振動，影響了皮帶的瞬時位移與瞬時速度，皮帶的瞬時位移和速度出現(xiàn)劇烈波動；

(2) 與系統(tǒng)轉(zhuǎn)速波動激勵的響應相比，外載荷波動激勵對皮帶縱向振動產(chǎn)生較大的影響，皮帶的瞬時位移與瞬時速度不僅出現(xiàn)劇烈波動而且振幅較大。

5.3 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)速與載荷激勵的響應

圖6 帶輪振動的瞬時位移隨時間變化曲線

圖7 帶輪瞬時轉(zhuǎn)速隨時間變化曲線

圖8 主從動帶輪的轉(zhuǎn)差隨時間變化曲線

當M0=-400 N·m；M1=400 N·m；M2=1 500 N·m；ω0=65.97 rad/s，k0=150 rad/s時，圖6和7給出了大小帶輪瞬時位移與瞬轉(zhuǎn)速隨時間變化曲線，圖8給出了傳動系統(tǒng)大小帶輪的轉(zhuǎn)差隨時間變化曲線由以上圖可知：

(1) 考慮帶輪的慣性質(zhì)量對皮帶縱向振動的影響，帶輪的瞬時位移呈周期性波動，小帶輪的瞬時振動位移明顯大于大帶輪的瞬時振動位移；

(2) 帶輪的瞬時轉(zhuǎn)速呈周期性波動，小帶輪的瞬時速度高于大帶輪轉(zhuǎn)化到小帶輪處的瞬時等效轉(zhuǎn)速，說明大小帶輪之間存在瞬時轉(zhuǎn)差；

(3) 受皮帶縱向振動的影響，大小帶輪瞬時轉(zhuǎn)差呈現(xiàn)簡諧波動；當瞬時轉(zhuǎn)差為負值時，小帶輪被拖動；瞬時轉(zhuǎn)差的存在說明皮帶傳動系統(tǒng)瞬時傳動比不恒定，皮帶與帶輪之間存在滑差。

6 結(jié) 論

(1) 考慮帶輪慣性質(zhì)量對皮帶縱向振動的影響建立了兩坐標系彈性體縱向振動的力學與數(shù)學模型。應用坐標變化法求解系統(tǒng)受迫振動的響應，仿真分析了轉(zhuǎn)速波動以及負載扭矩的波動對皮帶縱向振動的影響。該分析方法對帶輪附件驅(qū)動系統(tǒng)的動態(tài)特性的設(shè)計具有理論與實際意義；

(2) 轉(zhuǎn)速波動激勵與載荷波動激勵使得皮帶縱向振動的瞬時位移與瞬時速度出現(xiàn)周期波動；其振動幅值受到帶輪慣性質(zhì)量的影響；

(3) 帶輪瞬時振動位移受其慣性質(zhì)量的影響，慣性質(zhì)量越小瞬時振動位移越大；帶輪瞬時轉(zhuǎn)差的存在說明皮帶瞬時傳動比不恒定，皮帶與帶輪之間存在相對滑動。

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